1、拓展模块1第五章 二元函数微分与积分教学目的：1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的 性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存
2、在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。10、理解二重积分、了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。11、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。12、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等） 。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。8、二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ；9、二重积分的
3、几何应用及物理应用。教学难点：1、 二元函数的极限与连续性的概念；2、 全微分形式的不变性；3、 复合函数偏导数的求法；4、 二元函数的二阶泰勒公式；5、 隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、 拉格郎日乘数法；7、 多元函数的最大值和最小值。8、 利用极坐标计算二重积分；拓展模块25.1 二元函数的基本概念在前面的章节中，我们所讨论的函数只有一个自变量，即一元函数，但在大量的实际问题中，都会出现多个因素共同确定某一量的现象，例如，工厂生产某种产品，其产量有多种投入要素，如资本.劳动等确定；又如在轿车的消费市场中，轿车的需要量不仅受其价格的影响，还会受到诸如其他车型的价格，汽油的价格
4、，消费者收入，各种税费以及对未来价格的预期等诸多因素的影响.为了建立此类问题的数学模型，需要引入多元函数的概念.本章讨论最简单且唯一具有直观的几何图形的一类多元函数二元函数为主，所得到的结果不难推广到一般多元函数中去.下面我们首先来介绍下有关平面点集概念.5.1.1 二元函数的基本概念一. 平面点集(1)邻域：设 为 平面上一个点， 为一个正数，集合),(0yxPO0PU点 的 邻域（以 为中心，以 为半径的邻域） ，即00)()(),(),( 202yxyxP的去心 邻域（以 为中心，以 为半径的去心邻域）为00),(0PU或)()(),(),( 2020 yxyxP（ ）也通常称为点 的（
5、去心）邻域.)(0 0P(2) 内点：设 为平面点集， 为一点，如果存在 ，则 称为 的内点.集合EEPU)(1),(2yx的点都是 的内点.(3) 外点：设 为平面点集， 为一点，如果存在 使得 ，则 称为EP)(PE)(P的外点.(4) 边界点：设 为平面点集， 为一点，如果 的任何邻域既含有属于 的点，又含拓展模块3有不属于 的点，则 称为 的边界点.EPE(5) 边界：平面点集 的边界点的全体称为 的边界，记为 .E注意： 的内点一定属于 ； 的外点一定不属于 ； 的边界点可能属于 ，也E可能不属于 .(6) 聚点：设 为平面点集， 为一点，如果 的任何去心邻域 总含有 中点，EP),
6、(0PU即对于任何 ， ，则 称为 的聚点.0EU),(E由定义，点集 的聚点可以属于 ，也可以不属于 .如 中的1),(2yx点也是 的聚点.1),(2yxE(7) 开集：如果点集 的点都是 的内点，则 称为开集 .E(8) 闭集：如果点集 的余集 是开集，或者说点集 的聚点都属于 ，则 称为闭集.CEE例如： 为开集； 为闭集；1),(2yx 1),(2yx既不是开集，也不是闭集.1),(2yxy(9) 连通集：如果点集 中的任何两点总可用完全属于 的折线连接，则 称为连通集.EEE(10) 区域：连通的开集称为区域（开区域）(11) 闭区域：区域连同其边界构成的集合称为闭区域.例如： 是
7、区域； 为闭区域；1),(2yx 1),(2yx不是区域，也不是闭区域.1),(2yxy(12) 有界集：对于平面点集 ，如果存在某一正数 ，使得 ，则 称为有界Er),(roUEE集；否则， 称为无界集.E例如： 为有界集； 为无界集.21),(2yxy 0),(yx二.多元函数概念例 1 圆柱体的体积， hrV20,),(hr例 2 设 是电阻 与 并联后的总电阻，则R12，21R0,),(2121R拓展模块4例 3 在经济活动中 ,投入生产要素为劳动力 与资本 ,其产出量为 如果投入与产出满LKZ足关系式 ( )，则产出 依赖 与 ,该函数称为库柏-KALZ0,Z道格拉斯生产函数.大量事
8、例表明存在两个以上变量间的函数关系.撇开以上函数形式具体意义,可以建立多元函数定义，下面主要介绍二元函数.定义 5.1 设在某一过程中有三个变量 x , y 和 z，如果对于 变量 x , y 在其变化范围 D 内的每一对值 ，按照法则 有唯一确定的值 z R 与之对应，那么称对应法则),(yxf为定义在 上的二元函数。记作 ， . 其中 x ， y 称Rf:D),(xfD,为自变量， z 称为因变量， 点集 称为函数的定义域。 D 中任一对数 ( x , y )在法则 下的对应值 z ，称为 在点 的函数值， 集合 f f),(y ,()fzf称为函数的值域),(yx类似，可以定义三元函数
9、， 以及 元函数),(zyxfuz),(n，,(21nxf Dxn21或 ， )Px),(一般情况，用算式表达的多元函数 ，其定义域为使算式有意义的点 的全(PfuP体所构成的集合.例如， 的定义为)ln(yxz0,D函数 的定义域为)arcsin(2yxz 1),(2yx对于二元函数 ， 中的点集),(yxfz3R),(Dyxfz称为二元函数 的图形.一般情况，二元函数 的图形为一个曲面。即),(yxfz ),(yxfz当( x , y) 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动,当 (x , y)取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中“织“出一片曲面.
