1、1 21柯西不等式 对应学生用书P28 读教材填要点 1平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理1(柯西不等式的代数形式) 设a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 均为实数，则 (a a )(b b )(a 1 b 1 a 2 b 2 ) 2 . 2 1 2 2 2 1 2 2 上式等号成立a 1 b 2 a 2 b 1 . (2)定理2(柯西不等式的向量形式) 设，为平面上的两个向量，则 | 上式中等号成立向量 和 共线(平行)存在实数 0，使得. (3)定理3：设a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 为实数，则 a2 1a2 2 b2 1b2 2 a1b12a2b22 等号成立存在非
2、负实数 及，使得 a 1 b 1 ，a 2 b 2 . (4)定理4(平面三角不等式) 设a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 ，c 1 ，c 2 为实数，则 a1b12a2b22 b1c12b2c22 . a1c12a2c22 等号成立存在非负实数 及使得： (a 1 b 1 )(b 1 c 1 )，(a 2 b 2 )(b 2 c 2 ) (5)定理5：设，为平面向量，则 | 当，为非零向量时，上面不等式中等号成立存在正常数 ，使得 ()向量 与同向，即夹角为零 2柯西不等式的一般形式 定理 设a 1 ，a 2 ，a n ，b 1 ，b 2 ，b n 为实数，则(a a a ) 2 1 2
3、 2 2 n 1 2 (b b b ) 1 2 |a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n |， 2 1 2 2 2 n2 其中等号成立 (当某b j 0时，认为a j 0，j1,2，n) a1 b1 a2 b2 an bn 小问题大思维 1在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成 吗？ a1 a2 b1 b2 提示：不可以当a 2 b 2 0时，柯西不等式成立， 但 不成立 a1 a2 b1 b2 2在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成a i b i (i1,2,3，n)，可以 吗？ 提示：不可以，a i b i 的顺序要与左侧a i ，b i 的顺序一致 3在一般
4、形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i kb i (i1,2,3，n)，可 以吗？ 提示：不可以若b i 0而a i 0，则k不存在 对应学生用书P29 利用平面上的柯西不等式证明有关不等式 例1 已知a，b，c为正数，且满足acos 2 bsin 2 . 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc 思路点拨 本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据 ， ， ； ， ， ，然后利用柯西不等式解决 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca 精解详析 构造两组数 ， ， ； ， ， ，则由柯西不等式 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca 得 (abbcca)
5、(111) 2 ， ( 1 ab 1 bc 1 ca ) 即2(abc) 9， ( 1 ab 1 bc 1 ca ) 于是 . 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc 由柯西不等式知，中有等号成立4 abbccaabc. ab 1 ab bc 1 bc ca 1 ca 因题设，a，b，c不全相等，故中等号不成立， 于是 . 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc 柯西不等式的结构特征可以记为(a 1 a 2 a n )(b 1 b 2 b n ) ( ) 2 ，其中a i ，b i 均为正实数(i1,2，n)，在使用柯西不 a1b1 a2b2 anbn 等式时(要注意从整体上把握柯西不等式
6、的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是 解决问题的关键 2设a，b，c为正数，求证： abc. a2 b b2 c c2 a 证明： (abc) ( a2 b b2 c c2 a ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( a b ) 2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 b c a 2 (abc) 2 ， ( a b b b c c c a a ) 即 (abc)(abc) 2 ， ( a2 b b2 c c2 a ) 又a，b，c为正实数，abc0. abc. a2 b b2 c c2 a 利用柯西不等式求最值 例3 设2x3y5z29，求函数u 的最大值 2x1 3y4 5z
