1、 1二次函数的图象和性质（培优教案）一、课前训练：1. 抛物线 2yaxbc上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 x轴的一个交点为（3,0） ； 函数 2yaxbc的最大值为 6；抛物线的对称轴是 12； 在对称轴左侧， 随 增大而增大2. 已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列结论：2yaxbc0a ； ；240bc ； 8a930abc其中，正确结论的个数是2、知识结构： 222124()yaxbcabyxx定 义 一 般 式 ：二 次 函 数 解 析 式 顶 点 式 ：两
2、根 式 ：图 象 开 口 方 向 、 对 称 轴 、 顶 点 坐 标 、 增 减 性 、 最 值性 质（A）1 （B） 2（C） 3 （D）4第 2 题yxO 1x1222 2(0)40(0,)aybyaxbcaacxcyC 开 口 方 向同 号 对 称 轴 在 轴 左 侧、 异 号 对 称 轴 在 轴 右 侧与 轴 交 点 个 数 正 半 轴与 轴 交 于 点 原 点 负 半 轴三、题型讲练：例 1 已知：二次函数为 y=x2x+m ， （1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在 x 轴上方， （3）若抛物线与 y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛物线于
3、另一点B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式【分析】 （1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在 x 轴的上方， 即顶点的纵坐标为正；（3）ABx 轴，A，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出 m 的值【解】（1） 由已知 y=x2x+m 中，二次项系数 a=10， 开口向上，又y=x 2x+m=x 2x+（ 1） 2 4+m=（x 12） 2+ 4对称轴是直线 x= ，顶点坐标为（ ， m） （2）顶点在 x 轴上方， 顶点的纵坐标大于 0，即 40 m 14m 14时，顶点在 x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m 即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m） AB
4、x 轴 B 点的纵坐标为 m当 x2x+m=m 时，解得 x1=0，x 2=1A（0，m） ，B （1，m）在 RtBAO 中，AB=1，OA=m SAOB = 2OAAB=41m1=4，m=8故所求二次函数的解析式为 y=x2x+8 或 y=x2x83练习：1.如图是二次函数 在平面直角坐标系中 的图象，根据图形判断)0(2acbxy 0； + + 0； 2 - 0； 2+8 4cabac其中正确的是（填写序号） xyO2. 抛物线 与 x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 .24myx3 如图，二次函数 的图象经过点 D ，与 x 轴交于 A、B
5、两点c2129,3求 的值；c如图，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式；设点 P、 Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、 Q，使 AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由 （图 供选用）4【解】 抛物线经过点 D( ) c=6.29,329)3(1c过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，设 AC 与 BD 交点为 M，AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：S ABC=SAD
6、C DE=BF 又DME= BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即 AC 平分 BD c=6. 抛物线为 621xyA（ ） 、B（ ）0,320,3M 是 BD 的中点 M（ ）49,2设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点解得49230k59103bk直线 AC 的解析式为 .103xy存在设抛物线顶点为 N(0，6)，在 RtAON 中，易得 AN= ，于是以 A 点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作QAB 平分线 AP 交抛物线于43P，连接 BP、 PQ，此时由“边角边”得AQP ABP5例 2.已知抛物线 2(
7、4)2yxmx与 x轴交于 1(,0)Ax、 2(,)B，与 y轴交于点 C，且 1x、2x满 足条件 1212,0x （1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线 ykxb与抛物线交于 P、Q 两点，使 y轴恰好平分CPQ 的面积？若能，求出 k、 b所满足的条件 解：（1） 22(4)()30mm，对一切实数 ，抛物线与 x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得12x，12(4) 由已知有 120x 得 2,8.m代入得 (28)4(24)m化简得 94解得 1211,7,x当 时 ，满足 12x当 27时， 126,3x，不满足 x，抛物线的解析式为 8y（2）如图，设存在直线 ykb与抛物线
8、交于点 P、Q，使 轴平分CPQ 的面积，设点 P 的横坐标为 Q，直线与 轴交于点 E 1122PCEPQSExCx， Qx，由 y轴平分CPQ 的面积得点 P、Q 在 y轴的两侧，即 P， 0PQx，由 28ykxb得 2()8xkb又 P、 Q是方程 2()80xkb的两根， ()0xk， 又直线与抛物线有两个交点，当 28kb且 时，直线 ykxb与抛物线的交点 P、Q，使 y轴能平分 CPQ 的面积故 ,k练习：1.已知二次函数 与 x 轴交点的横坐标为 、 （ ） ，则对于下列结论：1)(2k xy 1x221x当 x2 时，y1；当 时，y0； 方程 有两个不相等的实数2 0)(
9、2 k_Q_C_P_E_y_O _x6根 、 ； ， ； ，其中所有正确的结论是 1x21x2 2214kx （只需填写序号） 2.已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为0bxy.c12（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 上，试确定这条抛物线的解析式；bxy2（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线的解析式.bxy例 3、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于mxyA、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在 轴上.（1）求 的值及这个二次