10、 即, 二元函数表示空间中一片曲面 , D 是该曲面在 x y 面上的投影区域 .如 的图形为旋转抛物面； 的2 21yxz图形为上半球面.拓展模块55.1.2 二元函数的极限对于二元函数 ， 或 表示),(yxfz),(,0yx),(),(0yxP2200P定义 5.2 设二元函数 的定义域为 ， 为 的聚点，如果),()yxff D),(0yx存在常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点A时，都有),(),(0PUDyxPAyxff),(则常数 称为函数 当 时的极限，记为A),(yx,0或 fyxlim),(),0 ),(),(),( 0yxyxf也可记为或 APf)(li0
11、 )()(0Pf例 4 设 ，求证 .221sin),(yxyxf (,)(0,)lim,)xyfxy证 由于2221sin)(0),( yxyxyxyxf 因此，任给 ，取 ，当 时，有220),(yxyf所以 0),(lim)0,(,fyx注意： 是 以任何方式趋向于 时， 都趋向Afyx),(li),(),0P),(0yxP),(yxf于 ，或者说 沿任何路径趋向于 时， 都趋向于 .如果AP),(0yx,fA沿不同路径趋向于 时， 趋向于不同的极限，则 趋向于),(yx),(0yxf ),(yx时， 没有极限 .因此，确定极限不存在的常用方法有：(1) 令 沿0),(yf P拓展模块6
12、趋向于 ，若极限值与 有关，则可断言极限不存在；(2) 找两种不同趋kxy),(0yPk近方式，使 存在，但两者不相等，此时也可断言 在点 处极lim0xfy ),(yxf),(0yxP限不存在 例 6 证明 不存在2630lixy证 3k2630limyyx62303lixkkx,12k其值随 k 的不同而变化，故极限不存在例 5 考察函数0,0),(22yxyxf当 的极限情况.),0(),(OyxP解 当 沿 轴方向趋向于 时，有x),(O0lim,(lilim),(li 00),(),0 xxyxyx fff当 沿 方向趋向于 时，有(P),( 21li2li,li),(li 000)
13、,(),0 xxxyyxff因此，当 时， 没有极限.,O),(f二元函数极限比一元函数极限复杂，有很多不同，但也有着很多的类似。如二元函数的极限运算法则与一元函数类似.例 7 求 xyyx)sin(lm)2,0(,解 yxyxyx )si(lil )2,0(,)2,0(,2lim)inl),0(,)2,0(, xyyx5.1.3 二元函数的连续性拓展模块7定义 5.3 设二元函数 的定义域为 ， 为 的聚点，且),()yxfPfD),(0yxP，如果DP0),(),(lim0),(),0 yxffyx则称函数 在点 连续.),(yxf0P如果函数 在 的每一点都连续，则称函数 在 上连续，或
14、者说D),(yxfD是 上的连续函数.),(yxf定义 5.4 设函数 的定义域为 ， 为 的聚点，如果函数),(yxf ),(0yxP在点 不连续，则称 为函数 的间断点.),(yxf),(0yxP),0Pf例如，根据前面讨论，函数0,0),(22yxyxf在 不连续， 是函数 的一个间断点.又如函数)0,(O),()(f1sin,2yxyf在圆周 上的点没有定义，因此， 在圆周 上不连续.|),(2xC ),(yxfC与一元函数连续性类似，可得一切多元初等函数在其定义区域（包含在定义内的区域）内是连续的.如果 是初等函数， 是其定义区域内的一点，则),(yxf ),(0yxP,lim),(
15、),0ffyx例如 231li)2,1(, xyyx例 8 求 yxlim)0,(, 拓展模块8解 )1(lim1lim)0,(,)0,(, xyxyyxyx2li)0,(, yx与闭区间上一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质：有界性质：在有界闭区域 上连续的多元函数必定在 上有界.DD最大值与最小值性质：在有界闭区域 上连续的多元函数必定在 上取得它的最大值和最小值.介值性质：在 有 界 闭 区 域 上 连 续 的 多 元 函 数 必 取 得 介 于 最 大 值 和 最 小 值 之 间 的 任 何 值 .类似，二元函数概念、极限、连续性都可以推广到多元函数上.5.
