1、,第六节 线性规划应用举例,例1：某工厂生产A,B两种产品，均需经过两道工序， 每种产品需各工序加工的时间及各工序可提供的时间如下表。生产产品B同时生产出副产品C，每生产一吨产品B可同时得到2吨产品C，无需费用。 出售一顿A盈利400元，B盈利1000元，C盈利300元，而生产要报废的C每吨损失200元，经预测C最大销量为5吨，列模型决定A,B产量，使工厂总盈利最大。,可控变量：设X1为A产量，X2为B产量， X3为C销售量，X4为C报废量 目标为总盈利，约束为资源限制等,maxZ=4X1+10X2+3X3-2X42X1+3X2123X1+4X224X3+X4=2X2X35X1,X2,X3,X
2、40,例2：某工厂生产的一种产品由四个零件一和三个零件二组成，这两种零件要用两种原材料，由于三个车间拥有的设备和工艺不同，每个工班原材料耗用量和零件产量不同，问三个车间应各开多少工班，才能使该产品的配套数达到最大。分析：可控变量是什么，目标和约束是什么,可控变量：三个车间工班数， 目标：产品配套数，约束资源约束,目标为两目标取小，要转化为一个目标时的方法。 Z=min( (7x1+6x2+8x3)/4 ,(5x1+9x2+4x3)/3) 可令y= min( (7x1+6x2+8x3)/4 ,(5x1+9x2+4x3)/3) 则上目标转化为maxZ=y(7x1+6x2+8x3)/4y (5x1+
3、9x2+4x3)/3y,maxZ=y(7x1+6x2+8x3)/4y(5x1+9x2+4x3)/3y8x1+5x2+3x33006x1+9x2+8x3500x1,x2,x3,y0,解 先看有多少种裁料方案，再进行组合和选择。方案：,例3 合理利用线材问题现要做一百套钢管, 每套要长为2.9m、2.1m和1.5m的钢管各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原料最省。,设用方案,分别裁原料钢管x1,x2, ,x8根, 则：,例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？,根
4、据产品要求有：,AC0.5A, AP0.25ABC0.25B, BP0.5BAC+AP+AH=ABC+BP+BH=B 根据原料供应量有：AC+BC+DC100AP+BP+DP100AH+BH+DH60,设AC,AP,DH分别为x1,x2,x9，有 Max z=50(x1+x2+x3)+35(x4+x5+x6)+25(x7+x8+x9) - 65(x1+x4+x7)- 25(x2+x5+x8) - 35(x3 +x6 +x9)x10.5(x1+ x2+ x3) x2 0.25(x1+ x2+ x3)x4 0.25(x4+ x5+ x6) x5 0.5(x4+ x5+ x6)x1+ x4+ x71
5、00x2+ x5+ x8100x3+ x6+ x960xj0, j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,解：记产品A,B,D中C,P,H的含量分别为AC,AP,AH,BC,BP,BH,DC,DP,DH。,例5 连续投资问题。某单位有资金10万元，在今后5年内可考虑下列投资项目，已知：项目A：从第1到第4年每年初可投资，并于次年末回收本利115%；项目B：第3年初需要投资，到第5年末回收本利125%，但最大投资额不超过4万元；项目C：第2年初需要投资，到第5年末能回收本利140%，但最大投资额不超过3万元；项目D：5年内每年初可购买公債，当年末回收本利106%。问它应该如何安排每年的投资，使到5
6、年末拥有的资金最多？,x2A+x2C+x2D=1.06x1D,解：每年的投资额应不超过手中的资金。由于项目D每年都可投资，且当年末就可收回。所以该单位每年必然把资金全部投出去，即投资额等于手中的资金数。,设第i年投资各项目的资金为xiA,xib,xiC,xiD 。数学模型为：,x1A+x1D=10,x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D,x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D,x5D=1.15x3A+1.06x4D,xiA,xib,xiC,xiD0,Max z=1.15x4A+1.4x2C+1.25x3B+1.06x5D,第二章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析,改进单
7、纯型法 对偶问题 对偶理论目标函数值之间的关系最优解之间的互补松弛关系 对偶单纯形法 对偶的经济解释 灵敏度分析,DUAL,第一节 改进单纯型法,需要求的几个重要指标 ，不需要完全的矩阵变换就可求得。 需要求的：基可行解，非基变量，,求，确定换入变量xk ,计算B-1Pk ,计算，确定主元素，对简化单纯型表作旋转变换,简化单纯形表,初始表,以B为基的单纯形表,当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子,最优单纯形表,B-1,cB B -1,E,O,第二节 对偶问题,原问题：确定获利最大的生产方案 对偶问题：确定资源最低可接受 出让价格 建立两问题的
