1、第 1 页（共 14 页）圆锥曲线经典题型一选择题（共 10 小题）1直线 y=x1 与双曲线 x2 =1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （1，+） D （1， ）（ ，+）2已知 M（ x0，y 0）是双曲线 C： =1 上的一点，F 1，F 2 是 C 的左、右两个焦点，若 0，则 y0 的取值范围是（ ）A B C D3设 F1，F 2 分别是双曲线 （a0，b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使得 ，其中 O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D4过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F
2、作直线 y= x 的垂线，垂足为A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D5若双曲线 =1（ a0 ，b 0）的渐近线与圆（x2） 2+y2=2 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （1，2） C （1， ） D （ ，+）6已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则第 2 页（共 14 页）双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D27设点 P 是双曲线 =1（a0，b 0）上的一点，F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，已知 PF1
3、PF 2，且|PF 1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A B Cy=2x Dy=4x8已知双曲线 的渐近线与圆 x2+（y2） 2=1 相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （ ，+） B （1， ） C （2+） D （1，2）9如果双曲线经过点 P（2， ） ，且它的一条渐近线方程为 y=x，那么该双曲线的方程是（ ）Ax 2 =1 B =1 C =1 D =110已知 F 是双曲线 C： x2 =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则APF 的面积为（ ）A B C D二填空题（共 2 小题）11过双曲线 的
4、左焦点 F1 作一条 l 交双曲线左支于 P、Q 两点，若|PQ|=8，F 2 是双曲线的右焦点，则PF 2Q 的周长是 12设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 ，O 为坐标原点，且 ，则该双曲线的离心率为 第 3 页（共 14 页）三解答题（共 4 小题）13已知点 F1、F 2 为双曲线 C：x 2 =1 的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF 1F2=30（1）求双曲线 C 的方程；（2）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P 2，求 的值14已知曲线 C1
5、： =1（a0，b0）和曲线 C2： + =1 有相同的焦点，曲线 C1 的离心率是曲线 C2 的离心率的 倍（）求曲线 C1 的方程；（）设点 A 是曲线 C1 的右支上一点，F 为右焦点，连 AF 交曲线 C1 的右支于点 B，作 BC 垂直于定直线 l：x= ，垂足为 C，求证：直线 AC 恒过 x 轴上一定点15已知双曲线 ： 的离心率 e= ，双曲线 上任意一点到其右焦点的最小距离为 1（）求双曲线 的方程；（）过点 P（1，1）是否存在直线 l，使直线 l 与双曲线 交于 R、T 两点，且点 P 是线段 RT 的中点？若直线 l 存在，请求直线 l 的方程；若不存在，说明理由16已
6、知双曲线 C： 的离心率 e= ，且 b= （）求双曲线 C 的方程；（）若 P 为双曲线 C 上一点，双曲线 C 的左右焦点分别为 E、F，且 =0，求 PEF 的面积第 4 页（共 14 页）一选择题（共 10 小题）1直线 y=x1 与双曲线 x2 =1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （1，+） D （1， ）（ ，+）【解答】解：直线 y=x1 与双曲线 x2 =1（b0）有两个不同的交点，1b0 或 b1e= = 1 且 e 故选：D2已知 M（ x0，y 0）是双曲线 C： =1 上的一点，F 1，F 2 是 C 的左
