1、 衡阳个性化教育倡导者第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等) 2.了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3.理解数形结合的思想.1、知识回顾 课前热身知识点 1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上知识点 2抛物线的标准方程和几何性质y2 2px(p0) y2 2px(p0) x22py(p0) x22py( p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点
2、 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下焦半径(其中P(x0，y 0) |PF|x 0p2|PF|x 0p2|PF|y 0p2|PF|y 0p2衡阳个性化教育倡导者例题辨析 推陈出新例 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答 (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)
3、，准 线是 x1.由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然，连接 AF 交曲线于 P 点， 则所求的最小值为| AF|，即为 .5(2)如图，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物 线于点 P1，则|P 1Q|P 1F|.则有|PB| PF|P 1B|P 1Q|BQ|4.即|PB| |PF|的最小 值为 4.变式练习 1(1)若点 P 到直线 y1 的距离比它到点 (0,3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是_(2)过抛物线 y24x 的
4、焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则| AB|等于_解析：(1)由题意可知点 P 到直线 y3 的距离等于它到点 (0,3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以 y 3 为准线的抛物 线，且 p6，所以其 标准方程 为 x212y .(2)抛物线的准线方程为 x1，则 AB 中点到准线的距离 为 3( 1)4.由抛物线的定义得|AB| 8.答案：(1)x 212y (2)8例 2(1)抛物线 y224ax(a0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为( )Ay 28x By 212x衡阳个性化教育倡导者Cy
5、 2 16x Dy 220x(2)设抛物线 y22px( p0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_自主解答 (1)由题意知，3 6a5， a ，则抛物线方程为 y28x.13(2)抛物线的焦点 F 的坐标为 ，线段 FA 的中点 B 的坐标为 ，代入抛物线方程得 12p ，(p2，0) (p4，1) p4解得 p ，故点 B 的坐标为 ，故点 B 到该抛物线准线的距离为 .2 (24，1) 24 22 324答案 (1)A (2)324变式练习 2已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，
6、B 两点，|AB|12 ，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为( )A18 B24C36 D48解析：选 C 设抛物线方程为 y22px， 则焦点坐标为 ，将 x 代入 y22px 可得(p2，0) p2y2p 2，|AB|12，即 2p12，得 p6.点 P 在准线上，到 AB 的距离为 p6，所以 PAB 的面积为61236.12例 3 已知过抛物线 y22px( p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1，y 1)，2B(x2，y 2)(x10)与抛物线 C：y 28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若| FA|2|FB |，求 k 的值解：设 A(x1，y
7、1)，B(x2，y2)，由 Error!得 k2x2(4k 2 8)x4k 20，所以 x1x 2 4，8k2x1x24.又由抛物线的定义可知|FA|x 12， |FB|x 22，所以 x122(x 22)，即 x1 2(x21)，代入 x1x24得 2(x2 1)x2 4，解得 x21(x 22 舍去)，将 x21，x 14 代入 x1x 1 4 得 k2 ，由已知 k0，所以 k .8k2 89 2233、归纳总结 方法在握归纳4 个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线 y22px (p0)，过其焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有以下
8、结论：(1)|AB|x 1x 2p 或|AB| ( 为 AB 所在直线的倾斜角)；2psin2(2)x1x2 ；p24(3)y1y2p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 2p.3 个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置( 或开口方向) 判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行( 或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点. 衡阳个性化教育
9、倡导者1随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现2解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题4、拓展延伸 能力升华例 1(2012陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽_米解析 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线 的方程为 x22py (p0)，由题意知抛物线过点(2， 2)，代入方程得 p1， 则抛物线的方程为 x22y，当水面下降 1 米时，
10、为 y3，代入抛物 线方程得 x ，所以此时水面宽为 2 米6 6答案 2 6变式练习1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图所示现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 y x2；定位后1249 救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t.(1)当 t0.5 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标若此时两船恰好会合， 求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t0.5 时，
