1、1导数高考大题1.（ ）设函数 ，已知 和 为 的极值点2132()xfeabx1()fx（）求 和 的值；ab（）讨论 的单调性；()f（）设 ，试比较 与 的大小32gx()fxg2.（ ）已知函数 其中 nN*,a 为常数.1()l1,nfa（）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值；（）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x2 时，有 f(x)x-1.3. 已知函数 ,其中 321()fb0a（1） 当 满足什么条件时, 取得极值?b)(xf（2） 已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.0a)(f1b4.（2010 山东文 10 题）观察 ， , ，由归
2、纳推理可得：2x42()x(cos)inx若定义在 上的函数 满足 ，记 的导函数，则 =R()fffgf为 ()gx（A） （B） （C ） （D ）()fx()x()x5. (2010 山东文 21 题)已知函数 .11Raanf （）当 处 的 切 线 方 程 ；，在 点 （时 ， 求 曲 线 )2()(1fxya（）当 时，讨论 的单调性2 f6. （2011 山东理 16 题）已知函数 ， 当()log(0,1)afxxba且时，函数 的零点 ，则 _.234ab()fx*0,1,nNn7. （2011 山东理 21 题）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容
3、器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且803.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，2lr半球形部分每平方米建造费用为 千元.设该容器的建造费用为 千元。(3)cy（）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；yr（）求该容器的建造费用最小值时的 .r28.（2011 山东文 4 题） 曲线 在点 处的切线与 轴交点的纵坐标是31yx(,2)Py(A) -9 (B) -3 (C) 9 (D) 159. (2008 全国文卷一 4 题)曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）34(3)，A30 B45 C60 D12
4、010.（2008 全国文卷一 21 题）已知函数 ， 32()1fxaxR（）讨论函数 的单调区间；()fx（）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围f213， a11.（2009 全国文卷二 21 题）设函数 ，其中常数32()(1)4fxxa1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a12.（2009 全国理卷一 9 题）已知直线 y=x+1 与曲线 相切，则 的值为( ) yln()xa(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-213.（2009 全国理卷一 22 题）设函数 在两个极值点 ，且32
5、fxbcx12x、120,1,.x，（I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域；bc、 ,bc(II)证明： 2110fx14.（2009 全国理卷二 4 题）曲线 在点 处的切线方程为2xy1,A. B. C. D. xy0450xy450xy15.（2009 全国理卷二 22 题）设函数 有两个极值点 ，且2fxaIn12、 12x（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；a（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 214Infx16.（2010 全国文卷一 21）已知函数 42()3(1)4fxax3（I）当 时，求 的极值;16a()fx（
6、II）若 在 上是增函数，求 的取值范围。()fx,a17.（2010 全国文卷二 7 题） 若曲线 在点 (0,)b处的切线方程式 ，2yx10xy则（A） 1,ab （B） 1,a（C） （D） b18.（2010 全国文卷二 21 题） 已知函数 32()fxx（）设 ，求 的单调区间；2a()fx（）设 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 的取值范围.()f a19.（2010 全国理卷一 20 题）已知函数 .()1lnfxx（）若 ，求 的取值范围；2()1xfax（）证明： .()0f20.（2010 全国理卷二 22 题） 设函数 1xfe（）证明：当 时， ；x -1xf
7、（）设当 时， ，求 a 的取值范围0121.（2011 全国文卷一 21 题） 已知函数 32()(6)+124fxaxaR()证明：曲线 ()0yfx在 处 的 切 线 过 点 （ ， ） ；（）若 求 a 的取值范围.00()f x在 处 取 得 最 小 值 ， （ 1， ） ，22.（2011 全国理卷二 8 题） 曲线 在点（0，2）处的切线与直线 和 围ey 0yx成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D) 13121323.（2011 全国理卷二 22 题） （）设函数 ，证明：当 时，2()ln1)xfx0x；()0fx4（）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每
