1、0809 B一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）2、设 ，则其全微分 )ln(xyzdz1d3、函数 的所有间断点是 .xyu2(,)|,xR二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、 ，则极限 （ ）2),(yxf),(lim0yxfy（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0A当点 沿曲线 趋向 时，(,)Pxykx(0,)显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。200lim,lixxykf21所以 不存在2(,)0,lixy2、在曲线 所有切线中，与平面 平行的切线（ 32,tzt43zyx）（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有 3 条； （D ） 不存在曲线的切
2、向量 ,平面的法向量2(),()=(1)Tttt， (1,3)n, , 所以只有一条切线满足条22(1,3),1690tt， 23t.3t得件.3、点 是函数 的（ ）0,xyz（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令 ,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是 的鞍点,不是极值点.,0xyzzx xyz四、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1、设 求 和, , ,sinyxvuvezu y解 zfufvxxesincosesin()cos()uuxyyvyxyiuuffxyy ixy五、解答题（每小题分 10，共 20 分）1、要造一个
3、容积为定数 a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为 则问题就是在条件 下,zyx(,)0xyza求函数 2S0,(x的最小值. 作拉格朗日函数(,)2(),Lxyzzyza求其对 的偏导数，并使之为零，得到 ,xyz 0,().yxza因为 都不等于零， 得 代入 ,得z, 1,2zxy0x这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一3332,xaya定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得. 即长宽高为 时, 最3312,a小表面积 23().S0910B一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）2、设函数 是由方程
4、 给出，则全微分 ),(yxfzzyx422dz, .d4xdzdz3、曲面 在点 处的切平面方程为 .122y)3,2(P切平面得法向量 (,23)(1,)nxyz,46)切平面方程为 +46023140.xyz或二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、二元函数 在点 处可微是两个偏导数 都存),(yxf),(0y ),(,)( 00yxfyxf在的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题 10 分，共 40 分）1、设 ，而 、 ，求: 、 vuzln2yxyv23xzy解： ，223lxxy 2323lnyxy101
5、1B一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）(1) 设二元函数 ，则 .)1ln(yxezy )0,1(|dz(1,0) (1,0) (1,0)| l| |xyxy xydz ey(1,0)2ed()(2) 旋转抛物面 在点 处的法线方程是 .12yxz)4,(法线的方向向量 (2,1)(2,14),s,)法线方程是 .z二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）(4) 设 的全微分为 则点 ( C ),(yxfz ydxz)0,不是 的连续点； 不是 的极值点；.A,.B,(f是 的极小值点； 是 的极大值点.C)(yxfD)yx分析: ,得 ,由 ,则点 z,xyz1,0xyxyz2
6、10,ACBA是 的极小值点.)0,()(f三、求偏导数（每小题 10 分，共 20 分）（1）设 ，其中 具有二阶连续偏导数.求 ； ； .),(3xyfzf yz2yxz解: 2312()ffx2312xfxf312()zfyx412f2421()f421212()()fxfxfx53112xffxyz2421()f34 2112 12()yyxfffxffx 2.x(2)设 是方程 在 点确定的隐函数，求 及),(yz )arctn(zyxz),0( xz)1,0(y解:令 1 分)arctn(, zyxxyzF则 2)(1z6 分2)(zyxyFx 2)(1zyxzFy； 8 分)(1
7、2zzzx10 分1)(2)1,0( yxFyzy六、应用题（本题满分 10 分）从斜边长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.l解：设另两边长分别为 ，则 ，周长 2 分yx,22lylyxC设拉格朗日函数 4 分)()( 2xF令 6 分0212lyxFyx解方程组得 为唯一驻点，且最大周长一定存在 8 分故当 时，最大周长为 10 分lyx2lC)21(1112B一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）1. 在点 处的yxz2)1,( ._dz2,d1.xyy2. 设函数 在点 取得极值，则常数 .af 2),(2 )1,(_a, ,所以211,40x xy