16、2 偏导数及其计算在一元函数微分学中,通过研究函数的变化率引入了导数的的概念,同样多元函数也要研究类似问题.但多元函数的自变量不止一个,函数关系更为复杂,为此,我们仅考虑函数对于某一个自变量的变化率,也就是在其中一个自变量发生变化,而其余自变量都保持不变的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率.一般地，在二元函数 中, 有两个自zfxy变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令 而让 x 变化，则 z 成为一元函0y数 z = , 我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.0()fxy5.2.1 偏导数的定义与计算定义 5.5 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果),(
17、yxfz),(0xyfx ),(lim00存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数，记为),(yfz),(0x， ， 或 0yx0yx0yxz),(0yfx即 fffxx ,),(lim),( 00类似，函数 在点 处对 的偏导数记为,yfz),(y拓展模块9， ， 或 0yxz0yxf0yxz),(0yf定义为 yxffxfyy ),(),(lim),( 0000如果函数 在区域 内每一点 处的偏导数都存在，则在区域 内定,fzD),( D义两个偏导函数 与 .偏导函数也简称为偏导数.)(yx),(f偏导数的概念可推广到二元以上的函数.例如，三元函数 在 处),(zyxfu),(z对 的
18、偏导数定义为x xfzyfzyxfx,),(lim),(0类似可定义 和 .,fy,fz例 1 求 在点 的偏导数.223xz),1(解 将 看成常数，得yyx同理 yz23因此得 ，812yx 72132yxz例 2 求 的偏导数 .zsin解 ，yxi yxyxz2cos2cos例 3 设 ，求证：yz)1,0(zzln1证 因为 ，1yxxzyl得 zxyzy yy2lnl1ln 拓展模块10例 3 求 的偏导数.22zyxr解 将 和 看成常数，得 yz rxzyxr22由于所给函数关于自变量的对称性，得 ，r5.2.2 偏导数的几何意义由偏导数的定义， 可看成函数 在 处的导数，根据
19、导数的几),(0yxf ),(0yxfz何意义， 是曲线 在 处的切线),(0yxf0,fz,0M对 轴的斜率.同理， 是曲线),(0yxf0),(xyfz在 处的切线对 轴的斜率. 如图 5.1 所示 图 5.1 ,0M5.2.3 函数连续性与可偏导性的关系例 4 讨论函数在点 处的可偏导性和连续性.)0,(解 由偏导数的定义,有0lim)0,(),(lim),( 00 xxfffxx li,li, 00 yyfffyy可见 在点 处可偏导.但由前面知识知极限 不存在,因此),(xf),( )(li)0,(,yxfyx在点 处不连续.,y0,例 4 表明,二元函数 在点 处可偏导,并不能保证
20、它在该点连续,这是与一元),(yxf)(0函数的不同之处.0),( 22yxyxf yTx0Mzx00),(fz拓展模块11例 5 讨论函数 在点 处的可偏导性和连续性.2),(yxf)0,(解 因为 )0,(limli 2)0,(,)0,(, fyxyx 所以 在点 处连续.当 时,由于f xxf|),(的极限不存在,所以 不存在,同理 也不存在.)(xf )(xf5.2.4 多元复合函数的求导定理 5.1 如果函数 及 都在 处可导，函数 在对应点 具)(tu)(tv),(vufz),(vu有连续偏导数，则复合函数 在 处可导，而且有,fztdtvtudt证 设 有增量 时， 及 的对应增