8、模型，对比其最优解，最优目标函数值的关系。,两规划最优目标函数值相等 为 Z=CB B-1b 此时 最优解XB= B-1b，Y= CB B-1(为原规划松弛变量在最终表 中的检验数,即单纯形乘子）,原始问题 max z=C X s.t. AXbX 0,对偶问题 min =Yb s.t. YACY 0,max,b,A,C,CT,AT,bT,min,m,n,m,n,1、原始问题是利润最大化的生产计划问题,单位产品的利润（元/件）,产品产量（件）,总利润（元）,资源限量（吨）,单位产品消耗的资源（吨/件）,剩余的资源（吨）,消耗的资源（吨）,第三节 对偶的经济解释,2、对偶问题,资源限量（吨）,资源
9、价格（元/吨）,总利润（元）,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）,原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉
10、。 影子价格的计算,例子：两种产品由三种原料混合而成，A包括原料一60%，原料二40%，B包括原料一50%，原料二10%，原料三40%，原料一、二、三限量为11250,4000,6000（吨）.试建立模型，求解。A每吨25美元，B每吨10美元 maxZ=25x1+10x2 0.6x1+0.5x212000 0.4x1+0.1x24000 0.4x26000 x1,x20,原料2的约束,原料1的约束,原料3的约束,当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。,一个不起作用约束的影响价格总为0,一个起作用约束的影子价格在资源在一定范围内变化时是不
11、变的。这个变化范围就是关于资源限量bi的灵敏度 不起作用的约束是对最优解而言，该约束的松弛变量 的值不为0 起作用的约束是是对最优解而言，该约束的松弛变量 的值为0,x2=0,x1=0,x3=0,x4=0,O,A,B,C,不起作用约束,影子价格为0,起作用约束，影子价格不为0,第四节 对偶理论,一、对偶问题的性质,1、对偶的对偶就是原始问题,max z=CX s.t. AXbX 0,min=Yb s.t. YACY 0,max =-Yb s.t. -YA-CY 0,min z=-C X s.t. -AX-bX 0,2、其他形式问题的对偶,原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问
12、题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。,max z=C X s.t. AXbX 0,min =Yb s.t. YACY 0,maxz=C X s.t. AX=bX 0,min =Yb s.t. YACY :unr,max z=C X s.t. AXbX 0,min =Yb s.t. YACY 0,min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 6-x1+2x2-3x3 122x1+x2+2x3 8x1+3x2-x3 15,max =6y1+12y2+8y3+15y4 s.t. 3y1- y2+2y3+ y4 2-y1+2y2+ y3+3y4 42y1- 3y2+2y3
13、- y4 -1y1 0,y2 ,y3 0,y4 0,=,unr,=,x10,x20,x3: unr,原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)；原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。 原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质。原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质。,二、原始对偶关系,1、可行解的目标函数值之间的关系设XF、YF分别是原始问题和对偶问题的可行解z=C XF YF AXF YF b= 2、最优解的目标函数值之间的关系设Xo、Yo分别是原始问题和对偶问题的最优解z=C Xo=Yo AXo=Yo b=Y,max z=CX s.t. AX+X
14、S=bX, XS 0,min =Yb s.t. YA-YS=CY, YS 0,YSX=0 Y XS=0,AT,Y,-E,Ys,CT,m,n,=,n,X,A,E,Xs,b,=,n,m,m,3、基解与检验数之间的关系,单纯形表和对偶,max z=C X s.t. AX+XS=bX, XS0,min =Yb s.t. YA -YS=CY, YS0,max z=C X s.t. AX+XS=bX, XS0,min Y=Yb s.t. YA -YS= CY, YS0,令Y =CB B-1 则由YS = YA C 得YS= CBB-1A C 为对偶问题基解,结论：原问题单纯型表的检验数与其对偶问题的基解互
15、为相反数,y1. yi . ym ym+1 . ym+j . yn+m,x1 . xj . xn xn+1 xn+i xn+m,对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量,原始问题的变量 原始问题的松弛变量,xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,m; j=1,2,n) 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0,检验数与基解的对应关系,第五节 对偶单纯形法,把对其对偶问题运用单纯型算法的计算步骤反应在对原问题的求解步骤上面。 在原问题初始表检验数0,B-1b为非可行解的时候可用。 通常不单独使用，运用与灵敏度分析时候较多。,如何从最优单纯形表中读出对偶问题的解（1）,初始 单纯形表,最
