1、例 1 不等式|83x| 0 的解集是 A BRCx|D83 83分 析 ， ， 即 |0x0答 选 C例 2 绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 A3 B2C2 D5分析 列出不等式解 根据题意得 2|x|5从而5x2 或 2x5，其中最小整数为5，答 选 D例 3 不等式 4|13x| 7 的解集为 _分析 利用所学知识对不等式实施同解变形解 原不等式可化为 4|3x 1|7，即 43x17 或 7 解 之 得 或 ， 即 所 求 不 等 式 解 集 为 或 x1x2x|2538例 4 已知集合 Ax|2|6 2x|5，xN，求 A分析 转化为解绝对值不等式解 2|6 2x|5 可
2、化为2|2x 6|5即 ， 或 ，x62即 ， 或 ，1284解 之 得 或 xx21因为 xN，所以 A0，1，5 说明：注意元素的限制条件例 5 实数 a，b 满足 ab0，那么 A|a b| |a| |b|B|ab|ab|C|ab|ab|D|a b| |a|b|分析 根据符号法则及绝对值的意义解 a、b 异号， |ab| |ab|答 选 C例 6 设不等式|xa|b 的解集为x|1x2 ，则 a，b 的值为 Aa1，b3Ba 1，b 3Ca 1，b 3D ， 2分析 解不等式后比较区间的端点解 由题意知，b0，原不等式的解集为 x|abxab，由于解集又为x| 1x2所以比较可得a2a
3、， 解 之 得 ， 123答 选 D说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组例 7 解关于 x 的不等式|2x 1|2m1(mR)分析 分类讨论解 若 即 ， 则 恒 不 成 立 ， 此 时 原 不 等2m10|2x1|m式 的 解 集 为 ；若 即 ， 则 ， 所 以 210(21)x21mxm综 上 所 述 得 ： 当 时 原 不 等 式 解 集 为 ；当 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为m1212x|1mxm说明：分类讨论时要预先确定分类的标准例 解 不 等 式 8 321|分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母解 注意到分母|x|20，
4、所以原不等式转化为 2(3|x|)|x| 2，整理得 |xxx| ， 从 而 可 以 解 得 ， 解 集 为 434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便例 9 解不等式|6|2x 1| 1分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|axb|c 或|axb|c 型的不等式来解解 事实上原不等式可化为6|2x 1|1或 6|2x1|1由得|2x1| 5，解之得 3x2；由得|2x1| 7，解之得 x 3 或 x4从而得到原不等式的解集为x|x4 或3x2 或 x3说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论例 10 已知关于 x 的不等式|x2| |x3|a 的解集是
5、非空集合，则实数 a 的取值范围是 _分析 可以根据对|x2| |x3|的意义的不同理解，获得多种方法解法一 当 x2 时，不等式化为x2x3a 即2x1a 有解，而2x15，a5当2x3 时，不等式化为 x2x3a 即 a5当 x3 是，不等式化为 x2x3a 即 2x1a 有解，而2x15，a 5综上所述：a5 时不等式有解，从而解集非空解法二 |x2|x3|表示数轴上的点到表示 2 和 3 的两点的距离之和，显然最小值为 3(2)5故可求 a 的取值范围为 a5解法三 利用|m|n| |m n|得|x 2| |x3| |(x2) (x3)|5所以 a5 时不等式有解说明：通过多种解法锻炼
6、思维的发散性例 11 解不等式|x1| 2x 分析一 对 2x 的取值分类讨论解之解法一 原不等式等价于： 或 011x2或 2xR由 得 或 x12即 ， 所 以 ；2x由得 x2综 合 得 所 以 不 等 式 的 解 集 为 x|112分析二 利用绝对值的定义对|x1| 进行分类讨论解之解法二 因为|x1| x1 ， ， 原不等式等价于： 或 xx012012由 得 即 ； 由 得 即 x12 所 以 不 等 式 的 解 集 为 x|12 例 12 解不等式|x5| |2x3|1分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区 间 讨 论 ， 事 实 上 ， 由 于 时 ， ，
7、 时 x5|0x|23|0所 以 我 们 可 以 通 过 ， 将 轴 分 成 三 段 分 别 讨 论 32解 当 时 ， ， 所 以 不 等 式 转 化 为 xx502332(x5)(2x 3)1，得 x7，所以 x7；当 时 ， 同 理 不 等 式 化 为(x5)(2x 3)1，解 之 得 ， 所 以 ；xx53当 x5 时，原不等式可化为x5(2x3)1，解之得 x9，所以 x5综 上 所 述 得 原 不 等 式 的 解 集 为 或 x|713说明：在含有绝对值的不等式中， “去绝对值”是基本策略例 13 解不等式|2x1| |2x3|分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去
8、掉绝对 值 ， 但 这 样 比 较 复 杂 如 果 采 取 两 边 平 方 ， 即 根 据 解|ab|2之，则更显得流畅，简捷解 原不等式同解于(2x1) 2(2x 3) 2，即 4x24x14x 212x9，即 8x8，得 x1所以原不等式的解集为x|x1 说明：本题中，如果把 2x 当作数轴上的动坐标，则|2x1| |2x3|表示2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离，则 2x 应当在 2 的右边，从而 2x2 即x1 例 若 ， 则 不 等 式 的 解 是1 0a(xa)01 AaxB 1CxaD 或 或 1分 析 比 较 与 的 大 小 后 写 出 答 案 a解 ， ， 解 应
