1、第二章 对偶问题及灵敏度分析,第一节 单纯形法的矩阵描述矩阵描述的目的是将单纯形法用矩阵来加以解释及有助于对偶问题的分析。一、标准型规划问题的矩阵描述设线性规划问题为：,第一节 单纯形法的矩阵描述,第一节 单纯形法的矩阵描述,所对应的单纯形表为：,第一节 单纯形法的矩阵描述,关于检验数的再讨论！所有变量的检验数如何统一表示？,某一个变量检验数的表示方法,根据单纯形法的计算所有变量的检验数是多少？,第一节 单纯形法的矩阵描述,二、存在松弛变量模型的矩阵描述设线性规划问题为：,引入松弛变量的模型为：,注意特别强调了松弛变量在模型矩阵描述中的作用！在下面的矩阵描述中，松弛变量独立表示，不归入非基变量
2、。看下面的模型变化！,第一节 单纯形法的矩阵描述,第一节 单纯形法的矩阵描述,以此模型构造单纯形表如下：,此表的一个重要目的就是在于B-1所在的位置。,第一节 单纯形法的矩阵描述,结合教材中P31，表1-3表1-5的约束方程的系数矩阵，了解B-1的位置及作用。表1-3所对应的模型为：,第一节 单纯形法的矩阵描述,表1-3,表1-4,表1-3,若： B=(P1 P4 P2) 用B-1左乘以 约束条件，应 得到哪张表？,第一节 单纯形法的矩阵描述,第二节 对偶问题的提出线性规划问题具有对偶性！什么是对偶性？任何一个求最大值的线性规划问题都有一个求最小值的线性规划问题与之相对应。一个叫“原始问题”，
3、另一个称为它的“对偶问题”。原始问题和对偶问题所依据的数据资料是一致的！仍以前述模型为例说明对偶问题。,第二节 对偶问题的提出,例1 某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别要经过两种设备加工，有关数据如下表，问应如何安排生产计划使总利润最大？其依据的数据资料及模型为：,第二节 对偶问题的提出,现在从另一个角度讨论该问题为什么能够获利呢？因为有资源：A80、B60不生产甲、乙产品能否获利呢？把已有设备出租租金或设备使用费用如何收取？不低于自己创收、承租方可以接受假设设备的每台时使用费分别为Y1、Y2根据原始数据，用于加工一件产品的设备台时出租后的收益不应低于产品的利润，则得
4、到另一组约束条件：,第二节 对偶问题的提出,但是，承租方希望其设备台时的使用费越小越好，则必有：,则原问题的对偶问题为：,原 问 题,对 偶 问 题,第二节 对偶问题的提出,第三节 线性规划的对偶理论一、对偶问题的定义设原始线性规划问题为：,则称下列规划问题为原始问题的对偶问题。,注意：Y是行向量还是列向量；其分量的个数？,第三节 线性规划的对偶理论,例2 写出下列规划问题的对偶问题。,注意：一个方程对应一个对偶变量！,原问题,对偶问题,第三节 线性规划的对偶理论,二、非对称规划问题的对偶问题若原始线性规划问题为：,关键在于将原模型进行转变如下:,第三节 线性规划的对偶理论,则其对偶问题为；,
5、例3 写出下列规划问题的对偶问题,第三节 线性规划的对偶理论,分析一个一般的线性规划问题？如何得到其对偶问题，又能够得到什么结论！,第三节 线性规划的对偶理论,例4 写出下列规划问题的对偶问题,第三节 线性规划的对偶理论,三、对偶问题的基本性质这是基于对称型问题而言的1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题2.弱对偶性；若X(1)和Y(1)分别是可行解，则,结论表明：对偶问题的下界与原问题上界之间的关系,3.无界性：若原问题无界，则其对偶问题无可行解注意：该问题的逆不存在！4.最优性：原问题和对偶问题都存在可行解，且目标函数值相等，该可行解分别是原问题和对偶问题的最优解。,第三节 线性规划的对偶
6、理论,综上所述，一对对偶问题必然是以下的三种情况：如果一个存在最优解，则另一个也一定存在最优解，且最优目标函数值相等二者只要有一个无最优解，则另一个也一定无最优解一个是无界，另一个无可行解四、互补松弛条件设X*和Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则它们分别是最优解的充分必要条件是：,注意：互补松弛条件的意义！,第三节 线性规划的对偶理论,五、对偶问题的解原问题单纯形表的检验数反号后，就是对偶问题的一个基解。证明：对于原问题,其标准型为：,第三节 线性规划的对偶理论,设A中存在一个可行基B，则模型为：,则相应的对偶问题为：,第三节 线性规划的对偶理论,原问题对应于可行基B的检验数可表示为：,代
7、入对偶问题的约束条件，得到：,可见，松弛变量检验数的反号正好对应对偶问题的一个基解。若B为最优基，则,为对偶问题的最优解（松弛变量的检验数）。问题：如果存在人工变量，对偶问题的最优解如何得到？,第三节 线性规划的对偶理论,例5 求下列规划对偶问题的解,加入人工变量后，得到：,第三节 线性规划的对偶理论,其初始和最终单纯形表如下：,第三节 线性规划的对偶理论,讨论这样几个问题：原问题的最优解及最优的目标函数值,最优基及其基的逆矩阵是什么？,第三节 线性规划的对偶理论,初始单纯形表与最终单纯形表的系数矩阵之间的联系,对偶问题的解如何从原问题单纯形表的检验数中得到,对偶问题的解,第三节 线性规划的对
