1、5.1 图解法的灵敏度分析,灵敏度分析的概念和重要性 目标函数中的系数cj的灵敏度分析 约束条件中右边系数bi的灵敏度分析,一、灵敏度分析的概念,灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、aij变化时，对最优解产生什么影响。,二、灵敏度分析的重要性,首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确； 其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响这些系数的变化； 有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解，也不会
2、由于系数的估计和预测的精确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。,三、目标函数系数cj的 灵敏度分析,例：,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,讨论cj变化对原问题的影响,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,（1）Cj变动不影响可行解域； （2）cj变动将影响目标函数等值线的斜率，从而可能影响与可行解域的交点； （3）当目标函数等值线的斜率在 和 之间变动时，最优解仍在B点；,1,2,1,2,讨论cj变化对原问题的影响,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,（4）当目标函数等值线的斜率0kk1时，最优解交于A点；,1,2,讨论cj变化对原问题的影响
3、,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,（5）当目标函数等值线的斜率kk2时，最优解交于C点；,1,2,讨论最优解不变时c1变动的范围（c2=4不变）,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,1,2,讨论最优解不变时c2变动的范围（c1=6不变）,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,1,2,总结：cj的灵敏度分析,目标函数中的系数cj变化不影响可行解域； cj变化只影响目标函数等值线的斜率； 线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解不变，最优值变动（cj变
4、动）。,四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析,例：,讨论：当b1=10 b1=11时对原问题的影响,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,讨论：b1变动对原问题的影响（b1=10 b1=11）,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,B,A,讨论：b1变动对原问题的影响（b1=10 b1=11）,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,B,A,（1）原可行解域为OABC，现可行解域为0ABC。（2）原最优解为B点，现最优解为B点。,总结：约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析,当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将变化； 当某个bi发生变动
5、时，它所在的约束条件直线的斜率不变，相当于将可行解域的一个边界做平行移动。 当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。,讨论bi变动带来最优值的变化,例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最多？,数学模型：,设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：,D,B,C,图解法,100,200,300,400,100,200,300,400,O,A
6、,可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）,最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；此时， 总利润为27500元。,现提高设备可利用台时数 （b1=300 b1=310),设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：,D,B,C,图解法,100,200,300,400,100,200,300,400,O,A,此时，可行解域为OABCD 最优解为B点（60，250）,最优生产方案为： 甲生产60，乙生产250；此时， 总利润为28000元。,B,C,B1变化前后对比：,b1=300时， 最优解为x1=50,x2=250 最优值为50*50+100*250 =27500,b1=310时，
7、 最优解为x1=60,x2=250 最优值为50*60+100*250 =28000,每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润,设备台时数增加10台时,总利润增加500元,对偶价格,约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。上例中，设备台时数的对偶价格=50。,D,B,C,讨论：原料A（b2）的对偶价格,100,200,300,400,100,200,300,400,O,A,原料A的约束条件,原料B的约束条件,设备台时的约束条件,C,D,b2小变动对原问题 不产生影响,原料A的 对偶价格 为0,D,B,C,讨论：原料B（b3）的对
8、偶价格,100,200,300,400,100,200,400,O,A,原料A的约束条件,原料B的约束条件,设备台时的约束条件,B,A,b3变动 会对原问题的 最优解产生 影响,新的 最优解 在B点,讨论：b3增加一个单位， 最优值的变化量。,b3=250时， 最优解为x1=50,x2=250 最优值为50*50+100*250 =27500,b3=251时， 最优解为x1=49,x2=251 最优值为50*49+100*251 =27550,所以，原料B的对偶价格=50,几种情况,如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小； 如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更大； 如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。,练习题,