10、函数的表达式；m（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作 轴的垂线与这个二次函数x7的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 ，点 P 的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系hxh式，并写出自变量 的取值范围；x（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解： (1) 点 A(3,4)在直线 上，mxy4=3+ . =1. m设所求二次函数的关系式为 2(1)a 点 A(3,4)在二次函数 的图象上，yx 24(31)
11、a 所求二次函数的关系式为 即 2(1)yx21yx(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 和 pE 22()3pEhyxxx即 230x(3) 存在. 要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. 点 D 在直线 上 点 D 的坐标为(1,2),1y解之得 (不合题意，舍去) 23x2,1x当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形 练习：1.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N ，并且 MN
12、C的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)（x 1，0）,B(x 2， 0) . 则 x1 ，x 2 是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2 m , x 1x2 =m2 0 即 m2 ;又 AB x1 x2 , 145（ +）m2 4m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) .EBACPO xyDNMCxyOEBACPO xyD8M、N 是抛物线上的两点, 2,.amb 得：2a 22m40 . a 2m2 .当 m 2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .a这时 M、N 到 y 轴的距离均为 , 2又点 C 坐
13、标为（0，2m）,而 SM N C = 27 ,2 （2m） =27 .1解得 m=7 . 2.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图二次函数 （a0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 Ccbxay 2（1）a、c 的符号之间有何关系 ?（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4， ，求 a、c 的值34AB解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0 （2）证明：设点 A 的坐标为（ ，0） ，点 B 的坐标为（ ，0）
14、，则 1x2x21x ， ， 1xO2BcOC据题意， 、 是方程 的两个根 )0(abxa acx21由题意，得 ，即 2A 2c所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当 时，由（2 ）知， ， a04b 421 bx解法一：ABOBOA ，2121)(x9 acacAB32416)(42 ， 得 c2. 3 1解法二：由求根公式， ，aax 346246 ， ax321 32 aaxOAB3212 ， ，得 c234 34 1四、课堂小结：二次函数与几何的综合应用是广州历届中考的重点，所以必须认真地、深入地进行探究。五、作业布置：1 已知二次函数 y
15、=ax2+bx+c 的图像如图 7 所示，那么下列判断不正确的是（ ）Aac0 C b= -4a D关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x 2=5-1yx5x=22O2. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 3 所示，则下列结论正确的是（ ）Aa0，b 2 4ac0; Ba0，b0，b 24ac0，c0; Da0，c0，b 24ac0;3.已知抛物线 （ 0）过 A（ ，0） 、O（0，0） 、2yxca2B（ ， ） 、C （3， ）四点，则 与 的大小关系是12y1yA B C D不能确定y21 24.已知二次函数 （a0）的图象如图所示，则下列结论：2xbc
16、10 ac 0； ab +c 0； 当 x 0 时，y 0；方程 （a0）有两个大于1 的实数根2x其中错误的结论有 （A） （B） （C） （D ） 1Oxyx =15.如图，二次函数 的图象与 轴交于 , 两点，且与 轴交于点 .2yaxbx1(0)2A(ByC（1）求该抛物线的解析式，并判断 的形状；BC（2）在 轴上方的抛物线上有一点 ,且以 四点为顶点的四边形是等腰梯形，xD、请直接写出 点的坐标；D（3）在此抛物线上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形是直角梯形？PAP、若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由.解：根据题意，将 A（ ,0）,B（2,0）代入 y=-x2+a
17、x+b 中，12得10,42.ab解这个方程，得 全品中考网3,1.b 11所以抛物线的解析式为 y=-x2+ x+1.3当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1） 。所以在AOC 中，AC= = .2OA5在BOC 中，BC= = .2BAB=OA+OB= .15因为 AC2+BC2= .24A所以ABC 是直角三角形。（2）点 D 的坐标是 .3,12（3）存在。由（1）知，ACBC, 若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为.12yx直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为 ，12yxb将 A（ ,0）代
18、入直线 AP 的解析式求得 b= ,所以直线14AP 的解析式为 .4yx因为点 P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x 2+ x+1= .314x解得 （不合题意，舍去）.125x当 x= 时，y= .所以点 P 的坐标为（ ， ）.23若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为图 1图 2 12.21yx直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 ，2yxb将 B（ 2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线 BP 的解析式为 y=2x-4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x 2+ x+1=2x-43解得 （不合题意，舍去）.125,x当 x=- 时，y=-9.所以点 P 的坐标为（ - ， -9）.2综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（ ， ）或（ - ，-9）52352