8、偶理论,第四节 影子价格对偶问题的解具有十分重要的经济意思，它反映了某种资源的影子价格。对偶问题的最优解为：,对偶问题解的经济意思在于其它条件不变的情况下，某种资源单位变化所引起的目标函数值的变化，它是该种资源实现最大利润时的一种价格估计，这种估价是针对具体企业具体产品而存在的一种特殊价格影子价格。,第四节 影子价格,市场价格低于影子价格资源成本，买进市场价格高于影子价格资源成本，卖出例6 某企业资源情况及生产计划安排见下表，讨论各资源的影子价格及其意义,第四节 影子价格,最终单纯形表为：,第四节 影子价格,分析这样几个问题：三种资源的影子价格钢材：3/4 煤炭：0 台时：1/4影子价格的意义
9、如增加煤炭这一资源其结果是什么？为什么？影子价格的应用指导企业内部挖潜的方向：资源稀缺、资源剩余新产品投产决策：机会成本新产品资源消耗量影子价格,第四节 影子价格,第五节 对偶单纯形法重要概念：对偶单纯形法不是对对偶问题用单纯形法进行求解。重要回忆：,“ 可见，松弛变量检验数的反号正好对应对偶问题的一个基解。若B为最优基，则松弛变量检验数的反号为对偶问题的最优解 ”重要过程：在单纯形表迭代过程中任一表原问题的基可行解，对偶问题的基解最终表原问题的基可行解，对偶问题的基可行解重要思想：若始终保持其对偶问题是基可行解，让原问题从基解（非可行解）向基可行解迭代。,第五节 对偶单纯形法,定义：若原问题
10、的一个基解对应的检验数满足,则称此基解为原问题的正则解。根据正则解的定义，重新构造单纯形表。注意：构造原问题单纯形表，而不是对偶问题单纯形表；检验数必须小于等于零，常数项b不一定非负；迭代过程中，原问题是基本解，但对偶问题是可行的；迭代的目的，在检验数保持小于等于零的情况下，使常数项b,第五节 对偶单纯形法,步骤：选定一个基，若满足正则解的要求，得到初始单纯形表；若b，则得到最优解，否则转入下一步；确定换出变量：,确定换入变量：如alj0，线性规划无可行解，否则按法则确定换变量：,确定旋转元素（主元），迭代得到新的正则解，返回。,第五节 对偶单纯形法,列初始单纯形表 bi0,j0？,计算，选出
11、基变量XL,以alk为主元素进行迭代,得到最优解,没 有 最 优 解,没 有 最 优 解,停,Y,N,单纯形法,列初始单纯形表 j0,bi0？,计算，选进基变量XK,以alk为主元素进行迭代,Y,N,对偶单纯形法,aik0？,alj 0？,Y,按最大法则选进基变量Xk,按最小法则选出基变量Xl,Y,N,第五节 对偶单纯形法,例7 求解下列线性规划问题,分析：用单纯形法还是用对偶单纯形法求解？先看单纯形法的典式,第五节 对偶单纯形法,若按正则解的要求，其模型为：,第五节 对偶单纯形法,第五节 对偶单纯形法,则最终单纯形表为： ,得到最优解为：,第五节 对偶单纯形法,对偶单纯法优点： 初始解可是非
12、可行解，只要满足j0时即可，不需要加入人工变量。 当变量多于约束条件时，用对偶单纯形法计算可减少计算工作量。例如有2个约条件4个变量的情况下，用一般单纯形最多需要迭代多少？而用对偶单纯形则最多只需要多少次？ 主要缺点：难以单独使用 为什么还要学习对偶单纯形？,第五节 对偶单纯形法,第六节 线性规划问题的灵敏度分析一、灵敏度分析的基本概念和基本原理灵敏度分析是指系数及常数项的变化对最优解的影响，有时也讨论新产品是否投产等生产计划问题。以标准线性规划问题为例：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,则为最优基的条件是：,当某系数（常数）发生变化，若能继续满足可行性条件和正则性条件，则最优基不变；如果不
13、满足某一个条件，可选择单纯形法或对偶单纯形法继续迭代。二、资源数量b变化的灵敏度分析资源数量变化不影响正则性条件，只影响可行性条件，因此若能继续保持,则，最优基不发生变化，但决策变量的取值一般会改变。,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,设原资源数量为：,现第r种资源发生变化，变化后资源的数量为：,资源变化后的可行性条件将变化为：,另外，资源数量在什么范围内变化，而最优基不变呢？,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,例7 分析下列线性规划问题(p31),第六节 线性规划问题的灵敏度分析,则最终单纯形表为：,最优基的逆矩阵是什么？ 讨论第二种资源的变化范围,第六节