9、 当 在 “两 根 之 间 ”， 得 选 01 axA 1a例 有 意 义 ， 则 的 取 值 范 围 是 2 xx6分析 求算术根，被开方数必须是非负数解 据题意有，x 2x60，即(x3)(x2) 0，解在“两根之外” ，所以 x3 或 x2例 3 若 ax2bx10 的解集为x| 1x2，则a_， b_分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程ax2bx10 的两个根，考虑韦达定理解 根据题意，1，2 应为方程 ax2bx10 的两根，则由韦达定理知ba()12得ab12， 例 4 解下列不等式(1)(x1)(3x)52x(2)x(x 11)3(x1) 2(3)(2x 1)
10、(x3)3(x 22)(4)3x2135x ()分析 将不等式适当化简变为 ax2bxc0(0) 形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成 )答 (1)x|x2 或 x4()|1 3(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 不 等 式 的 解 集 为5 1x Ax|x0 Bx|x1Cx|x1 Dx|x 1 或 x0分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分解 不 等 式 化 为 ，通 分 得 ， 即 ，10022xxx 20，x10，即 x1选 C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解例 与 不 等 式 同 解 的 不 等 式 是6
11、0x32 A(x3)(2x)0B0x21C 3D(x3)(2x)0解 法 一 原 不 等 式 的 同 解 不 等 式 组 为 ， ()x320故排除 A、C、D，选 B解 法 二 化 为 或 即 x320x3()2x03两边同减去 2 得 0x21选 B说明：注意“零” 例 不 等 式 的 解 为 或 ， 则 的 值 为7 x|12aa Aa BaCD 1221分 析 可 以 先 将 不 等 式 整 理 为 ， 转 化 为 0()ax(a1)x1(x1)0，根据其解集为 x|x1 或 x2可 知 ， 即 ， 且 ， a1a12aa答 选 C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧例 解 不 等
12、式 8 2372x解 先将原不等式转化为3720x即 ， 所 以 由 于 ，21134782x0(x)0不等式进一步转化为同解不等式 x22x30，即(x3)(x 1)0，解之得3x1解集为x|3x1 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题例 9 已知集合 Ax|x 25x40与 Bx|x 22axa2 ， 若 ， 求 的 范 围 0Ba分析 先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系 ， 结 合 ， 利 用 数 形 结 合 ， 建 立 关 于 的 不 等 式 Ba解 易得 Ax|1x4设 yx 22axa 2(*)(1) 0若 ， 则 显 然 ， 由 得4a24
13、(a2) 0，解得1a2()B(*)16若 ， 则 抛 物 线 的 图 像 必 须 具 有 图 特 征 ：应 有 从 而x|x|412a041 12a2 解 得 87综 上 所 述 得 的 范 围 为 a1a87说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例 10 解关于 x 的不等式(x2)(ax 2) 0分析 不等式的解及其结构与 a 相关，所以必须分类讨论解 1 当 a0 时，原不等式化为x20 其解集为x|x2； 2(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 aax|a ；3 0a12(x2)0当 时 ， 因 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 ax
14、| 或 ；2a4 当 a1 时，原不等式化为(x2) 20，其解集是x|x 2；52(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 是 aax| 或 a从而可以写出不等式的解集为：a0 时，x|x 2 ；x|a 时 ， ；01|2 时 ， 或 ；aa1 时，x|x 2；x| 时 ， 或 a说明：讨论时分类要合理，不添不漏例 11 若不等式 ax2bxc0 的解集为x|x(0 )，求cx2bxa0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的
15、特点可知 a0，根据韦达定理知： ， bac即 ， bac()0a0，b0，c 0又 ， 由 ， caac(1)1对 化 为 ，cxb0x022bac由 得 ， 是 两 个 根 且 ，1102 即 的 解 集 为 或 x0cxba0x| 22bca 1解法二 cx 2bxa 0 是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc0 解为 x， 的 解 集 为 或 xb|x 1说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维例 解 关 于 的 不 等 式 ： 12 x1a(R)x分析 将一边化为零后，对参数进行讨论解 原 不 等 式 变 为 ， 即 ，(a)00xxa11进一步化为(ax1a)(x1)0(1)
