1、1圆锥曲线大题专题训练1如图，曲线 的方程为 以原点为圆心以 为半径的圆分别G2(0)yx (0)t与曲线 和 轴的正半轴相交于点 与点 直线 与 轴相交于点 yABAxC（）求点 的横坐标 与点 的横坐标AaC的关系式c（）设曲线 上点 的横坐标为 ，D2求证：直线 的斜率为定值1.解：（）由题意知， (2)Aa，因为 ，所以 由于 ，故有 （1）OAt2t0t2ta由点 的坐标知，直线 的方程为 (0)(BCc， BCxyct又因点 在直线 上，故有 ，将（1）代入上式，得 ，2act 21()ac解得 2()ca（）因为 ，所以直线 的斜率为2Da，CD()()2()12C akaca所
2、以直线 的斜率为定值2设 是抛物线 的焦点F2:4Gxy（I）过点 作抛物线 的切线，求切线方程；(0)P，（II）设 为抛物线 上异于原点的两点，且满足 ，延长 ， 分别交抛物线 于点 ，AB， 0FABAFBGCD，求四边形 面积的最小值CD2.解：（I）设切点 由 ，知抛物线在 点处的切线斜率为 ，故所求切线方程为204xQ， xyQ02x 即 因为点 在切线上200()4xy204(0)P，xyB AO a D2:Gyx2所以 ， ， 所求切线方程为 204x1604x24yx（II）设 ， 1()Ay， 2()Cy，由题意知，直线 的斜率 存在，由对称性，不妨设 k0k因直线 过焦点
3、 ，所以直线 的方程为 (0)F， A1yx点 的坐标满足方程组 得 ，AC， 214yx， 24k由根与系数的关系知 12.kx，22212111()()()4()ACyxxk因为 ，所以 的斜率为 ，从而 的方程为 BDkBD1y同理可求得 224()412228()1()32ABCDkS k当 时，等号成立所以，四边形 面积的最小值为 1kABCD23如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底rr是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 xS（I）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；Sx（II）求面积 的最大值3
4、解：（I）依题意，以 的中点 为原点建立直角坐标系ABO（如图） ，则点 的横坐标为 OxyCx点 的纵坐标 满足方程 ，C21(0)4yr解得 2(0)yrx21()SA，其定义域为 2xrx0xr2rCDABCDABOxy3（II）记 ，2()4)()0fxrxr，则 8令 ，得 ()0fx12r当 时， ；当 时， ，所以 是 的最大值r()0fxxr()0fx12fr()fx因此，当 时， 也取得最大值，最大值为 12rS3fr即梯形面积 的最大值为 23r4如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，ABCD(20)M， 边所在直线的方AB程为 点 在 边所在直线上360xy(1)T， A（
5、I）求 边所在直线的方程；（II）求矩形 外接圆的方程；（III）若动圆 过点 ，且与矩形 外接圆P(2)N， BCD外切，求动圆 的P圆心轨迹方程4.解：（I）因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，所以直线 的斜率为 又因为点AB360xyABAD3在直线 上，所以 边所在直线的方程为 即 (1)T， D13()x20y（II）由 解得点 的坐标为 ，3602=xy， (02)，因为矩形 两条对角线的交点为 所以 为矩形 外接圆的圆心ABCM， ABCD又 故矩形 外接圆方程为 22(0)()M2()8xy（III）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，PNPPM
6、所以 ，即 22故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支，因为实半轴长 ，半焦距 所以虚半轴长 2a2c2bca从而动圆 的圆心的轨迹方程为 P1()xyTNOCMxy45已知函数 与 的图象相交于 ， ， ， 分别是 的ykx2(0)x 1()Axy， 2()Bxy， 1l22(0)yx图象在 两点的切线， 分别是 ， 与 轴的交点AB， MN， 1l2（I）求 的取值范围；（II）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；t 12xt1x（III）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点） OO5解：（I）由方程 消 得 2ykx， y20x
7、k依题意，该方程有两个正实根，故 解得 2180kx， k（II）由 ，求得切线 的方程为 ，()fx 1l112()yxy由 ，并令 ，得21y0y1xt， 是方程的两实根，且 ，故 ， ，1x2 1221 2848kk2k是关于 的减函数，所以 的取值范围是 1k1x(0)，是关于 的增函数，定义域为 ，所以值域为 ，t1x(2)， )，（III）当 时，由（II）可知 21xOMt类似可得 21xON1212Nx由可知 从而 12 0当 时，有相同的结果 所以 2xMOMON6如图，已知 ，直线 ， 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且(10)F， :1lxPPlQQPAOy
8、x1lF5（）求动点 的轨迹 的方程；PC（）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 FAB， lM（1）已知 ， ，求 的值；1MA2F12（2）求 的最小值B6.解：（）设点 ，则 ，由 得：()Pxy， ()Qy， PFQA，化简得 (10)12xAA， ， ， ， 2:4Cyx（） （1）设直线 的方程为： B1(0)xm设 ， ，又 ，1()xy， 2()xy， M，联立方程组 ，消去 得： ， ，41xmy， ， x240y2(4)10m124y，由 ， 得：1MAF2B， ，整理得：12yymy， ，1122m1212y12yA4mA0解法二：（）由 得： ，QPFA()FQ