11、P 的横坐标 xP7t ，代入抛物 线方程 y x2，得 P 的纵坐标 yP3.72 1249由|AP| ，得救援船速度的大小为 海里/ 时9492 949(2)设救援船的时速为 v 海里，经过 t 小时追上失事船，此 时 位置为(7t,12t 2)由 vt ，7t2 12t2 122整理得 v2144 337.(t2 1t2)因为 t2 2，当且仅当 t1 时等号成立1t2衡阳个性化教育倡导者所以 v2144233725 2，即 v25.因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船5、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1抛物线 x2(2 a
12、1)y 的准线方程是 y1，则实数 a( )A. B.52 32C D12 32解析：选 D 把抛物线方程化为 x22 y，则 p a，故抛物线的准线方程是 y ，则(12 a) 12 p2 12 a21，解得 a .12 a2 322已知抛物线 y24x ，若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则OAB 的面积是( )A1 B2C4 D6解析：选 B 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B (1，2) ，|AB|4，故OAB 的面积 S |AB|OF| 412.12 123直线 yx1 截抛物线 y22px 所得弦长为 2 ，此抛物线方程为( )6Ay
13、 22x By 26xCy 2 2x 或 y26x D以上都不对解析：选 C 由Error!得 x2 (22p) x10.x1x 22p2，x 1x21.则 2 .6 1 12 x1 x22 4x1x2 2 2p 22 4解得 p1 或 p3，故抛物线方程为 y22x 或 y26x.4已知点 M(1,0)，直线 l：x1，点 B 是 l 上的动点，过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分线交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线解析：选 A 由点 P 在 BM 的垂直平分线上，故|PB| |PM|.又 PBl，因而点 P 到直线 l 的距离等于点
14、P 到点 M 的距离，所以点 P 的 轨迹是抛物线5(2013湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆 x2y 22x6y90 圆心的抛物线方程衡阳个性化教育倡导者是( )Ay3x 2 或 y3x 2 By 3x 2Cy 2 9x 或 y3x 2 Dy3x 2 或 y29x解析：选 D 圆的标准方程为(x1) 2(y3) 21，故圆心坐标为(1，3) ，设抛物线方程为 y22p 1x或 x22p 2y，则(3) 22p 1 或 16p 2，得 2p19 或 2p2 ，故抛物线方程为 y29x 或 x2 y，则13 13y29x 或 y 3x2.6(2013衡水模拟)设斜率为 2 的直线 l
15、 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 28xCy 2 4x Dy 28x解析：选 B 由题可知抛物线焦点坐标为 ，于是过焦点且斜率为 2 的直线的方程为 y2 ，(a4，0) (x a4)令 x0，可得 A 点坐标为 ，所以 SOAF 4.(0， a2) 12|a|4|a|2得 a8 故抛物线方程为 y8x .二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7以抛物线 x24y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准 线的距离
16、为 2，所以所求圆的方程为 x2y 24.答案：x 2y 248(2013厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y24x 上，且动圆恒与直线 x1 相切，则此动圆必过定点_解析：因为动圆的圆心在抛物线 y24x 上，且 x1 是抛物线 y24x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点 (1,0)答案：(1,0)9(2012安徽高考)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点若|AF| 3，则|BF|_.解析：如图，设 A(x0，y0)(y00)的焦点在椭圆 C1 的上x24 y2b2 32顶点(1)求抛物线 C2 的方程；(2)若过 M(1,0)的直线 l 与抛物
17、线 C2 交于 E，F 两点，又过 E，F 作抛物线 C2 的切线 l1，l 2，当l1l 2 时，求直线 l 的方程解：(1)已知椭圆的长半轴长为 a2，半焦距 c ，4 b2衡阳个性化教育倡导者由离心率 e 得， b21.ca 4 b22 32则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以 p2，抛物线的方程为 x24y.(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线 l 的方程为 yk(x1) ，E(x1，y1)，F(x2，y2)，y x2，y x.14 12切 线 l1，l2 的斜率分 别为 x1， x2，12 12当 l1l2时， x1 x21，即 x1x24，1
18、2 12由Error! 得 x24kx4k 0，则 (4k) 24(4k)0，解得 k0.又 x1x24k4，得 k1.直 线 l 的方程 为 yx1.12(2013珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设点 F ，直线 l：x ，点 P 在直线 l 上移动，(12，0) 12R 是线段 PF 与 y 轴的交点， RQFP，PQl.(1)求动点 Q 的轨迹方程 C；(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长| TS|是否为定值？请说明理由解：(1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQFP，RQ 是线段 FP 的垂直平分线|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离点 Q 在线段 FP 的垂直平分线 上，|PQ| QF|.故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y22x (x0)(2)弦长|TS| 为定值理由如下：取曲 线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴 的距离为 d| x0|x 0，圆的半径 r|MA| ，x0 12 y20则|TS |2 2 ，r2 d2 y20 2x0 1因为点 M 在曲线 C 上，所以 x0 ，y202所以|TS| 2 2，是定 值y20 y20 1