16、当 a0 时，不等式化为(x)( x|a11 ， 易 见 ， 所 以 不 等 式 解 集 为 ； a(2)a0 时，不等式化为 x1 0，即 x1，所以不等式解集为x|x1；(3)a()()01x|1 时 ， 不 等 式 化 为 ， 易 见 ， 所 以不 等 式 解 集 为 或 aa综上所述，原不等式解集为：当 时 ， ； 当 时 ， ； 当 时 ， 或 a0|aa0x|1a0x|x1例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x 23x|4 的解集是_分析 可转化为(1)x 23x4 或(2)x 23x4 两个一元二次不等式由 可 解 得 或 ， (1x()答 填x|x1 或 x4例 14
17、(1998 年上海高考题)设全集 UR ，A x|x 25x60，Bx|x 5| a(a 是常数)，且 11B ，则 A( UA)BRBA( UB)RC( UA)( UB)RDABR分析 由 x25x60 得 x1 或 x6，即Ax|x1 或 x6由|x5| a 得 5ax5a，即Bx|5ax5a11B，|11 5|a 得 a 65a1，5a 11 ABR 答 选 D说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查典型例题一例 1 比较 与 的大小，其中 3xRx解： )(2，x，3)2(32，4)(2x，03 x2说明：由例 1 可以看出实数比较大
18、小的依据是： ；ba0 ； ba0ba0典型例题二例 2 比较 与 的大小，其中16x24xRx解： )()(，246x，)1()(，)1(42x，2，)(2x 当 时， ；1246x当 时，x.说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于 0，还是等于 0，还是小于 0最后得结论概括为“三步，结论” ，这里的“变形”一步最为关键典型例题三例 3 ，比较 与 （ ）的大小Rx)12)(x)(12x分析：直接作差需要将 与 （ ）展开，过程复)()(2杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子
19、特点，予以变形，再作差解： = （ ）)12)(x(12x，)()(2)1)(1()(212xxx，)()(22 )1)()12)(2xx0)()(12 则有 时， （ ）恒成立Rx)12)(x)(12x说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差典型例题四例 4 设 ，比较 与 的大小Rxx1解：作差 ，)(21）当 时，即 ，0x012x ；2）当 ，即 时， ，01x102x ；3）当 但 ，即 或 时， ，01x01x012x 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能
20、定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号此时要注意分类合理恰当典型例题五例 5 比较 与 的大小1688分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解： 1616216186 )289()(9)(.168,016)29(,88 说明：求商法比大小的变形要围绕与 1 比大小进行典型例题六例 6 设 ，且 ，比较： 与 的大小。0, bababaa分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解： bababa)(当 时， ，0 0,1 1)(ba当 时， ab, ab)(ba即 ，1)(baab又 ，0ab说明：求商法的基本步骤是：求商，变形，与 1
21、 比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例 7 实数 满足条件： ； ；dcba、 dcba,0cba，则有( )0dbaA B ccC D bda（天津市 2001 年南开中学期末试题）分析：先由条件分析出 与 的关系，根据条件利用用数轴数形结ba、 dc、合比出大小解： ， 与 同侧0cba、 ， 与 异侧dba、 d c,把 标在数轴上，只有下面一种情况ba、由此得出 ，此题选 Ddc说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用典型例题八例 8 已知 ； ，求： 的取值范围1ba3baba分析：
22、此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式 用 和 表示 (2)利用不等式性质及题目条3件确定 的范围ba3解：设： byxabayx )()()()( 21yx由+2 得： 231)()(ba： 即 731ba说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：,3,420a20a02411bba：即 02b83,2,6a此解法的错误原因是因为 与 是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独ab立的，当 取到最大值或最小值时， 不一定能取到最值，所以用以上方法可b能扩大变量的范围避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入” ，见解题过程典型例题九例 9 判
23、断下列各命题的真假，并说明理由（1）若 ，则2bca.a（2）若 ，则 .1（3）若 ，则0,cba.bca（4）若 ，则d, .d（5）若 ，则cba02c（6）若 ，则Nm, .mba分析：利用不等式的性质来判断命题的真假解：（1） ，是真命题022cba baca21（2）可用赋值法： ，有 ，是假命题,3也可这样说明： ，ab1 ，只能确定 ，ba0但 的符号无法确定，从而 的符号确定不了，所以 无法得到，实际abba1ba1上有： .10,.,baba（3）与（2）类似，由 ，从而 是假命bcac01bca题（4）取特殊值： .3,21,5dba有 ， 是假命题dca定理 3 的推论