9、P，()()0P，2F所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： PCC24yx（） （1）由已知 ， ，得 1MAF2B120APBQMFOAxy6则： 12MAFB过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ， l 1AB则有： 1F由得： ，即 12AB120（） （2）解：由解法一， 212MMBmyyA2121()()myy244224()2211()6mA当且仅当 ，即 时等号成立，所以 最小值为 2mMAB167在平面直角坐标系 ，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 椭圆xOy2CyxO与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 219xyaC10（1）
10、求圆 的方程；（2）试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长，若存在，请求出点QFOF的坐标；若不存在，请说明理由Q7.解：（1）圆 C： ；22()()8xy（2）由条件可知 a=5，椭圆 ，F（4，0） ，若存在，则 F 在 OQ 的中垂线上，又 O、Q 在圆 C 上，所以159O、Q 关于直线 CF 对称；直线 CF 的方程为 y-1= ,即 ，设 Q（x,y） ，则 ，解得1()3x340y3402yx4512xy所以存在，Q 的坐标为 。42(,)578在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 xOy(02)， k
11、l21xyPQ（I）求 的取值范围；k（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如AB， kOAB果存在，求 值；如果不存在，请说明理由8解：（）由已知条件，直线 的方程为 ，l2ykx代入椭圆方程得 整理得 22()1xk 10kx直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，l PQ2284k解得 或 即 的取值范围为 2kkk， （）设 ，则 ，12()()Pxy， 1212()OPxy，由方程， 又 1224k1212yk而 (0)()ABA，所以 与 共线等价于 ，OPQ1212()xy将代入上式，解得 k由（）知 或 ，故没有符合题意的
12、常数 2k9在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点 且斜率为 的直线与圆 相xOy21320xyQ(02)P，kQ交于不同的两点 AB，（）求 的取值范围；k（）是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由ABPQk9解：（）圆的方程可写成 ，所以圆心为 ，过 且斜率为 的直线方程为2(6)4xy(60)，(2)P，k代入圆方程得 ，2ykx213kx8整理得 2(1)4(3)60kxx直线与圆交于两个不同的点 等价于AB，2224(3)(1)4(8)0kkk解得 ，即 的取值范围为 03，（）设 ，则 ，12()()AxyB， 1212()OABxy，
13、由方程， 又 43k 4kx而 (02)6()PQ，所以 与 共线等价于 ，OAB12126()xy将代入上式，解得 34k由（）知 ，故没有符合题意的常数 0， k10在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线 （ ）相交于 两点xOy(0)Cp， 2xpy0AB，（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；NCANB（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程；若不ll l存在，说明理由ABxyNCO10.解法 1：（）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，N(0)p，12()()AxyB，直线 的方程为 ，与 联立得 消去
14、 得 ABykxp2y2k， 20pkx由韦达定理得 ， 12212NOACByx9于是 12ABNCANSSpx 2121()4pxx，48kk当 时， 02min()ABNSp（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，lya的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，ACOlCPQH则 ， 点的坐标为 HPQ12xyp，22111()2A，11ypOaayp222PH 2 211()()4ayp，1()paya22()PQ 14()pya令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ，0paaPQl2py即抛物线的通径所在的直线解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公
15、式得22222111()448ABkxkxxkp ，p又由点到直线的距离公式得 21pdk从而 ，2121ABN pS k 当 时， 0k2min()ABNp NOACByxl10（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为lyaAC，11(0)()0xyp将直线方程 代入得 ，a21()0xpy则 21114()4()xpyaa设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，lAC34PxyQxy，则有 341 1()2()2ppPQxaaa令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ，02paPl2py即抛物线的通径所在的直线11已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
16、 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点2xy1F22 AB，（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABO M（II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由xCC11解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)， 2()， 1()xy， 2()Bxy，解法一：（I）设 ，则 则 ， ，xy， 1FM， 11FA，由 得1221()()FBxO， ， ， O即126y， 214xy，于是 的中点坐标为 AB，当 不与 轴垂直时， ，即 x1248yyx1212()8yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2