8、f 1(0yxyf5.例 36 设函数 在 处取得极值，试求常数 a，并确定22(,)fax(,)极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道 取得极值，只需要根据可导函(,)fxy数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题解 因为 在 处的偏导数均存在，因此点 必为驻点， 则有(,)fxy, (1,)，2(1,)(1,)(1,)(1,)40fxayfy因此有 ，即 410a5a因为， ， ，2(1,)4fAx2(1,)(1,)2fByx2(1,)(1,)2fCxy， ，22440ACA所以，函数 在 处取得极小值(,)fxy1,)二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）3. 在点
9、处函数 的全微分 存在的充分条件为 （ ）P),(yxfdf(A) 均存在 (B) 连续 yxf, f(C) 的全部一阶偏导数均连续 (D) 连续且 均存在yxf,三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）1. 设 是由方程 所确定的隐函数，计算 的值.),(yxzzyx222,xz解:设 ，则 ， ，2,FzxFy ,zF,21zxz2()1xz2()xz2231(1)()zxz4. 求函数 在点 沿着从该点到点 的方向导数.yu3, 5,解 方向 (3,4)l04.1l 13cos,4s13cos,),2(5),12(zyx u.68csocszulz五、证明题（每小题 7 分，共 7 分
10、）证明 在 点偏导数存在，但不可微.2(,)0,(,)0xyf),(证: ,(,),()fxfy0 0()limlim.xx xfx0 0(,(,)li li.yy yfyff .3 分,)(,fx所 以 函 数 在 处 可 导 .20200 lim),(li),limyxyxfyfzy 当点 沿曲线 趋向 时，(,)Pxykx(,).2222000()limlilim()xxykykx x 21k显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。所以 不存在20liy这表示当 时, 0(,0)(,)()xyzffo(,),fxy所 以 函 数 在 点 不 可 微 .1213B一、填空题（每小题 2 分
11、，共 10 分）(2) 极限 .xyyx1lim)2,0(,. 分子有理化12(3) 设二元函数 ，则 .xyezdzxydze二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 设函数 ，则极限 (),(yxf,lim)0,(, yxfyx(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.012当点 沿曲线 趋向 时，(,)Pxykx(0,)显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。200lim,lixxykf21k所以 不存在2(,)0,lixy(2) 二元函数 在点 处的全微分存在是它在该点连续的( )f,0yx(A) 充分条件 . (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非
12、充分也非必要条件.如果函数在一点可微分,则函数在该点连续三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）(1) 设 ，求 ， ， 和 .3xyzzyxz22y解: 23,32,23,26.zxy(2) 设 是由方程 所确定的隐函数，求 和 .),(yxzyzxln解 I： 用隐函数求导公式，yzzyxFl,1zxF,yzxzF12,12zxzx)(122zxyzy解 II： 将 看作 的函数，两边对 求导，得：yx,xxzz12即 ，同理两边对 求导得zy)(xy解 III： 将方程两边求全微分，得：，解出 得：ydzxzd2 zdyzxdz2， 将 z 看作 的函数，继续求导，即得二阶偏导数：x)
13、(2xyx,， ，322xz322xzy322xzy四、应用题（每小题 10 分，共 20 分）(1) 求旋转抛物面 上垂直于直线 的切平面方程.2yxz03521zyx解: 令 ,任取旋转抛物面上一点 ，该点的法向量2(,)Fxyz(,)Mx, 已知直线的方向向量(,)(2,1)xyznFxy 1(3,41)25ijks因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行,所以 代入 ,得 ,2134xy 3,2xy2yxz94z所以所求的切平面方程为 5()4()0或 .250xyz注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1. 把 看成是 的函数，在方程组 中对 求导，得,yzx10253x
14、yzx，解得 1025dyzx413dxz则方向向量 4(1,).3s2. 令 ， ，直线的方向向量,1Fxyzz(,)25Gxyzyz，1(,)(3,41)25T(2) 求函数 在条件 下的最大值与最小值. 1yxz82yx解 令 ，于是由2(,)(),Fy解得 即 , 为可能的极值点，可能的极值2108xy,.2xy(2), ,从而所求函数的最大值是 ，最小值是 .(,)5z()3z (,)5z(2,)3z五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）(2) 设 是定义在 上的连续函数， 是由圆 和直线xf),0DRyx， 所围成的区域在第一象限部分（ ， ）. 记tanxyy 0R2，求
