1、数学概念方法题型易误点技巧总结之直线平面及简单多面体（二） 19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。20、棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角
2、形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。比如：斜三棱柱 A1B1C1ABC，各棱长为 ，A 1B=A1C= ，则侧面 BCC1B1是_形，棱柱的高为_（答：正方； ）；下列关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则
3、该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_（答：）。21、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体 直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体；（3）性质：平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为 a+b+c6，全面积为 11，则其对角线为_（答：5）22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方
4、比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的 ，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_（答：18）23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体 中，有如下命题：若 ，则 ；若 分别是 的中点，则 的大小等于异面直线与 所成角的大小；若点 是四面体 外接球的球心，则 在面上的射影是 外心；若四个面是全等的三角形，则 为正四面体。其中正确的是_（答：）（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，
5、各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。正棱锥的高 、斜高 、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径 ）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径 ）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： ， ，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。比如：在三棱锥的四个面中，最多有_个面为直角三角形（答：4）；把四个半径为 R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为_（答： ）。24、侧面积（各个侧面面积之和）：棱柱：侧面积 直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长侧棱长，
6、特别地，直棱柱的侧面积 底面周长侧棱长。比如：（1）长方体的高为 h，底面积为 Q，垂直于底的对角面的面积为 M，则此长方体的侧面积为_（答： ）；斜三棱柱 ABC- A1B1C1中，二面角 C-A1A-B为 120，侧棱 AA1于另外两条棱的距离分别为 7cm、8cm，AA 1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为_（答：）；若斜三棱柱的高为 4，侧棱与底面所成的角为 60，相邻两侧棱之间的距离都为 5，则该三棱柱的侧面积为_（答：120）。（2）正棱锥：正棱锥的侧面积 底面周长斜高。比如：已知正四棱锥 P ABCD的高为 4，侧棱与底面所成的角为 60，则该正四棱锥的侧面积是_（答： ）；已知正
7、四面体 ABCD的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、G、H.设四面体 EFGH的表面积为 T，则 等于_（答： ）。提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面积2底面积；棱锥的全面积侧面积底面积。25、体积：（1）棱柱：体积底面积高，或体积 直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积 （其中 为三棱柱一个侧面的面积， 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。比如：设长方体的三条棱长分别为 a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为 5，体积为 2，则 等于_（答： ）；斜三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为 ，侧棱A
8、A1和 AB、AC 都成 45的角，则棱柱的侧面积为_，体积为_（答：； ）。（2）棱锥：体积 底面积高。比如：已知棱长为 1的正方体容器 ABCDA1B1C1D1中，在 A1B、A 1B1、B 1C1的中点 E、F、G 处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_（答： ）；在正三棱锥 A-BCD中，E、F 是 AB、BC 的中点，EFDE，若 BC= ，则正三棱锥 A-BCD的体积为_（答： ）；已知正三棱锥 底面边长为 ，体积为 ，则底面三角形的中心 到侧面 的距离为_（答： ）；在平面几何中有：RtABC 的直角边分别为 a,b，斜边上的
9、高为 h，则。类比这一结论，在三棱锥 PABC中，PA、PB、PC 两点互相垂直，且 PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥 PABC的高为 h，则结论为_（答： ）特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥 三棱柱 平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等。比如：（1）用平面去截三棱锥 ，与三条侧棱交于 三点，若， ，则多面体 的体积为_（答：7）；（2）直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 ，P、Q 分别是侧棱 AA1、CC 1上的点，且 AP=C1Q，则四棱锥
10、BAPQC的体积为 （答： ）；（3）如图的多面体 ABC-DEFG中，AB、AC、AD 两两垂直，平面ABCDEFG，平面 BEFADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为_（答：4）。26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体27、球的截面的
11、性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离 d与球的半径 R及截面圆半径 r之间的关系是 r 。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。比如：（1）在半径为 10 的球面上有 三点，如果 ，则球心 到平面 的距离为_（答： ）；（2）已知球面上的三点 A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为 13，则球心到平面 ABC的距离为_（答：12）28、球的体积和表面积公式：V 。比如：（1）在球内有相距 9cm的两个平行截面，面积分别为 49 cm2、400 cm2，则球的表面积为_（答： ）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为 1的三棱锥 P-ABC内接于球 O
12、，求球 O的表面积与体积。（答：表面积 ，体积 ）；（3）已知直平行六面体 的各条棱长均为3， ，长为 2的线段 的一个端点 在 上运动，另一端点在底面 上运动，则 的中点 的轨迹（曲面）与共一顶点 的三个面所围成的几何体的体积为为_（答： ）；29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。比如：甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_（答：123）；若正四面
13、体的棱长为 ，则此正四面体的外接球的表面积为_（答：）；已知一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_（答： ）；（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体 的棱长为 1， 是 的中点， 是 上的一点，则 的最小值是_（答： ）；30、你熟悉下列结论吗？三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；从一点 O出发的三条射线 OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点 A在平面BOC 上的射影在BOC 的平分线上；AB 和平面所成的角是 ，AC 在平面内，AC 和 AB的射影
14、成 ，设BAC= ,则 cos cos =cos ；如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ，则cos2 +cos2 +cos2 =1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则 cos2 +cos2 +cos2 =2。比如：长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为 30、45，则与第三个面所成的角为_（答：30）；若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ，则的关系为_。（答： ）若正棱锥的侧面与底面所成的角为 ，则 。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为 ，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于_（答： ）在三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内 顶点在底上射影为底面内心。提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径 R与内切球半径 r之比为 R：r3：1。
