1、用递推的方法解决二项式定理的相关问题二项式定理是高中数学的一个难点，解决二项式定理相关问题的方法常见有构造函数法、公式变形法等.因为技巧性强，学生往往难以掌握.其实二项式定理也是涉及到正整数的相关问题，而数列同样也是涉及到正整数的问题.我们知道，递推关系是数列的核心，那么，能否用数列中的递推关系来解决二项式定理的相关问题呢？例 1、已知整数 ，集合 的所有 3 个元素的子集记为 .4n,321nM 3,21nCA当 时，求集合 中所有元素之和；53,21nCA记 为 中最小元素，设 ，求 .imiA321nCmPP解：当 时，集合 ，其中含有 1 的三元子集共有 个，同理，5n5,4 624C
2、含有 2,3,4,5 的集合均有 个，所以所有元素的和为 .624C 90)53(6当 1 为 中最小元素时，这样的集合共有 个，当 2 为 中最小元素时，这样的集iA21nCiA合共有 个，当 3 为 中最小元素时，这样的集合共有 个，当 为 中2ni 3n2niA最小元素时，这样的集合共有 个，由题意得：2243221 )(CnCCPnnnn 做到这里，学生难以操作下去.解法 1、利用公式变形： 2242322 )(nnnn )()( 222321 CCCn 223234 2432)()( )( nnn 323234 324332231)()( )()(CC nnnn 4134521 nn
3、n将 各项拆开，再并项，利用公式 求和.解法巧妙，但技巧性极强，学Pmmn生不易掌握.如将 看成是一个数列的某一项，为求其通项，不妨找一找前一项与后一项n的递推关系，从而用数列的手段来进行求和.解法 2、 ，22423221 )(CnCCnnnn 又 ，4n523CP223421 )()4(Cnnnn 223132321 nnn CC 41533213353213 4521 )()()( nnnnn n CPpPPP总结，找出 和 的递推关系，利用累加法求和，思路清晰，可操作性强.1例 2、记 展开式中 的系数为 ， 的系数为 ，其)2()(2)(3nxxxna2xnb中 .*Nn求 ；是否存
4、在常数 ，使 对 恒成立？证明aqp, )21(nnnqpb*,N你的结论.解：显然 .nnn2123解法 1、欲求 ，只需求出 即可，即要分析 的来源，故只需qp,b2x中每两个 与其余的 1 相乘即可.)1()()2(32nxx nnnnb 21)21(2)2(24343 设 knkknkkc 1()121(2nncb321 )212()44(2 nn，所以存在)(1(3132)14)( nnnnn 或 符合题意.,2qp,qp解法 2、由递推的角度进行思考：因为 展开式中 的)21()(21)(3nxx2x系数为 ，则 中 的系数为 .由多项式乘nb21)(2113nnxx 1b法的法则
5、知： ， .112nnab *),3(,4211 Nnabnnn nnn nb4132)41 41(2)()(2 3432321 当 时 也成立.下略.82例 3、求证：对任意正整数 ， 必可表示成 的形式.nn)21(1s证明：由二项式定理， )2(2 )2()2)()153 4203210 nn nnnnnC CC因此， 总能表示成 的形式，且 .)nba*,Nban又 ，从而即要证： .下面，我们来研究nba22n 12的递推关系.n,由 ，当 时，n)21(n11ba，化简得：1 )2(2nba，从而：)(11 nnnba.设 ，, )(2)(1 nnnn baabba 从而 且 ，解得 或 ，所以22,1或 .11)()(2nnbaba 1)()(nn所以得： .证毕.nba)(1212总结：高中数学的一个难点就是如何打通知识点与知识点之间的脉络，巧用数列中的递推关系解决二项式定理中的相关问题，正较好地体现了这种思想.
