1、推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第二节,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,一、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于 x0 处,求,一阶导数与二阶导数.,关于 t 的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y
2、偏导数存在 ,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,偏导数记号
3、是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,例5. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,
4、例如,二者不等,例6. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,(证明略),证明,定理.,证:令,则,则,又令,同样,在点,连续,得,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.
5、偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),思考与练习,解答提示:,P129 题 5,P129 题 5 , 6,即 xy0 时,P129 题6,(1),(2),作业,P68 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）,第三节,备用题,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,第九章,*二、全微分在近似计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定
6、义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,当函数可微时 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在
7、点(x, y) 可微 ,则该函数在该点的偏导数,同样可证,证:因函数在点(x, y) 可微, 故,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到, 故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:
8、,例2. 计算函数,的全微分.,解:,可知当,*二、全微分在近似计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于误差分析或近似计算),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果
9、相对误差变大很小的数不能做除数,例5. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例6.在直流电路中,测得电压 U = 24 V ,解: 由欧姆定律可知,( ),所以 R 的相对误差约为,0.3 + 0.5 ,R 的绝对误差约为,0.8 ,0.3;,定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .,相对误差为,测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( ),= 0.8 ,求用欧姆,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,定义,3. 微分应用, 近似计算, 估计误差,绝对误差,相对误差
10、,思考与练习,1. P75 题5 ；P129 题 1,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,2. 选择题,答案:,也可写作:,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时z = 0.02 , d z = 0.03,3. P129 题 7,4. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有轮换对称性,答案:,作业 P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ;*9 ; *11,5. 已知,第四节,在点 (0,0) 可微 .,备用题,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),
11、因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,证明函数,所以,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“
12、”号),若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广:,1) 中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.,例如,例如,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导,表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导,口诀 :,与,不同,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,例1. 设,解:,例2.,解:,例3. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于
13、掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,例5. 设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解: 已知,极坐标系下的形式,(1), 则,题目,已知,注意利用 已有公式,同理可得,题目,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1 .,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 全微分形式不变
14、性,不论 u , v 是自变量还是中间变量,思考与练习,解答提示:,P81 题7,P81 题7; 8(2); P130 题11,P81 题8(2), ,作业P81 2; 4; 6; 9; 10; *12(4); *13,P130 题 11,第五节,备用题,1. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,2.,求,解: 由题设,(2001考研),第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,C 0 时, 能确定隐函数,C 0 时, 不能确定隐函数,2) 方程能确定隐函数时,研
15、究其连续性,可微性及求导方法问题.,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x
16、 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例2. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,二、方程组所确定的隐函数
17、组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,雅可比,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,(P85),有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习: 求,答案:,由题设,故有,例5.设函数,在点(u,v) 的某一,1) 证明函数组,( x, y) 的某
18、一邻域内,2) 求,解: 1) 令,对 x , y 的偏导数.,在与点 (u, v) 对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对 x 求导, 得,则有,由定理 3 可知结论 1) 成立.,2) 求反函数的偏导数.,从方程组解得,例5的应用: 计算极坐标变换,的反变换的导数 .,同样有,所以,由于,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 利用微分形式不变性 ;,方法3. 代公式 .,思考与练习,设,求,提示:,解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数
19、.,作业 P87 3 , 6， 7 , *9 , 10(1); (3)，11,第六节,由d y, d z 的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,1. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,(2001考研),解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,(1999考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,二元线性代数方程组解的公式,解:,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 .,他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.,
