1、第九章 多元函数微分法及其应用8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间1平面点集二元的序实数组(x y)的全体 即 R2RR(x y)|x yR就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E(x y)| (x y)具有性质 P 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C(x y)| x2y2r2 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成CP| |OP|r 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 P (x y)的全体
2、称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0 即|,U或 |),22yx 邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 0 为半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心 邻域 记作 , 即 |0|),( 注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 0U点与点集之间的关系 任意一点 PR2 与任意一个点集 ER2 之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得
3、U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E 聚点 如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域 ),(U内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点 由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E(x y)|1x2y22 满足 1x2y22 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2y21 的一切点(x y
4、)都是 E 的边界点 它们都不属于 E 满足 x2y22 的一切点( x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点 开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E( x y)|10 h0内取定一对值(r h) 时 V 对应的值就随之确定例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系RT其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合( V T) | V0 T0内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定例 3 设 R 是电阻 R1、R 2 并
5、联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系21R这里 当 R1、R 2 在集合( R1 R2) | R10 R20内取定一对值( R1 R2)时 R 的对应值就随之确定定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f DR 为定义在 D 上的二元函数 通常记为zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD)其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值( x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点( x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D) z| zf(x y) (x y)D 函
6、数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为uf(x1 x2 xn) (x1 x2 xn)D 或简记为uf(x) x(x1 x2 xn)D 也可记为uf(P) P(x1 x2 xn)D 关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如
7、函数 zln(xy)的定义域为(x y)|x y0(无界开区域)函数 zarcsin(x2y2)的定义域为(x y)|x 2y21(有界闭区域) 二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y) (x y)D称为二元函数 zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x2+y2 的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数 f(P)f(x
8、 y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当 ,U时 都有|f(P)A|f(x y)A|成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x 0 y0)时的极限 记为Ayxfyx),(lim),(),0 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) 也记作 Pfli0或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 221sin),(yxyxf 求证0),(lim)0,(yxfyx 证 因为22222 |1sin| i)(|0),(| yf 可见 0 取 则当22)(yx 即 ,),(OUDyP时 总有
9、|f(x y)0| 因此0),(lim)0,(xfyx 必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数 0),(22yxyxf在点(0 0)有无极限？ 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 0lim),(li,lim,),( xff 当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时 li,li),(li 00)0, yyfxf 当点 P (x y)沿直线 ykx 有2202 )0,(, 1lili kxxkxy 因此 函数 f(x y)在(0
10、0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 xyx)sin(lm)2,0(, 解 yxy)sin(li )2,0(,),(, yxyx)2,0(,)2,0(, limsinl122 四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D 如果),(),lim0),(),0yxffyx 则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续
11、函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数 证 设 P0(x0 y0) R2 0 由于 sin x 在 x0 处连续 故 0 当|xx 0| 时 有|sin xsin x0| 以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然|f(x y)f(x0 y0)|sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2 上连续 证 对于任意的 P0(x0 y0)R2 因为),