21、量为t)()(，(tt)(tt因此 vuvzuz 21这里，当 时， .0,0,两边除以 ，得 t tvtutvztutz 21因为当 时， ， ， ，得,dtvzdttzt 0lim即 （1）ud类似，对于三元函数 ， ， ， ，其复合函数),(wfz)(tu)(tv)(tw，有 （2）)(,)(ttfz dtztdtt 例 6 设 ，而 ， ，求 .arcsinyx334y解 利用公式（1） ，得 tvztudtz拓展模块12)123()112)(2tyxtyx定理 5.2 如果函数 及 都在点 具有对 及 的偏导数，函数,u,yxv),(yxy在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点)
22、,(vufz)( ),(,xfz的两个偏导数存在，而且有yx（3）xvzuxz（4）yy证明与定理 5.1 类似.类似，对于三元函数 ， ， ， ，其),(wvufz),(x),(yxv),(yxw复合函数 ，有,),(yxyxfz（5）zvuz（6）ywy例 7 设 ，而 ， ，求 ， .vezusinxvxz解 由公式（3）.（4）得)cos()sin( 1yxyxevevxvzuxzyuu)cs()si( yxyxevevvzyuzyxuu例 8 设函数 在对应点 具有连续偏导数，函数 在点 具有),(fz),( ,),(yx对 及 的偏导数， 在点 处可导，求复合函数 的偏导数xyyv
23、 )(fz拓展模块13解 本题属于定理 2 的特例，即 ， 转化为 ，而因此有0xvydv，uzx yvzu例 9 设 具有连续偏导数，而 具有偏导数，求复合函数),(yf),(x的偏导数.,)(xyfz解 本题可看成公式（5）.（6）的特例，即 ，而 ， ，),(wvufz),(yxv，因此得yw， ， ，1xv0wyv1这样， ， xfufz yfufz注意： 与 . 与 的差别 .xfyf例 10 设 ，而 ，求 ， .2),(zyxezfuyxsin2xuy解 参考例 9，得 222)sin1( sinzyxzyxeezfx 222)cosi( si4zyxzzyxeezfyu 对多元
24、复合函数求偏导数是一个难点，但正确区别自变量，中间变量和函数及自变量，中间变量的个数和复合的层次后根据链导公式也就迎刃而解了.因此，在求多元复合函数的偏导，需画出因变量到每一个自变量的关系图，求对某一自变量的偏导数：在关系图中，因变量到此自变量的路线数就是公式中的项数，某一路线经过的“路段”数就是该项的因式个数。这就是“链式法则”.记住口诀：“沿线相乘，分线相加，单路全导，叉路偏导”.5.2.5 隐函数的求导公式拓展模块14一.一个方程的情形定理 5.3（隐函数存在定理 1） 设函数 在点 的某一邻域内具有连续),(yxF),(0yxP偏导数，且 ， ，则方程 在点 的某一邻0),(0yxF0
25、),(0yx),(0域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ，满足条件 ，并)(xfyxfy有 yxFd设函数 由方程 确定，得)(xfy0),(xf两边对 求导数，得x0dxyFx因此得 yx对于函数 求二阶导数，得)(xfy3222 )( )(yxyxyx yxyxyyxxyxFFdFd例 11 设函数 由方程 确定，求 .)(f 0sin2exdxy解 由于 2i,yyxFx得 yeedxy coscos例 12 设方程 在点 的某邻域内确定 ，求 .012x)1,( )(xy02xdy拓展模块15解 由于 ，故1),(2yxFyxdxy2332 2221 )()(yxyyxdx由
26、于是在点 的某邻域内，故 时， ，因此 .)1,0(0102xdy定理 5.4（隐函数存在定理 2） 设函数 在点 的某一邻域内具有),(zxF),(zP连续偏导数，且 ， ，则方程 在点0),(0zyxF,0yz yF的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，),(0zyx ),(yxfz满足条件 ，并有),(0yxf，zxFzy设函数 由方程 确定，得),(yxfz0),(y,xf两边分别对 . 求偏导数，得xy，0xzFx 0yzFy因此得，zxzy例 13 设 ，求 .0422zyx2x解 由于 zyzyxF4),(22得拓展模块16zxzFxzzx24从而2 2223