17、xy，即 1212122()()xxy212()4()y11将 代入上式，化简得 1212()8yx2(6)4xy当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程AB80M，所以点 的轨迹方程是 M2(6)4xy（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数Cm， AB当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABx (2)1ykx代入 有 2y222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12x， 214kx214kx于是 21212()()CABxmk221()(4kkxm2224)1k2 22 2()4(1)1mk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CAB 0m1CAB1
18、当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， (2)， (2)，此时 (12)1， ，故在 轴上存在定点 ，使 为常数x0C， 解法二：（I）同解法一的（ I）有 124xy，当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1kx代入 有 2y222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 12x， 214kx12 21212 24()1kkykx由得 24k241yk当 时， ，由得， ，将其代入有0ky4x整理得 224()()1xxyy2(6)4xy当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(40)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)
19、M，故点 的轨迹方程是 (6)y（II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，x()Cm， AB当 不与 轴垂直时，由（ I）有 ， AB2141kx241kx以下同解法一的（II） 12已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点，点 的坐标是 2xyFAB， C(10)，（I）证明 为常数；CAB（II）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程MACBO M12解：由条件知 ，设 ， (20)F， 1()xy， 2()xy，（I）当 与 轴垂直时，可设点 的坐标分别为 ， ，ABx， (， (2)，此时 (1)C， ，当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 xA
20、B()1ykx代入 ，有 2y222()4(0kx13则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12x， 214kx214kx于是 21212212()()()CABxy22()()4kkxk2224)1122()41k综上所述， 为常数 CAB1（II）解法一：设 ，则 ， ，()Mxy， (1)Cxy， 1()CAxy， ，由 得：2(1x， 0O， BO即123y， 12xy，于是 的中点坐标为 AB，当 不与 轴垂直时， ，即 x122yyx1212()yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2xy，即 1212122()()xxy12()()y将 代入上式，化简得
21、 y 24xy当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(0)M，所以点 的轨迹方程是 M4y解法二：同解法一得 12x，当 不与 轴垂直时，由（ I） 有 ABx214kx1421212 24()1kkykx由得 2k241yk当 时， ，由得， ，将其代入有0kyx整理得 2244()()1xxyy24xy当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(0)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(20)M，故点 的轨迹方程是 4y13设动点 到点 和 的距离分别为 和 ，P(0)， ()B， 1d2 ，且存在2APB常数 ，使得 (01)21sind（1）证明
22、：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；CC（2）过点 作直线交双曲线 的右支于 两点，试确定BMN， 的范围，使，其中点 为坐标原点OMN0AO13解法一：（1）在 中， ，即 ，PAB 222112cosd，即 （常数） ，2214()4sindd124sind故点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线PC， a方程为： 21xy（2）设 ，1()M， 2()Nxy，当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上1x()M， (1)N，即 ，因为 ，所以 2 51020512yyBOA1d215当 不垂直于 轴时，设 的方程为 MNxMN(1)ykx由 得： ，21()xyk222(
23、)()()0kk由题意知： ，20所以 ， 122(1)kx21()kx于是： 22112()()yxk因为 ，且 在双曲线右支上，所以0OMNA，212 2(1)(1)512300xyk由知， 512314已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆（点OAB2yxOCOAB为圆心）C（I）求圆 的方程；（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线M22(47cos)(7sin)1xyMP，切点为 ，求 的最大值和最小值PEF， E， CFA14.（I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知B，21y， 2y，22221 11()yy解
