1、等差数列的前 n 项和与等比数列1、等差数列前 n 项和 Sn的表示形式： 可见： （1）当 d0 时，S n是关于序号 n 的二次函数，且二次函数的常数项 c=0，其公差 d=2a（二次项系数的二倍），点（n，S n）分布在过原点，对称轴垂直于 x 轴的抛物线上. （2） ， 数列 为等差数列且公差 d=a，点 均匀分布在直线 y=axb 上.2、当 n 为奇数时，S n=na 中 （a 中 为前 n 项中的中间项）， S 奇 S 偶 =a 中 （S 奇 为前 n 项中所有奇数项的和）， . 当 n 为偶数时， 为中间两项）， 3、等比数列的定义可用递推公式表示为： （nN *，q 为常数）
2、 . 可见： （1）等比数列中每一项不为零（即 an0）. （2）等比数列公比 q0. （3）非零常数列既是等差数列，又是等比数列，其公差 d=0，公比 q=1. 4、等比数列通项公式：a n=a1qn1 . 5、等比中项：若 a、G、b 为等比数列，则 G 为 a、b 的等比中项. 可见： （1）G 为 a、b 的等比中项 （G0）. （2）仅当 a、b 同号时，才存在等比中项. （3）等比中项 G 不唯一，即 . （4）G 2=ab 是 a、G、b 成等比数列的必要条件，并不是充分条件. 6、等比数列的相关结论 （1）任两项之间的关系：a m=anqmn . （2）相邻三项之间的关系：a
3、n1 an1 =an2. （3）若 q1，则 . 难点知识剖析 1、等差数列前 n 项和 Sn是关于 n 的二次函数（d0），而且常数项为零，这是等差数列前 n 项和公式的形式特征，我们可以根据这个特征，判断 不可能是等差数列的前 n 项和，利用 Sn=an2bn 有时可使计算更简便. 2、在解决等差数列、等比数列有关问题时，涉及的五个量 an，n，d，a 1，S n通过方程组知三可求二. 3、前 n 项和 Sn与通项 an的关系是：S n=a1a 2a n 由 S n求 an一定要讨论 n=1，然后进行综合. 例 1 、在等差数列 a n中， （1）已知 a15=33，a 45=153，求
4、a61； （2）已知 S8=48，S 12=168，求 S4； （3）已知 a1a 4a 8a 12a 15=2，求 S15； （4）已知 S7=42，S n=510，a n3 =45，求 n. 例 2 、已知数列 a n的前 n 项和 ，求数列|a n|的前 n 项和 Sn. 例 3 、设数列 a n的首项 a1=1，前 n 项之和 Sn满足关系式：3tS n(2t3)S n1 =3t（t0，n=2，3，4） （1）求证：数列a n为等比数列； （2）设数列a n的公比为 f(t)，作数列b n，使 （n=2，3，4，），求 bn. （3）求和：b 1b2b 2b3b 3b4(1) n1 b
5、nbn1 . 例 4、 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么 24 分钟可注满水池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的 5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？ 例 5 、在 XOY 平面上有一个点列 P1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2），P n（a n，b n），对每个自然数 n，点 Pn位于函数y=2000 （0a10）的图象上，且点 Pn，点（n，0）与点（n1，0）构成一个以 Pn为顶点的等腰三角形. （1）求点 Pn的纵坐标 bn的表达式； （2）若对每个自然数 n，以 bn，b n1 ，b n2 为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围； （3）设 Bn=b1b2bn（n N * ）.若 a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列B n的最大项的项数.