27、()()()()()()() xzxzzx zxz二. 方程组的情形一般情况，方程组0),(vuyxGF可确定两个二元函数 ， ，有下面的定理保证.,(yx定理 5.5（隐函数存在定理 3） 设函数 . 在点),(vuyxF),(vyxG的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又 ，),(00vuyxP 00，且函数 ，. 的雅可比行列式GFGvuvJ),(在点 不等于零，则方程组 ，,00yxP 0),(vuyxF0),(vuyxG在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数)(vu， ，满足条件 ， ，并有),yxu,(yx),(00yxu),(0yxv, vuvxGFvJx
28、),(1 vuxuGFxJ),(1, vuvyFvJyu),(1 vuyuFyJ),(1拓展模块17定理不证，仅推导求导公式：设 ， 由方程组 ，),(yxu),(yxv0),(vuyxF确定，则0),(vuyxG0),(,yxvuyxF两边都对 求偏导数x0xvGuFx由于 0),(vuFvJ解得，),(1vxGFJu),(1xuGJ同理可得，),(1vyJu),(1yuFJ例 14 设 ， ，求 ， ， ， .0xxxvy解 把 看成 的函数，将方程两边对 求偏导，得vu,y,vxuy解出 . 得xuv2yxvuyxvu拓展模块182yxvuyxv用同样的方法，可得，2yxuv2yxvu5
29、.2.6 高阶偏导数一般情况，函数 的两个偏导数 和 仍然是 , 的函数.因),(yxfz ),(yxf),(fxy此，可以考虑 和 的偏导数，即二阶偏导数 ，依次记为),(fxy，),(2xfz ),()(2yxfzxy，),()(fyxxy ),()(2fy类似，可定义三阶.四阶以及 阶偏导数.二阶以及二阶以上偏导数统称为高价偏导数n例 15 设 ，求 ， ， ， 及132xyyxz 2xzyxz22y3xz解 由于 ，32 239得 ，19622yxyz 1622yxz，83223y由此例看出： .本书所涉及的函数都满足与求导数的次序无关的条件.xzy2例 16 验证函数 满足方程2ln
30、z02yz解 因为 ，得 ，)l(1l 22xyx 2x2yxz拓展模块19，222 )()(yxyxz 222 )()(yxyxz由此看出 .02z例 17 设 ， 具有二阶连续偏导数，求 ， .),(xyzfwf xwz2解 令 ， ，并引入记号yxuv，uf),(1vuf),(2得 21fyzxffxw fffyzz 2212)(再记 ， ， ，得21),(uvff vuff,(21 22),(vuff22111221 )( )()( fyzxfzyffxffyzzxw5.2.7 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数） ，而且还要设法求得函数在其他特
31、定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数.一.方向导数 1. 定义 5.6 设函数 在点 某一邻域内有定义, 是由 引出的且与),(yxfz)(yxPlP轴正向夹角为 的射线, ,若xl( ) ),()(lim0 yxfyxf 22()yx拓展模块20存在,则称这极限为 在点 沿方向 的方向导数,记作 .),(yxfPllf显然 , .lfxly此处 分别为 轴的正轴, 且假设 存在.yxl, yfx,2.定理 5.6 若 在点 可微，则函数在该点沿任意方向 的方向导数都存在，),(yxfzPl且有 ，sincoyfxfl其中 为 轴到方向 的转角证 由于函数可微，则,)(),(),(
32、oyfxfyfyxf 于是 , ffff ,)(sincooyfxf所以 . sinco),(),(lim0 yfxfyfxff 注:本定理可推广到多元函数 , 例如 ),(zfu.cosscosyfxfl 其中 为方向 的方向角.,l例 18 求函数 在 处沿从 到 方向的方向导数.yxez2)0,1(P)0,1(),2(Q解 , .lQ4， ，1)0,(2)0,1(yexz 2)0,1(2)0,1(yxeyz所以 .4sin)colz拓展模块21例 19 设由原点到点 的向径为 , 轴到 的转角为 , 轴到射线 的转角为 ,求 . ),(yxrxxllz其中 .0|2r解 ， .cos2r