24、得 ，21所以 ， 或 ， (63)A， (23)B， (623)A， (6)B，设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为C0r， 4C16 4 分2(4)16xy解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知AB， 1()xy， 2()，又因为 ， ，可得 221xy2221xx即 212()0x由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在 轴上10x12xAB， xCx设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆 的方程为C()r， 3r， 23rr4C 4 分2(4)16xy（II）解：设 ，则2EFa 8 分2|cos16s3cos16CAA在 中， ，由圆的几何性
25、质得RtP 4|xPC， ，|17M 8|176M所以 ，由此可得 2cos23 9EFA 则 的最大值为 ，最小值为 CEFA69815.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于213xy121BD， 2F两点，且 ，垂足为 ， BDP（）设 点的坐标为 ，证明： ；P0()xy， 203xy（）求四边形 的面积的最小值AC15.证明：（）椭圆的半焦距 ，21c由 知点 在以线段 为直径的圆上，故 ，BD P1F201xy所以， 22003yx（） （）当 的斜率 存在且 时， 的方程kBD17为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 (1)ykx213xy22(
26、3)630kxk设 ， ，则1B， 2)Dy，12263kx2163kx；222212 143(1)()()kBxxAA因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ，CPCk所以， 2214343(1)kAk四边形 的面积BCD2 2214(1)(1)9623353kkS A当 时，上式取等号21k（）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 BD0kABCD4S综上，四边形 的面积的最小值为 AC962516在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy3xy（1）求圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围B， PAOB， ， PAB16解：（1）依
27、题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，r34xy即 得圆 的方程为 423rO2y（2）不妨设 由 即得1212(0)()AxBx， ， ， ， 4， ， ，设 ，由 成等比数列，得()Pxy， PO， ，18， 即 222()()xyxyxA2xy)PB， ， 4(1).由于点 在圆 内，故 由此得 O24.xy， 2y所以 的取值范围为 A0)，17.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 CxC31（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以 为直径的圆过椭圆 的右:lykxmCAB， ABC
28、顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标17.（本小题满分 12 分）解：（）由题意设椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由已知得： ， ， ， ， 3ac1ac223c椭圆的标准方程为 24xy（）设 ， ，联立1()Axy， 2()Bxy， 21.43ykxm，得 ，22(34)84(3)0km22 21226()4034().kkmxmkA， 即 ， 则，又 ，2212121123(4)()()mkyxkxmx因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ，AB0D，即 ，1Dk121yxA19，1212()40yxx，2223(4)36mkmk9160解得：， ，且均满足 ，12k7k234
29、0k当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；ml()yx()，当 时， 的方程为 ，直线过定点 27kl27k207，所以，直线 过定点，定点坐标为 l 0，18已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 2:1()xyCab63 3（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值lAB，Ol32AOB18解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c63ca， 所求椭圆方程为 1b213xy（）设 ， 1()Axy， 2()B，（1）当 轴时， （2）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ABykxm由已知 ，得 231k2(1)4把
30、 代入椭圆方程，整理得 ，yx223630kxkm20， 12631kmx23(1)xk21()AB22261()()3mk222221339()(1)kmk242 12034961696kk当且仅当 ，即 时等号成立当 时， ，2k3k3AB综上所述 maxAB当 最大时， 面积取最大值 O max1322S19.设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.1F242yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;P1PF2（）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为坐标原点） ，求直线)2,0(Ml ABO的斜率 的取值范围.lk19.解：（）解法一：易知 ,13a