15、.DdxyfRF)(),(2RF2解: 区域 用极坐标表示D(,)|0,RdxyfRF)(),(22Dfd20()Rfd20Rf20()fR2()d.R0607 高数 A一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）一、 填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1. 函数 的定义域为 _.2arcos),(yxzzyxf 22(,)|,05. 曲面 上点 P(1,1,2) 处的切平面方程为 .4yxz切平面的法向量 (1,2)(,|,1)n切平面方程 或 .21)0z60xyz二、单项选择题（本题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）1. 考虑二元函数 的下面 4 条性质：
16、点 处在 ),(),0yxf ,连 续 两 个 偏 导 数 连 续 ,可 微 ,两 个 偏 导 数 存 在若用 表示可由性质 推出性质 ，则有 A “QPPQ(A) ; (B ) ; (C) ; (D) .2. 坐标原点(0,0)是函数 的 B xyz532(A) 既是驻点也是极值点； (B) 驻点但非极值点；(C) 极值点但非驻点； (D) 既非驻点也非极值点. ,所以(0,0)是驻点但非极值点250B三 、计算题一（本题共两小题，满分 15 分）1. 已知 、 ； xzyz求,tanly2解: 2sec1ot,tanzxy2(ct)zyxy2231ctsc.xyy2.已知 ，求 .022z
17、dxz和解: 注意 在方程组 中对 求导，得(),.yx2210yzx，解得102dzxy .dxzyz0708 高数 A一、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1. 极限 ._sin1lim)0,(, xyyx(,)0, 1li .i() 2i()xy 2. 曲面 上点 P(2,1,0) 处的切平面方程为 .3xyze设 ,F切平面的法向量 (2,10)(e|,zn切平面方程 或 .2)xy4xy二、单项选择题（本题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）1. 设 ,则它在点(1,0)处( B ).23z(A) 取得极大值; (B ) 无极值 ; (C) 取得极小值
18、; (D ) 无法判定是否有极值.解: , .21,0(1,0|x(1,0)1,0|2|yz,(,)(,)|6|z(,)|C(,)|xyz,所以函数在点(1,0)处无极值.210ACB三 、计算题（本题共两小题，满分 14 分）1. (7 分) 设函数 其中 具有二阶连续偏导数 ,求 . ),(yxfzf 2xz1(7 分) 解: 3 分21fyx7 分212ffz2.(7 分) 设函数 ，求 .zyx22yxz2,解: 令 , 1 分),(zF222 分,zFyx4 分,1zzx ,1zyz将 看作 的函数,继续求导,得y7 分32)1(zx0809A一、填空题（每小题 2 分，满分 10
19、分）1. 极限 ._1lim)0,1(, xyyx(,)1,0lixy .212. 曲面 在点(1,1,2) 处的切平面方程为 .2yz设 ,切平面的法向量(,)Fxz(1,2)(2,|,)nxy切平面方程 或 .()00z二、选择题（每题 2 分，满分 10 分）1.函数 在 可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的( A ).),(yxf),0(A) 充分条件; (B ) 必要条件 ; (C) 充要条件; (D) 非充分亦非必要条件.2. 设 在点(0,0)处( C ).xyz(A) 取得极大值; (B ) 取得极小值 ; (C) 无极值; (D ) 无法判定是否有极值.三 、求偏导数或全微分
20、（每小题 8 分，满分 24 分）1.设函数 ,求 dz 和 . 42zxy2xz解: 328,348,zy3232(4)(),dzxydxd2322818.y2. 设 ，求 . ,3,ln2xvuzyzx,解： ，22lyyxy 2323lnyxy3 设 由 确定， 有一阶连续偏导，求),(z(,)fzf,z解: 设 则,.Fxyxy12(),xfzf1212(),()zFffFfxyf12,()xzyf 21.()yzf六、 （8 分）求函数 的极值4)6(, 22x解：解方程组 2()0,)(xyfy求得以下五组解 36;,0404xxyy于是驻点 ,又(0,);,4;(6,);,;(3
21、2)2 2(,)8;(,)4(3)2;(,)1,x xy yfyfxfxx所以1.在 处 ,),(0(,0),(0,),(0,)xxyyAfBfCf故 不是极值；24,CB,2. 在 处(,)()(4)2,(,4)xxyyfff故 不是极值；20,A,3. 在 处(6,0)(6)(60),(6,0)xxyyfBfCf故 不是极值；24,CB,4. 在 处(,)()(4)2,(,4)xxyyAfff故 不是极值；20,6,5. 在 处(3,)(3)8(3,)0,(3,2)18x xyyfBfCf故函数在 点取得极大值，极大值为 36.2140,ACB(,2)综上所述，函数的极大值为 36，无极小
22、值.0910 高数 A一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 设 ，则 .0xyzexz.z3. 函数 的全微分为 .2yx2d二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）4. 曲面 在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为 3zyx B (A) ； (B) 3； (C) 9； (D) 1. 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1.设 .yxzz2sin， 求解： ； yxco1 yxyxzsinco132四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）1. 在已给的椭球面 内的一切内接长方体（各边分别平行于122czba坐标轴）中，求其体积最大者.解：此题是条件极值，约束条件是内接于椭球