33、xyx sin2ryxyr所以 .)co(icosinxl二.梯度1.定义 5.7 设函数 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点),(yxfz，都可定出一个向量 ，这向量称为函数 在点DyxP),( jfi),(yxfz的梯度，记为,.),(gradyxfjyfi2.梯度与方向导数 ),(gradPj),(gradsinco yxfexfyfxfl 其中: 为与 同向的单位向量i,sel(1) 是 在 上的投影.lf)(gradyxf(2) 当 与梯度 同向时, 达到最大值.lf3.梯度的模: .22|),(grad| yfxfyf4.梯度与 轴的夹角 : , ( )xxftn0
34、f例 20 设 ,求 .21),(yf),(gradyf解 因 , ,2)(xf2)(xf拓展模块22所以 .),(gradyxf jyxiyxjyfi 22)()(5.三元函数的梯度: .,),(rzffzf例 21 设 ,求 .22),(yxzf)2,1(gradf解 由于 ,gradzyxzff 故 .4,2),1(f例 22 求函数 在点 处的梯度，并问在哪些点处梯度yxzyxu3)2,1(P为零？解 因 6,4,2,),(grad zzfyxfzf 故 ,15,Pyf而在 处梯度为 0)23(0三.等高线 1. 等高线 : （图 5-2） *L .0,),(zcyxf图 5-22.
35、的法线斜率: *L.1xyfyk可见 与 的法线同向.),(gradf*L拓展模块233.法线 的方向从低值等高线指向高值等高线. *L5.3 全 微 分5.3.1 全微分的定义根据一元函数微分学增量与微分的关系，可得 yxfyfyxf ),(),(),(这里， 与 称为偏增量， 与,fxyfx),(称为偏微分 .对于函数 ，在点 处的全增量为yxfy),( ),(yxfz)(yx,(xfz定义 5.7 如果函数 在点 处的全增量)y)(x,(yfxfz可表示为)(oyBAz其中 . 不依赖于 . 而仅与 . 有关， ，则称函数Bxx22)(yx在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，),
36、(yxfz),(y,fz,x记为 ，即dBxAdz如果函数 在区域 内每一点都可微分，则称函数 在区域),(yxfzD),(yxfz内可微分.D如果函数 在点 处可微分，即),(fz),( )(oyBxAyfyx或拓展模块24)(),(),( oyBxAyfyxf 因此),(),(lim),(lim00 yxfffyxyx 这说明函数 在点 处连续.,fz,(定理 5.7（必要条件）如果函数 在点 可微分，则函数 在),(xfz),(y),(yxfz点 的偏导数 . 存在，而且有),(yxxzyyzxdz证 设 在点 可微分，因此),(yxfz),()(),(oyBxAyf取 ，得0y)|()
37、,(),( xyxfxf 因此得Axoxff xx )|(lim),(),(lim00即 存在，且 .同理证 .zAzByz但是，如果一个函数 偏导数存，函数不一定可微分.考查函数),(xf0,0,),(22yxyxf在 处，偏导数存在，且 ， ，从而),0( ),(f 0),(yf22)()0,()0,( yxfxfzyx 注意到拓展模块25220220 )(lim)(limyxyx不存在，即 不能表示为 的高阶无穷小，故函数),(),(ffzyx在 处是不可微分的.),(yxfz),定理 5.8（充分条件）如果函数 的偏导数 . 在点 连续，则函数),(yxfzxzy),(在该点可微分.证