7、、右两个焦点，若 0，则 y0 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：由题意， =（ x0，y 0）（ x0， y0）=x023+y02=3y0210，第 5 页（共 14 页）所以 y 0 故选：A3设 F1，F 2 分别是双曲线 （a0，b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使得 ，其中 O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：取 PF2 的中点 A，则 ， O 是 F1F2 的中点OAPF 1，PF 1 PF2，|PF 1|=3|PF2|，2a=|PF 1|PF2|=2|PF2|，|PF 1|2+|PF2|2=4c2，10a 2=4c2，
8、e=故选 C4过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F 作直线 y= x 的垂线，垂足为A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D第 6 页（共 14 页）【解答】解：设 F（c，0） ，则直线 AB 的方程为 y= （xc ）代入双曲线渐近线方程 y= x 得 A（ ， ） ，由 =2 ，可得 B（ ， ） ，把 B 点坐标代入双曲线方程 =1，即 =1，整理可得 c= a，即离心率 e= = 故选：C5若双曲线 =1（ a0 ，b 0）的渐近线与圆（x2） 2+y2=2 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （1，2） C
9、（1， ） D （ ，+）【解答】解：双曲线渐近线为 bxay=0，与圆（x 2） 2+y2=2 相交圆心到渐近线的距离小于半径，即b 2a 2，c 2=a2+b22a 2，e= e11e故选 C6已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线第 7 页（共 14 页）的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D2【解答】解：设 F（c，0） ，渐近线方程为 y= x，可得 F 到渐近线的距离为 =b，即有圆 F 的半径为 b，令 x=c，可得 y=b = ，由题意可得 =b，即 a=b，c= = a，即离心率
10、e= = ，故选 C7设点 P 是双曲线 =1（a0，b 0）上的一点，F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，已知 PF1PF 2，且|PF 1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A B Cy=2x Dy=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF 1|PF2|=2a，又|PF 1|=2|PF2|，得|PF 2|=2a，|PF 1|=4a；在 RTPF 1F2 中，|F 1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，4c 2=16a2+4a2，即 c2=5a2，则 b2=4a2即 b=2a，双曲线 =1 一条渐近线方程： y=2x；第 8 页（共 14 页）故选：C8已知双曲线 的渐
11、近线与圆 x2+（y2） 2=1 相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （ ，+） B （1， ） C （2+） D （1，2）【解答】解：双曲线渐近线为 bxay=0，与圆 x2+（y 2） 2=1 相交圆心到渐近线的距离小于半径，即 13a 2 b2，c 2=a2+b24a 2，e= 2故选：C9如果双曲线经过点 P（2， ） ，且它的一条渐近线方程为 y=x，那么该双曲线的方程是（ ）Ax 2 =1 B =1 C =1 D =1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为 y=x，可设双曲线的方程为 x2y2=（ 0） ，代入点 P（2 ， ） ，可得=42=2，可得双曲线的方程为 x
12、2y2=2，即为 =1故选：B第 9 页（共 14 页）10已知 F 是双曲线 C： x2 =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则APF 的面积为（ ）A B C D【解答】解：由双曲线 C：x 2 =1 的右焦点 F（2，0） ，PF 与 x 轴垂直，设（2 ，y） ，y0，则 y=3，则 P（ 2，3） ，AP PF，则丨 AP 丨=1，丨 PF 丨=3，APF 的面积 S= 丨 AP 丨丨 PF 丨= ，同理当 y0 时，则APF 的面积 S= ，故选 D二填空题（共 2 小题）11过双曲线 的左焦点 F1 作一条 l 交双曲线左支