31、bc所以 ，设 ，则123,0,FPxy212,3,3Pxy 2221384xx因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值,x0P12PF当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值212F解法二：易知 ，所以 ，设 ，则,13abc3,0,xy222111212121osPFPFPF23xyxyxy （以下同解法一）21（）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0x 122:,lykxAyBx联立 ，消去 ，整理得：214yky221430k 12123,4xxkk由 得： 或224032k又 009cosABABO 12Oxy又 212121124ykkxx223841k21k ，即
32、223014k24kk故由、得 或32k2k20.设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线21(0)xyab12FA， 21AFO的距离为 1AF13O（）证明 ；2ab（）求 使得下述命题成立：设圆 上任意点 处的切线交椭圆于 ， 两点，则(0)t， 22xyt0()Mxy， 1Q212OQ20.（）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中21AF(0)c， 2()F， ()Acy，由于点 在椭圆上，有 ，0y2cyab22，221aby解得 ，从而得到 ，22bAca，直线 的方程为 ，整理得2AF2()yxc0bxac由题设，原点 到直线 的距离为 ，即O1AF13
33、O，243cbac将 代入原式并化简得 ，即 222ab2b证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ，A2c，过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故O1BFH112FBCA 21A由椭圆定义得 ，又 ，所以12Fa13BOF，2123a解得 ，而 ，得 ，即 2FA2ba22ab（）解法一：圆 上的任意点 处的切线方程为 22xyt0()Mxy， 20xyt当 时，圆 上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 处的切线必交椭圆于两个不同的点 和 ，(0)tb， A1Q2因此点 ， 的坐标是方程组1Qxy， 2()xy，的解当 时，由式得022tb 0AO1F2Hxy2320txy代入式，得 ，即220txby，
34、2242000()xytt于是 ，1220xy4201tbyx12120ttyA42210120()txx24242000201ttbytyxyx 420tbx若 ，则12OQ424242200012 3()tbytxtbxyxyx所以， 由 ，得 在区间 内此方程的解为 42203()t 220yt42tt(0)b， 63tb当 时，必有 ，同理求得在区间 内的解为 0y0x()b， 63t另一方面，当 时，可推出 ，从而 63tb120xy12OQ综上所述， 使得所述命题成立(0)t，21.如图，直线 与椭圆 交于 两点，ykxb214xyAB， 记 的面AOB积为 S（I）求在 ， 的条
35、件下， 的最大值；1SAyxO（第 题）24（II）当 ， 时，求直线 的方程2AB1SAB21.（）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，A1()xb， B2()xb，由 ，解得 ，214xb212，所以 12SxA2b21b当且仅当 时， 取到最大值 bS（）解：由 得 ，214ykxb， ， 222104xkb， 2kb21|ABkx241bkA设 到 的距离为 ，则 ，又因为 ，Od|S2|dk所以 ，代入式并整理，得21bk，解得 ， ，代入式检验， ，4021k23b0故直线 的方程是AB或 或 ，或 26yx62yx62yx26yx22如图，中心在原点 的椭圆的右焦点为 ，右准线
36、 的方程为： O(30)F， l1（1）求椭圆的方程；（）在椭圆上任取三个不同点 ， ， ，使 ，1P231231PFP O2P1xl3y题（22）图25证明： 为定值，并求此定值123FP22.解：（I）设椭圆方程为 21xyab因焦点为 ，故半焦距 (30)F， 3c又右准线 的方程为 ，从而由已知l2x，22136ac，因此 ， 273bac故所求椭圆方程为 136xy（II）记椭圆的右顶点为 ，并设 （ 1，2，3） ，不失一般性，AiiFP假设 ，且 ， 1203 2134又设点 在 上的射影为 ，因椭圆的离心率 ，从而有iPliQ2cea2cosii iiaFeFPcA1(9os)
37、2ii(13)， ，解得 c2iiFP2， ，因此，111123 24coscos933 而 1114cos1111133sincosin022，OF3P1xl2y答（22）图QA26故 为定值123FP23如题 21 图倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，28yxF且与抛物线交于 两点AB，（）求抛物线的焦点 的坐标及准线 的方程；Fl（）若 为锐角，作线段 的垂直平分线交 轴于点 ，证明 为定值，mxPcos2P并求此定值23.（I）解：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而 2ypx84p因此焦点 的坐标为 ，02pF， (0)，又准线方程的一般式为 2px从而所求准线的方程为 （II）解
38、法一：如答 21 图作 ， ，AClBDl垂足分别为 ，则由抛物线的定义知D， FACB记 的横坐标分别为 ， ， AxB则 cos22ppF，解得 cos441s类似地有 ，解得 FBcoB记直线 与 的交点为 ，则mAE1()2FABFAEF2144cos2cos1sinlyymPBA题（21）图FxlyymPBA题（21）图CxEF27所以 24cosinFEP故 224sin(1cos)8i 解法二：设 ， ，直线 的斜率为 ，则直线方程为 ()Axy， Bxy， Atak(2)ykx将此式代入 得 ，故 282224()0kk24()ABx记直线 与 的交点为 ，则 ， ，mAB()Exy， 2()Ekx4()Eykx故直线 的方程为 ，2414kyk令 ，得点 的横坐标 ，故 0yP2px224(1)4sinPEkFx从而 为定值2244sincos(1cos)8inFA
