第五节微分法在几何上的应用 设空间曲线的方程 1 式中的三个函数均可导 一 空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置 切线的过程 上式分母同除以 割线的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 法平面 过M点且与切线垂直的平面 1 空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地 2 空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 二 曲面的切平面与法线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 特殊地 空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设为曲面上的切点 切平面方程为 依题意 切平面方程平行于已知平面 得 因为是曲面上的切点 所求切点为 满足方程 切平面方程 1 切平面方程 2 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 当空间曲线方程为一般式时 求切向量注意采用推导法 求法向量的方向余弦时注意符号 三 小结