7、6 思路点拨 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法 去掉根号 精解详析 根据柯西不等式 1203(2x1)(3y4)(5z6) (1 1 1 ) 2 ， 2x1 3y4 5z65 故 2 . 2x1 3y4 5z6 30 当且仅当2x13y45z6， 即x ，y ，z 时等号成立， 37 6 28 9 22 15 此时u max 2 . 30 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同 时，要注意等号成立的条件 3设x，y，zR，且满足：x 2 y 2 z 2 1，x2y3z ，则 14 xyz_. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2 y
8、 2 z 2 )(1 2 2 2 3 2 )(x2y3z) 2 14，所以要 取到等号，必须满足 ，结合x2y3z ，可得xyz . x 1 y 2 z 3 14 3 14 7 答案： 3 14 7 对应学生用书 P30 一、选择题 1若a，bR，且a 2 b 2 10，则ab的取值范围是( ) A2 ，2 B2 ，2 5 5 10 10 C ， D( ， 10 10 5 5 解析：a 2 b 2 10， (a 2 b 2 )(1 2 1 2 )(ab) 2 ， 即20(ab) 2 ， 2 ab2 . 5 5 答案：A 2已知x，yR ，且xy1，则 的最小值为( ) ( 1 1 x )( 1
9、 1 y ) A4 B26 C1 D 1 4 解析： 2 4，故选A. ( 1 1 x )( 1 1 y ) ( 1 1 xy ) 答案：A 3已知4x 2 5y 2 1，则2x y的最大值是( ) 5 A. B1 2 C3 D9 解析：2x y2x1 y1 . 5 5 4x25y2 1212 1 2 2 2x y的最大值为 . 5 2 答案：A 4设a 1 ，a 2 ，a n 为实数，P ，Q ，则P与Q a2 1a2 2a2 n n a1a2an n 的大小关系为( ) APQ BPQ CPQ D不确定 解析：由柯西不等式知 (a a a ) 1 2 1 1 1 n 个1 2 2 1 2
10、2 2 n a 1 a 2 a n ， a 1 a 2 a n . a2 1a2 2a2 n n 即得 ，PQ. a2 1a2 2a2 n n a1a2an n 答案：B 二、填空题 5设a，b，c，d，m，n都是正实数，P ，Q ，则P与Q ab cd manc b m d n 的大小_ 解析：由柯西不等式，得 P Q. am b m nc d n am2 nc2 ( b m ) 2 ( d n ) 2 amnc b m d n 答案：PQ7 6(陕西高考)设a，b，m，nR，且a 2 b 2 5，manb5，则 的最小值为 m2n2 _ 解析：由柯西不等式得(manb) 2 (m 2 n
11、2 )(a 2 b 2 )，即m 2 n 2 5，当且仅当 时 m a n b 等号成立， ，所求最小值为 . m2n2 5 5 答案： 5 7函数y2cos x3 的最大值为_ 1cos 2x 解析：y2cos x3 2cos x3 1cos 2x 2sin2x . cos2xsin2x223 22 22 当且仅当 ，即tan x 时，函数有最大值 . cos x sin2x 2 3 2 3 2 2 22 答案： 22 8已知x，y，z均为正实数，且xyz1，则 的最小值为_ 1 x 4 y 9 z 解析：利用柯西不等式 由于(xyz) ( 1 x 4 y 9 z ) Error!Error
12、! 2 36， 所以 36. 1 x 4 y 9 z 当且仅当x 2 y 2 z 2 ，即x ，y ，z 时，等号成立 的最小值为 1 4 1 9 1 6 1 3 1 2 1 x 4 y 9 z 36. 答案：36 三、解答题 9已知实数a、b、c满足a2bc1，a 2 b 2 c 2 1. 求证： c1. 2 3 证明：因为a2bc1，a 2 b 2 c 2 1， 所以a2b1c，a 2 b 2 1c 2 . 由柯西不等式得： (1 2 2 2 )(a 2 b 2 )(a2b) 2 ， 5(1c 2 )(1c) 2 ， 整理得，3c 2 c20，8 解得 c1. c1. 2 3 2 3 10
13、已知x，y，zR，且x2y3z4，求x 2 y 2 z 2 的最小值 解：由柯西不等式，得 x(2)y(3)z 2 1 2 (2) 2 (3) 2 (x 2 y 2 z 2 )， 即(x2y3z) 2 14(x 2 y 2 z 2 )， 即1614(x 2 y 2 z 2 ) 所以x 2 y 2 z 2 ，当且仅当x ，即当x ，y ，z 时， 8 7 y 2 z 3 2 7 4 7 6 7 x 2 y 2 z 2 的最小值为 . 8 7 11已知实数a，b，c，d满足abcd3，a 2 2b 2 3c 2 6d 2 5，求a的最 值 解：由柯西不等式，有 (2b 2 3c 2 6d 2 ) (bcd) 2 ， ( 1 2 1 3 1 6 ) 即2b 2 3c 2 6d 2 (bcd) 2 ， 由条件可得，5a 2 (3a) 2 ， 解得1a2，当且仅当 时等号成立， 2b 1 2 3c 1 3 6d 1 6 代入b ，c ，d 时，a max 2， 1 2 1 3 1 6 代入b1，c ，d 时，a min 1. 2 3 1 3