23、面由椭球的对称性，不妨设 是该),(zyx球面上位于第卦限的任一点，则约束条件为 ，本题不易变为一元函数，122czbyax采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为 ，其体积为：)0,(,zyx.xyzV8构造拉格朗日函数 xyzzxL8),( )1(22czbya求得 , =(,),3abcyzxzV83六、 （8 分）设函数 f (u)在 (0,+)内具有二阶偏导数，且满足等式 .(2yxfz02yzx 验证 ； 若 求函数 f (u)的表达式.0)(uff ,1)(,)1(ff解： 设 ，则2yx2 分)()(1)();( 322 ufxfufzufz 同理， )()()(322
24、 fyffyz 由 . 4 分02yzx 0)(1)(uff 设 ，dupfpuf)(,)(则原方程化为： ud01积分得： ，即 6 分uCp,)(uf由 得 C=1.,1)(f于是 1|ln代入 得：C 1=0.0)(f函数 f (u)的表达式为： . 8 分|ln)(uf1011 高数 A一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、 ._)sin(lm)2,0(, xyyx2二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、设 可 导 函 数 满 足 则 ( B ),(yf 0),(),(0yxfyxf是 的 极值点 是 的 驻点 ),(0yxA、 x0B、 ,f是 的 连续点 在 处可微
25、分C、 ),(f 、D),(f)0三、求下列函数的导数（每小题 6 分，共 18 分）1、已知 ，求xyzarctnyz,解:2221,1()()zxyx y2、已知 ， 求0zeyzx,解: 设 则 ,(,).Fxy,F,zyxFexy,zze .yzze3、已知 ，求 ，),(2yxfzxzy解: 12,yfxz12.f1112 高数 A一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 极限 .yxyx)sin(lm)0,(,0二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 函数 在点 处的全微分存在的充分条件是( ),(yxf,0y(A) 在点 处的两个一阶偏导数都存在. (B) 在点
26、 处连续. ),(f),0(C) 在点 处的两个一阶偏导数都连续. yx(y(D) 在点 处连续并且两个一阶偏导数都存在.),(f),0(2) 设 ,则它在点 处 ( )32z,(A) 取得极大值 . (B) 无极值 . (C) 取得极小值. (D) 无法判定是否有极值.解：解方程组 求得解 于是驻点 又20,3xyz0xy(,0)(,);(,);(,)6,xxyfff所以在 处 ,0020(0,)xyABCf可能是极值点,也可能不是极值点.24,CB)(但是在 附近函数有大于 0 的点也有小于 0 的点.所以在 处无极值),( ),(三、计算题（每小题 10 分，共 40 分）(1) 设 ，
27、求 ， ， 和 .yxzsin2xzyxz22y(1) 解： ， 5 分icos2， 10 分yxzcos2yxzsin22(2) 求函数 的极值.)(),(22efx解：解方程组 2410,(,)()xxyyf求得解 于是得唯一驻点 又1,y(,1)22(,)(484);xxfey2 2(,)4(1),(,),x xxy yfefe,110,(,0xyyABfC故函数在 点取得极小值，极小值为2CBe)2.2五、应用题（10 分）设 具有连续偏导数，且满足 . 求),(vuf uvfvuf),(),(所满足的一阶微分方程，并求其通解.)2xexy(2) 解： ),(),(),(22 xfxf
28、ef vu ， 3 分xe满足的一阶微分方程是 . 5 分)(y xey2通解 22Cdxexed Cd. 10 分311213 高数 A一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）(2) 设二元函数 ，则 .xyezdzxyxyed二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 设函数 ，则极限),(yxf),(lim)0,(, yxfyx(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.012D(2) 二元函数 在点 处的全微分存在是它在该点连续的),(yxf),(0y(A) 充分条件 . (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.A三、计算题（每小题 8
29、 分，共 40 分）(1) 设 ，求 ， ， 和 .3xyzzyxz22y解: 23,32,23,26.zy(2) 设 是由方程 所确定的隐函数，求 和 .),(yxzyzxlnx解 I： 用隐函数求导公式，yzzyxFl,1zxF,yzzF12,12zxzx)(122zxyzy解 II： 将 看作 的函数，两边对 求导，得：yx,xxzz12即 ，同理两边对 求导得z )(yz解 III： 将方程两边求全微分，得：，解出 得：ydzxzd2 zdyzxdz2， 将 z 看作 的函数，继续求导，即得二阶偏导数：x)(2xyx,， ，322xz322xzy322xzy五、综合题（10 分）设 是定义在 上的连续函数， 是由圆 和直线)(xf),0D22Ryx， 所围成的区域在第一象限部分（ ， ）. 记tanyy 0，求 .DdxyfRF)(),(2RF2解: 区域 用极坐标表示 (,)|0,Ddxyf)(),(22Dfd20()RfdFR20Rf20()fR2()d.