14、线性规划问题的灵敏度分析,第一种资源有个单位的增量，最优解如何变化？,三、目标函数系数C变化的灵敏度分析目标函数系数的变化不影响可行性条件，只影响正则性条件（检验数），正则性条件（检验数）可以表示为：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,非基变量和基变量目标函数系数的变化对检验数的影响是不同的。1.非基变量目标函数系数变化的分析,这里得到了两个方面的结论：一是非基变量系数发生变化后，检验数的变化情况，因此可判断是否对最优解产生影响；二是可确定最优解不变时，非基变量系数变化范围，即,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,2.基变量目标函数系数变化的分析,为保持原最优解，则：,第六节 线性规划问题的灵敏
15、度分析,仍以上例：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,四、约束条件变化的灵敏度分析1.增加新约束条件分析的方法就是判断最优解能否满足新的约束条件。满足：仍为最优解（可能可行域减小）不满足：增加该约束条件，用对偶单纯形法迭代。2.原某个约束条件的改变原某个约束条件的资源是否有剩余？有剩余，说明原某个约束条件为非严格等式无剩余，严格等式结合改变后的约束条件和原最优解进行分析。,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,例8 约束条件变化的灵敏度分析,无穷多最优解第一个方程为严格等式（资源用尽），第二个方程资源有剩余,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,第二个约束条件变化后，变成了严格等式，最优解不变（！？）
16、。增加一个约束条件:2X1+3X2+5X350，判断最优解的变化情况？,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,五、增加新决策变量的灵敏度分析增加新变量指单纯形表增加一列。在单纯形表迭代中，可以认为该决策变量原先始终没有被换入基中（不管按最大法则是否该入基）。不影响可行性条件，只影响正则性条件（该新决策变量的检验数）,入基后，应注意其技术系数向量的变化！,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,六、技术系数A变化的灵敏度分析总体原则就是将技术系数变化的某决策变量作为新变量进行处理。例如（注意两个表所表示的模型等价）：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析,以第1章例1为例P8，下表是例1的最终单纯形表,(1)
17、求第二个约束条件b2的变化范围。 (2)第一资源设备增加4个单位时，最生产计划有什么变化？ (3)在原最优解不变的情况下确定C2的变化范围 (4)现有一种新产品，其资源消耗分别为2台时、6kg，3kg,获利为5元，问该产品应不该投产？ (5)产品的工艺结构由P1=(1,4,0)变为P1=(2,5,2),获利由24，对最优解的影响？ (6)产品的工艺结构由P1=(1,4,0)变为P1=(4,5,2),获利由24，对最优解的影响？,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,(1)B-1在哪里？,即,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,由于第一种资源增加了4个单位，则反映在最终单纯形中的变化？
18、,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,要确定C2的变化范围，首先看它是否是基变量？,(1)按公式直接计算，即首先找到X2所在的行,(2)也可不死记公式，把C2换成C2+C2代入单纯表中计算，如P66所示,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,(1)设生产产品为X3件，其对各种材料的消耗而形成的系数向量为：P3=(2,6,3)T (2)计算变量X3在最终单纯形表中的检验数,说明安排产品生产是有利的，应该投产。 (3)计算变量X3系数列向量反映在最终单纯形表中的值，即：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,把改进工艺结构的产品看作产品，其产量设为X1,因此在最终单纯表中X1的系数列向量为：,同时计算X1对应的检验数为：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,把改进工艺结构的产品看作产品，其产量设为X1,因此在最终单纯表中X1的系数列向量为：,同时计算X1对应的检验数为：,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,从上表可看出可行性和正则性都发生了改变，因需要引进人工变量构造新的单纯形表，求解最优解。 （1）对应X2所在行写出其方程如下：,（2）引入人工变量6，即：,（3）将6作为基变量替代X2，填入上表中得到新的单纯形表如下：,（4）用一般单纯法进行求解即可。,第六节 线性规划问题的灵敏度分析综合案例,