12、(sinlim,li 00),(,),(), 0ffyxyx 所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y)在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如函数 0 ),(22yxf其定义域 DR2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当( x y)(0 0)时
13、的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1sin2xz 其定义域为 D(x y)|x2y21 圆周 C(x y)|x2y21上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则
14、运算和复合运算而得到的 例如 21yx sin(xy) 2ze都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则)(lim00Pfp 例 7 求 xyyx)2,1(, 解 函数 xyf),(是初等函数 它的定义域为D(x y)|x0 y0 P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0 的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以 U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此23),1(,lim)2,1(, ffx 一般地 求 0P
15、时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内点 则 f(P)在点 P0 处连续 于是)(li0f 例 8 求 xyyx1lim) ,(, 解 )1(lili )0 ,(,)0 ,(, xy21lim)0 ,(, xyyx 多元连续函数的性质 性质 1 (有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界 且能取得它的最大值和最小值 性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M0 使得对一切PD 有 |f(P)|M 且存在 P1、 P 2D 使得f(P1)maxf(P)|PD f(P2)minf(P)|PD 性质
16、2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 zf(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导数 定义 设函数 zf(x y)在点(x 0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 相应地函数有增量f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x,lim0存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x 0 y0)处对 x 的偏导数 记作0 0f 0
17、yz 或 ),(0yfx 例如 fxfyxf ,),(lim),(00 类似地 函数 zf(x y)在点(x 0 y0)处对 y 的偏导数定义为 yxfxf),(),(lim00 记作 0yxz 0yxf 0yxz 或 fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数 zf(x y)在区域 D 内每一点( x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量 的偏导函数 记作 或 ,偏导函数的定义式 xffyxf)(,(lim),(0类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为y zy 或 , 偏导函数的定义式 yxffxf),(li)
18、,(0求 xf时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求f时 只要把 x 暂时看作常量而对y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？0),(),(0yxxxff 0),(),(0yxyff 0,xfdyf 0,yfd 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数 uf(x y z)在点(x y z)处对 x的偏导数定义为xzyffzyxfx),(),(lim),(0 其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例 1 求 zx23xyy2 在点 (1 2)处的偏导数 解 8231yxz 72132yxz 例 2 求 zx2s
19、in 2y 的偏导数 解 sin z2cos 例 3 设 )1,0(xzy 求证 zyxz2ln1 证 1yxz xzylnzxyy2l1l 例 4 求 2zyxr的偏导数 解 r2 ryzx2 例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1pTV 证 因为R 2V p T R 所以12pVpTV 例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数 zf(x y)在点(x 0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)f(x y0)x是截线 zf(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) f(x0 y)y是截线
20、 zf(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如0 0),(22yxyxf在点(0 0) 有 f x(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0) 并不连续 提示 ) ,( ),( xfdfx 0) ,(),(yfdfy 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0) 时 有lim)0,(li),(lim0, xxff 当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点(0 0) 时 有2202 )0,(, 1lili kxkxy 因此 ),(lim)0,(yxfyx不存在 故函数 f(x y)在
21、(0 0) 处不连续 类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为y zy 或 , 偏导函数的定义式 yxffxf),(lim),(0二 高阶偏导数设函数 zf(x y)在区域 D 内具有偏导数 ),(yxfz ),(yxfz 那么在 D 内 fx(x y)、f y(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数 zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、f y(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有
22、下列四个二阶偏导数),()(2fxx ),()(2yxfz ,yfzy ,2fy 其中),()(2xfzxy ),()(xfyz称为混合偏导数 2z z2 2 2yz 同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例 6 设 zx3y23xy3xy1 求 2xz、 3、 xyz2和 解 y92xyz 236z 19 192yxy 由例 6 观察到的问题 xz2定理 如果函数 zf(x y)的两个二阶混合偏导数 xyz2及 在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数 例 7 验证函数 2lnyxz满足方程02