16、优 单纯形表,-AT,Y,E,Ys,-CT,m,n,=,n,X,A,E,Xs,b,=,n,m,m,Min Z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 32x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0标准化：Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,对偶单纯形法,和单纯形法的比较,进一步理解最优单纯形表中各元素的含义 考虑问题 Max z = c1 x1 + c2 x2
17、 + + cn xns.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bmx1 ，x2 ， ，xn 0引入 m 个松弛变量后，通过计算得到最优单纯形表。应-1 -1 能够找到最优基 B的逆矩阵 B ，以及 B N，检验数等。,第六节 灵敏度分析,A,b,C变化时对最优解的影响， 最优解（最优基）不变，A,b,C的变化范围 以下作图看看C,b变化对最优解的影响,x2=0,x1=0,x3=0,x4=0,O,A,B,C,C的变化,等值线斜率发生变化，旋转,x2=0,x1
18、=0,x3=0,x4=0,O,A,B,C,b的变化,约束对应直线的截距变化，平移,思考，A的变化将如何影响最优解。,两类问题： 一、已知变化，求新最优解 1、增广阵( b, A )的变化。包括改变约束、增减变量，增减约束。主要充分利用原最终表信息得到一新表，在新表基础上选择适当方法变化得新最优解。比较 原最终表 B-1( b , A )新表 B-1( b+b , A+A )= B-1 ( b+b , P1+P1 ， P2+P2 Pn+Pn） =原最终表(B-1b , B-1P1 , B-1P2 B-1 Pn）,2、C的变化 仅对产生影响 产生的新表 可以分为四种情况：1）已是最优解 2）单纯形
19、法继续求解 3）对偶单纯形法继续求解 4）人工变量法或保持原有最有基方法继续求解 二、未知变化，保持原最优基，求变化范围,原最终表,新表,原问题,新问题,价值系数C发生变化：一、保持原最优解，求变化范围 1、若 ck 是非基变量的系数：设 ck 变化为 ck + ck 只要 k 0 ， 则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 k 用 k取代，继续单纯形法的表格计算。 例: Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,
20、例：最优单纯形表从表中看到 3 = C3 +C3 - （C2 * a13 + C1* a23 ） 可得到 C3 9/5 时，原最优解不变。,2、若 cs 是基变量的系数： 例: Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5S.t. x1 + 2x2+ x3 = 84x1 + x4 =16 4x2 +x5 = 12x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,例、下表为最优单纯形表，考虑基变量系数 c2 发生变化从表中看到 可得到 -3 C2 1 时，原最优解不变。,二、已知C ，求新最优解见书,右端项 b 发生变化 一、保持原最优基，求变化范围 见书二、已知变化，求
21、新最优解,例、上例最优单纯形表如下 0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1 0.5 -0.125 0 因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 分别变为：4 + 0*4 = 4，4 + (-2)*4 = - 4 0，2 + 0.5*4 = 4 用对偶单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17,增加一个变量增加变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ， cn+1 。那么，计算出 B-1pn+1 n+1 填入最优单纯形表，若 n+1 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。 例、前例增加 x6，p6 = ( 2, 6,
22、3 )T ，c6 = 5 。计算得到,用单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5,增加一个约束增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行， 用保持原最优基的方法求解 例、前例增加3x1+ 2x215，原最优解不满足这个约束。于是,A中元素发生变化 （只讨论 N 中某一列变化情况）与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj 变化 。那么，重新计算出 B-1pj j 填入最优单纯形表，若 j 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。,可得最优解：x* = ( 3.2,0.8,0,0,2.4 )T f* = 15.2,灵敏度分析 (内容，为重点)Ci 发生变化Bj发生变化增加一个变量增加一个约束A中元素发生变化,