13、于 P、Q 两点，若|PQ|=8，F 2 是双曲线的右焦点，则PF 2Q 的周长是 20 【解答】解：|PF 1|+|QF1|=|PQ|=8第 10 页（共 14 页）双曲线 x2 =1 的通径为 = =8PQ=8PQ 是双曲线的通径PQ F1F2，且 PF1=QF1= PQ=4由题意，|PF 2|PF1|=2，|QF 2|QF1|=2|PF 2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12PF 2Q 的周长 =|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为 2012设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 ，O 为坐标原点，且 ，
14、则该双曲线的离心率为 【解答】解：取 PF2 的中点 A，则 ，2 =0， ，OA 是PF 1F2 的中位线，PF 1 PF2， OA= PF1 由双曲线的定义得|PF 1|PF2|=2a，|PF 1|= |PF2|，|PF 2|= ，|PF 1|= PF 1F2 中，由勾股定理得|PF 1|2+|PF2|2=4c2，第 11 页（共 14 页）（ ） 2+（ ） 2=4c2，e= 故答案为： 三解答题（共 4 小题）13已知点 F1、F 2 为双曲线 C：x 2 =1 的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF 1F2=30（1）求双曲线 C
15、的方程；（2）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P 2，求 的值【解答】解：（1）设 F2，M 的坐标分别为 ，因为点 M 在双曲线 C 上，所以 ，即 ，所以 ，在 RtMF 2F1 中，MF 1F2=30， ，所以 （3 分）由双曲线的定义可知：故双曲线 C 的方程为： （6 分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为 （8 分）设双曲线 C 上的点 Q（x 0，y 0） ，设两渐近线的夹角为 ，则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 ，（11 分）因为 Q（x 0， y0）在双曲线 C： 上，所以 ，又 cos= ，第 12 页（共 14 页）所以 = （
16、14分）14已知曲线 C1： =1（a0，b0）和曲线 C2： + =1 有相同的焦点，曲线 C1 的离心率是曲线 C2 的离心率的 倍（）求曲线 C1 的方程；（）设点 A 是曲线 C1 的右支上一点，F 为右焦点，连 AF 交曲线 C1 的右支于点 B，作 BC 垂直于定直线 l：x= ，垂足为 C，求证：直线 AC 恒过 x 轴上一定点【解答】 （）解：由题知：a 2+b2=2，曲线 C2 的离心率为 （2 分）曲线 C1 的离心率是曲线 C2 的离心率的 倍， = 即 a2=b2，（3 分）a=b=1 ，曲线 C1 的方程为 x2y2=1； （4 分）（）证明：由直线 AB 的斜率不能
17、为零知可设直线 AB 的方程为：x=ny+ （5 分）与双曲线方程 x2y2=1 联立，可得（n 21）y 2+2 ny+1=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2= ，y 1y2= ， （7 分）由题可设点 C（ ，y 2） ，由点斜式得直线 AC 的方程： yy2= （x ） （9 分）令 y=0，可得 x= = = （11 分）第 13 页（共 14 页）直线 AC 过定点（ ，0） （12 分）15已知双曲线 ： 的离心率 e= ，双曲线 上任意一点到其右焦点的最小距离为 1（）求双曲线 的方程；（）过点 P（1，1）是否存在直线 l，使直线 l 与双曲线
18、 交于 R、T 两点，且点 P 是线段 RT 的中点？若直线 l 存在，请求直线 l 的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）由题意可得 e= = ，当 P 为右顶点时，可得 PF 取得最小值，即有 ca= 1，解得 a=1，c= ，b= = ，可得双曲线的方程为 x2 =1；（）过点 P（1，1）假设存在直线 l，使直线 l 与双曲线 交于 R、T 两点，且点 P 是线段 RT 的中点设 R（x 1，y 1） ，T（x 2，y 2） ，可得 x12 =1，x 22 =1，两式相减可得（x 1x2） （x 1+x2）= （y 1y2） （y 1+y2） ，由中点坐标公式可得 x1+x2=2，
19、y 1+y2=2，可得直线 l 的斜率为 k= = =2，即有直线 l 的方程为 y1=2（x 1） ，即为 y=2x1，代入双曲线的方程，可得 2x24x+3=0，由判别式为 16423=80，第 14 页（共 14 页）可得二次方程无实数解故这样的直线 l 不存在16已知双曲线 C： 的离心率 e= ，且 b= （）求双曲线 C 的方程；（）若 P 为双曲线 C 上一点，双曲线 C 的左右焦点分别为 E、F，且 =0，求 PEF 的面积【解答】解：（）C： 的离心率 e= ，且 b= ， = ，且 b= ，a=1，c=双曲线 C 的方程 ；（）令|PE|=p，|PF |=q由双曲线定义：|pq|=2a=2平方得：p 22pq+q2=4 =0， EPF=90，由勾股定理得：p 2+q2=|EF|2=12所以 pq=4即 S= |PE|PF|=2