23、yzx 证 因为 )l(12 所以yxz 2yxz 22)()( 2yxyxyz 因此 0)()(22 例 8证明函数 ru1满足方程 2zuyx 其中 2zyxr 证 3r 5243211xrxu 同理 52y 3rzzu 因此)31()1()( 5252322 rzyxrzux 032z提示 626332)()( rxrxrxu 8 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分 f(xx y)f(x y)fx(x y)x f(xx y)f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y)x 为函数对 x 的偏微分 f(x yy)f(x y)fy(x
24、 y)y f(x yy)f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y)y 为函数对 y 的偏微分 全增量 z f(xx yy)f(x y) 计算全增量比较复杂 我们希望用 x、y 的线性函数来近似代替之 定义 如果函数 zf(x y)在点(x y)的全增量z f(xx yy)f(x y) 可表示为) () 2yxoBA 其中 A、B 不依赖于 x、y 而仅与 x、y 有关 则称函数 zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy 为函数 zf(x y)在点 (x y)的全微分 记作 dz 即dzAxBy 如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分 可微与连续
25、可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果 zf(x y)在点(x y)可微则z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 0lim 从而 ),(),(lim),(0),( yxfzffyx 因此函数 zf(x y)在点(x y) 处连续可微条件 定理 1(必要条件) 如果函数 zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数 xz、 y必定存在 且函数zf(x y)在点( x y)的全微分为 d 证 设函数 zf(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点 P (xx yy) 有 zAxByo() 特别当 y0 时有f (xx y)f(x
26、 y)Axo(|x|) 上式两边各除以 x 再令 x0 而取极限 就得f),lim0 从而偏导数 xz存在 且z同理可证偏导数 yz存在 且Bz 所以yzxdz 简要证明设函数 zf(x y)在点(x y)可微分 于是有 zAxByo() 特别当 y0 时有f (xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以 x 再令 x0 而取极限 就得xofx|)(lim),lim00 从而 xz存在 且z同理 yz存在 且Bz 所以yzxdz 偏导数 、 y存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数 0 0),(22yxxf在点(00) 处虽然有 f x(0 0)0 及 f y(0 0)0但
27、函数在(00) 不可微分即 zfx(0 0)xfy(0 0)y不是较 高阶的无穷小这是因为当(x y)沿直线 yx 趋于(0 0)时),( ,(ffzx 21)()(22xx定理 2(充分条件) 如果函数 zf(x y)的偏导数 xz、 y在点(x y)连续 则函数在该点可微分 定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯 x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数 zf(x y)的全微分可写作dzdz 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 uf (x y z) 的全微分为dz
28、uydxu 例 1 计算函数 zx2y y2 的全微分 解 因为 所以 dz2xydx(x22y)dy 例 2 计算函数 zexy 在点 (2 1)处的全微分 解 因为 xy 21exzy 21ezyx 所以 dze2dx2e2dy 例 3 计算函数yzusin的全微分 解 因为1x ze2co yzu 所以 dyzduz)s( *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 zf (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) f y (x y)连续 并且| x| |y|都较小时 有近似等式z dz f x (x y)xf y (x y)y 即 f (xx yy) f(x y)f
29、x (x y)xf y (x y)y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由 100cu减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有V r 2h 已知 r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有VdVVrrVhh2rhrr2h2201000 05202(1)200 (cm3) 即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3 例 5 计算(1 04 )202 的近似值 解 设函数 f (x y)x y 显然 要计算的值就是函数在 x1
30、04 y202 时的函数值 f(104 202) 取 x1 y2 x004 y002 由于f (xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)yx yyxy1xx yln x y 所以(104)20212212100412ln1002108 例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是24Tl现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=1000.1cm、T=20.004s.问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作 |l|与| T|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数 24的全增量的绝对值
31、| g|.由于|l |T|都很小因此我们可以用 dg 来近似地代替 g这样就得到 g 的误差为| Tgldgl|)21(432Tl其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, l=0.1, T=0.004 代入上式 得 g 的绝对误差约为)04.21.0(43g/9.5.scm.0214g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、y 的绝对误差分别为 x、 y, 即|x |x, |y |y, 则 z 的误差 |zdz|yxz|从而得到 z 的绝对误差约为yxzz|z 的相对误差约为yxzz|8 4 多元复合函数的求导法则设 zf(