24、是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立只有异向不等式可相减，即 .,dbcab（5） ， 是真命题cbca220（6）定理 4 成立的条件为必须是正数举反例：，则有2,3mba.mba说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例典型例题十例 10 求证： .0,1,baba分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理证明：利用不等式的性质，得001ababa.,号,典型例题十一例 11 若 ，则下面不等式中成立的一个是（ ）dcba,（A） （B）bdac（C） （D）dc 解：由不等式的性质知：（A ） 、 （B
25、） 、 （C）成立的条件都不充分，所以选（D） ，其实（D） 正是异向不等式相减的结果 .bcacdcba说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用典型例题十二例 12 若 ，则下面各式中恒成立的是（ ） 1（A） （B）02 12（C） （D）1分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即 ， 和 ，根据不等式的性质，可得1， ，继而得到 且 ，故 ，102002因此选 A典型例题十三例 13 若 ，则一定成立的不等式是（ ）cbaA B C Dacbcbacba1分析：A 错，当 时有 ；同样 B 错；
26、D 没有考虑各数取零0,cbacba和正负号的关系，所以也不对故选 C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是 ） ，原不等式成立说明：这类题可以采用特例法：令 即得 C 成立0c典型例题十四例 14 已知： ，求证： 0cfeba， bceaf分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理证明： ， bcacba0 bc又 由同向加性可得： ， ef ef说明：此题还可采用异向减性来处理： 做这类， bceafcaf 题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用典型例题十五例 1
27、5 已知集合求： ,2|145|A2 AyxBxRI ， ， B分析：要求 ，需要先求集合 和 ，从已知来看， 的范围容易求， 的A元素由 可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质y解： ,01452RIx且.7.722 xA.72,yAy,2|54x.|,|x.5B2xA说明：本题中的条件 ，意在明确集合 中的元素为 ，若去掉此条件，会RIAR出现不确定的情况比如， 的实数和 的整数显然是有区别772x的另外，这里集合 的元素是通过集合 的元素求出的，解题时，一定要看清B典型例题十六例 16 设 和 都是非零实数，求不等式 和 同时成立的充要条件abba1分析：本题是求两个不等式同时
28、成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论如果分开讨论，则 成立的条件就是 本身；而 成立的条件则aba是 与 同号，且 ，但这个条件只是 的一个充分条件，并且与第一个不等abbba1式 是矛盾的所以必须研究这两个不等式同时成立的条件显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手解：先求 ， 同时成立的必要条件，即当 ， 同时成立时，ba1ba1与 应具备什么条件由 ，得ba1,.0,a由 可知 ，再由 知 ，即 与 异号，因此0ba0a0abab是不等式 与 同时成立的必要条件1再求 ， 同时成立的充分条件ba1事实上，当 时，必有 ，且 ，因而 成立从而0ba01,bba1是不等式 ， 同
29、时成立的充分条件ba0ba1因此，两个不等式 ， 同时成立的充要条件是 ba0说明：本题结果表明， 与 同时成立，其充要条件是 为正数， 为负ba1数这与 成立的条件 ， 不要混淆解本题是从必要条件入手的，ba10即若 ， 同时成立，则要研究从不等式 和 看 与 的大小有什ba1ab么关系，从中得出结论（ ） ，再把这个结论作为一个充分条件去验证 及ba0 能否同时成立从而解决了本题ba1典型例题十七例 17 已知函数 满足： 则 应caxf2)( .5)2(1,)(4ff )3(f满足（ ）（A） （B）6)3(7f )3(f（C） （D）201f 528f分析：如果能用 与 将 “线性”表
30、示出： ，)(f)3(f )2(1)3(nfmf就可利用不等式的基本性质，由 、 的取值范围，推出 满足的条件)1(f2)3(f解： ,42,)1(cacaf )1(3),(3fff故 )(42)(29)( fffcaf )1(358ff由不等式的基本性质，得 .20)3(1304)2(85)2(14 fff故选（C）.说明：（1）也可设 ，由代定系数法求得 ， )(1)(nfmf35m8n（2）下面的错误是值得引以为戒的 ,4)2(,cafcaf5415)(14caf 73093又 .)(caf .26)3(7171,2903f故选（A）上述推理错误产生的原因是由于将条件化为 使 、 的取值范围扩5)2(14f7130cac大所致事实上，作为点集与 之间的关系是 ，如图点集 N 是图中乱世71,30),(acNM形 OABD 所围成的区域，点集 M 是由平行四边形 MNBP 所围成的区域，这样就直观地表现了 ，揭示了上述解法的错误