38、 考察全增量),(),(),(),( yxfyxfyxfyxfz 应用微分中值定理，得，ffyxf x),(),(),( 1)10(，yyx),2(2由于 的偏导数 . 在点 连续，可得),(yxf ),(fx)(fy,(xxx 11 yfyfy 22),(),(这里，当 时 ，因此0,x0,21yxyxfyfzyx21)()( 由于|2121故当 ，即 时， .即函数 在点 处0,yx 021yx),(yxf),(可微分.对于自变量 . ，增量也是微分，即 . .因此对于可微分的函数d拓展模块26，其全微分可写成),(yxfzdyzxdz对于可微分的三元函数 ，也有),(fu dzuyxu例
39、 1 计算函数 的全微分2yxz解 因为 ， ，得 .2 dyxydz)2(2例 2 计算函数 在点 处的全微分.yxez)1,(解 因为 ， ，得 ，xyxy21ezyx21ezyx因此 .dedz22例 3 计算函数 的全微分.zyxusin解 因为 ， ，1zye2cozyeu得 dzydxuzy)s2(全微分形式不变性：设 具有连续偏导数，则有全微分),(vufzz如果 . 又是 . 的函数，即 ， ，则复合函数uvxy),(yx),(yxv),(fz的全微分为 dyxd由复合函数的偏导数公式，得拓展模块27dvzudyvxzyxzudvzudz )()( 这说明：无论 . 是自变量或
40、是中间变量，函数 的全微分的形式v ),(vufzdvzudz总是正确的.这个性质称为全微分形式不变性.例 4 设 ， ， ，其中 . 与 都具有一阶连续偏导数，),(zyxfu),(tx),(zxf求 ， .解 对各个函数求全微分，得dzfyfdxfutydzxdt代入，得 dzftyfdxtyfxf zu )()( 利用全微分的形式不变性，得xtyfxfxu5.3.2 全微分在近似计算中的应用如果函数 在点 处可微分，则),(yxfz),(yxfdyx),(拓展模块28或 yxfyxffyxf y),(),(),(),(或 )() 00000fx 例 5 计算 的近似值2.41解 设 ，则
41、yxf),( )2.,41()4.1(02.f取 ， .由于2x,y， ，),(f)2(xf 0),(yf得 08.12.4.10.,4104.12. 5.4 二元微分法的应用5.4.1 二元微分法在几何上的应用一.空间曲线的切线与法平面1.参数曲线 : , 式中的三个函数均在 可导.)(tzytx),(00zyxP(1) 切线方程： .)()(000tztytx证 如图 5-3,割线 的方程为P图 5.3 zyx000上式分母同除以 ,有ttztt000拓展模块29当 时, ，于是得到切线方程.0Pt(2)切向量: ,即切线的方向向量.)(,)(00ttT(3)法平面方程： 0)()()(
42、0000 ztytxt法平面- 过 点且与切线垂直的平面.M例 1 求曲线 ， , 在 处的切线和法平面方程 .:t2ty3z)1,(解 由于 ， , , txtt因此 在 处的切向量为 )1,(3,2T所以 (1) 切线方程为 .1zyx(2) 法平面方程为 ,0)()()( z即 .0632zyx2.特殊曲线 : , .)(xzy0P(1) 切向量: .),10T(2)切线方程： ,)()(000xzyx(3)法平面方程: .0)( 0z3.一般曲线 : , .0),(zyxGF0P(1) 切向量: .0,Pyxzy GFT(2)切线方程为: ,0000 PyxPxzPzy zGFx(3)
43、法平面方程:拓展模块30.0)()()(00 000 zGFyGFxGFPyxPxzPzy证 若 .则在 附近确定了 , 且),(00PzyPJ 0)(xz,00 1),(0 Pxzx GFJJd,00),()(0 Pyxxyz于是,切向量为 .0,)(,10 Pyxzy GFGFJT 例 2 求曲线 在点 处的切线及法平面方程.622zyx)1,2(解 对 求偏导数,整理后有 xz, zyxxzy0)1(xy1)(xz由此得切向量 .,1xT所以 (1) 切线方程为 102z(2) 法平面方程为 ,0)()(yx即 .z二. 曲面的切平面与法线一般空间曲面 : , , 有连续偏导数.0),(zyxF),(0zyxPF(1)切平面 : 曲面 上通过 的一切曲线在点 的切线都在同一平面 上，这个平面 称为 在点 的切平面.其方程为0.0)()()( 00 zPFyxPFzyx(2)法向量 : 垂直于曲面 上切平面 的向量 称为曲面的法向量 .nn