32、u v) 而 u(t) v(t) 如何求 dtz？ 设 zf(u v) 而 u(x y) v(x y) 如何求 x和 yz？1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u(t)及 v(t)都在点 t 可导 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 zf(t) (t)在点 t 可导 且有dtvztudtz 简要证明 1 因为 zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有又因为 u(t)及 v(t)都可导 因而可微 即有d t 代入上式得 dtvztuzdtvztu)( 从而 ttdt 简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也
33、取得增量 u、v 及 z 由 zf(u v)、u(t)及 v(t)的可微性 有)(ozuz )()( otdtztodt )( vzutdvt ttzutz )( 令 t0 上式两边取极限 即得dtvtd 注0)(0)()(lim)(li 2200 dtvtutuott 推广 设 zf (u v w) u(t) v(t) w(t) 则 zf(t) (t) (t)对 t 的导数为 dzdtt 上述z称为全导数 2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2 如果函数 u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则
34、复合函数 zf (x y) (x y)在点( x y)的两个偏导数存在 且有 xvzuxz vuy推广 设 zf(u v w ) u(x y) v(x y) w(x y) 则z ywzvuz 讨论 (1)设 zf(u v) u(x y) v(y) 则 xz？y？提示 dvuz (2)设 zf(u x y) 且 u(x y) 则 z？ y？ 提示 f fuf 这里 xz与f是不同的 xz是把复合函数 zf(x y) x y中的 y 看作不变而对 x 的偏导数 f是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数 z与f也有类似的区别 3复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函
35、数的情形定理 3 如果函数 u(x y)在点( x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v(y)在点 y 可导 函数 zf(u v)在对应点( u v)具有连续偏导数 则复合函数 zf(x y) (y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有xz dyvzy例 1 设 zeusin v uxy vxy 求z和 解 zxeusin vyeucos v1ex yy sin(xy)cos(xy) zzeusin vxeucos v1exyx sin(xy)cos(xy) 例 2 设2,(zzf 而 yxsin2 求 xu和 y 解 xxuyxzeezyysi222 24n)sin1( yzfyuy
36、xeezyxxcos222 4in4)cosin( 例 3 设 zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数 dtz 解 zddtvetu(sin t)cos t etcos te tsin tcos t et(cos tsin t)cos t 例 4 设 wf(xyz xyz) f 具有二阶连续偏导数 求 xw及 z2解 令 uxyz vxyz 则 wf(u v) 引入记号 f,1 ,12 同理有 2f 1 f等 fyzxvfux fzzw21212)(fzyfyf 2121)(xx 注 1fzvfufz 212fxyzvfufz例 5 设 uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列
37、表达式转换成极坐标系中的形式 (1)2)( (2) 2 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得uf(x y)f(cos sin)F( ) 其中 xcos ysin 2yx xyarctn应用复合函数求导法则 得uu2usinoyu yyxcsi两式平方后相加 得222)(1)()( uux再求二阶偏导数 得xx)()(2cosincosusin)cos(u222 icouusincsinu同理可得222 cossisi uyconu两式相加 得2221yux)(u全微分形式不变性 设 zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分dzd 如果 zf(u v)具有连续偏导数 而 u(x y) v(x y)
38、也具有连续偏导数 则zdyvzudxvu)()( zydxzvu 由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性 例 6 设 ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分 解 dd e usin vdu e ucos v dv e usin v(y dxx dy ) e ucos v(dxdy)( ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v )dy e xy y sin(xy)cos(xy)dx e xy x sin(xy)cos(xy)dy 8 5 隐函数
39、的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程 F(x y)0 在点(x 0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 yf(x) 它满足条件 y0f(x0) 并有yxd 求导公式证明 将 yf(x)代入 F(x y)0 得恒等式F(x f(x)0 等式两边对 x 求导得dy 由于 F y 连续 且 Fy(x0 y0)0 所以存在(x 0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 Fy 0 于是得 例 1 验证方程 x2y210 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一
40、个有连续导数、当 x0时 y1 的隐函数 yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在 x0 的值 解 设 F(x y)x2y21 则 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理 1 可知 方程 x2y210 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x0 时 y1 的隐函数yf(x) ydx 0xd 32222 1)(yxyx 10xdy 隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y)0 可以确定一个一元隐函数 一个三元方程 F(x y z)0 可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程 F(x y z)0 在点( x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 zf(x y) 它满足条件 z0f(x0 y0) 并有zF z 公式的证明 将 zf(x y)代入 F(x y z)0 得 F(x y f(x y)0 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得0xzF 0yz 因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0)0 所以存在点( x0 y0 z0)的一个邻域 使 F z0 于是得z