8、次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 .证明：p192()0e 231.解：（）因为 12()e()3xf axb，1e(2)3xab又 和 为 的极值点，所以 ，()fx(2)(10ff因此 6032ab， ，解方程组得 ， 1（）因为 ， ，3所以 ，1()2)(exfx令 ，解得 ， ， 012031x因为当 时， ；()x， (， ()f当 时， 2， ， x所以 在 和 上是单调递增的；()fx0)， (1)，在 和 上是单调递减的， ，（）由（）可知 ，2132()exf故 ，213()()xfxg令 ，1eh则 ()x令 ，
9、得 ，015因为 时， ，1x， ()0hx所以 在 上单调递减()h，故 时， ；x， ()1x因为 时， ，1， 0h所以 在 上单调递增()hx，故 时， ， ()1x所以对任意 ，恒有 ，又 ， ()0hx 2x因此 ，()0fxg故对任意 ，恒有 )， ()fxg2. 解：由已知得函数 f(x)的定义域为x|x1，当 n=2 时， 21ln(1),a所以 3()().1xfx（1）当 a0 时，由 得0f1， 1，12x2xa此时 .123()f当 x（1，x 1）时， 单调递减；()0,()fxf当 x（x 1+）时， 单调递增.（2） （）当 a0 时， 恒成立，所以 f(x)无
10、极值 .()fx综上所述，n=2 时，当 a0 时，f(x )在 处取得极小值，极小值为21a22(1)(ln).af当 a0 时，f(x )无极值.6（）证法一：因为 a=1,所以 1()ln().fxx当 n 为偶数时，令 1()l(),()gxx则 .1 12() 0,(2)()()n nxx 所以当 x2,+ 时，g(x) 单调递增，又 g(2)=0因此 g(2)=0 恒成立，1()ln()()x所以 f(x)x-1 成立.当 n 为奇数时，要证 x-1,由于 0，所以只需证 ln(x-1) x-1,()f1()nx令 h(x)=x-1-ln(x-1),则 0（x2）,)1所以 当 x
11、2 ，+ 时， 单调递增，又 h(2)=10，()1ln()hx所以当 x2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（x-1）x-1 命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当 a=1 时， 1()ln().f当 x2，时，对任意的正整数 n，恒有 1，()nx故只需证明 1+ln(x-1) x -1.令 ()1(l)2l(),2h则 ,x当 x2 时， 0，故 h(x)在 上单调递增，(),因此 当 x2 时，h(x)h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1 成立.故 当 x2 时，有 x-1.1ln()7即 f（x ）x-1.3. 解: (1)由已知得 ,令 ,得 ,2()1faxb0)(xf
12、210abx要取得极值,方程 必须有解,)(f 0所以 ,即 , 此时方程 的根为240b22x, ,1abax 224baba所以 12()(fx当 时,0ax (-,x 1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+)f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.)(当 时, 0ax (-,x 2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+)f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.)(综上,当 满足 时, 取得极值. ba)(xf(2)要
13、使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立.)(xf0 2()10fxabx(,即 恒成立, 所以1,(2ma)b设 , ,()axg2(1()2xag令 得 或 (舍去), 01x8当 时, ,当 时 , 单调增函数;1a01(0,)xa(0gx1()2ax当 时 , 单调减函数,(,()()x所以当 时, 取得最大,最大值为 .1xa()gx1()ga所以 b当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间01a()0gx(1 1()2axg上单调递增,当 时 最大,最大值为 ,所以()agb综上,当 时, ; 当 时, 1aba012b4.D5. 解：（） 当 )(xf时 ， ),0(,l
14、nx所以 2,0,)(xf因此， ，）（ 1f即 曲线 .1)2()( ，处 的 切 线 斜 率 为，在 点 （ fxy又 ,2lnf所以曲线 .02ln ,2)(ln)()( yx xyff即 处 的 切 线 方 程 为，在 点 （）因为 ，1l)(xaxf所以 ，21af 2),0(x令 ,)(2xg),0(（1）当 0,()1()ahx时9所以，当 ，函数 单调递减；(0,1)(0,()0xhxfx时 此 时 ()fx当 时， ，此时 单调递,函 数（2）当 a时 由 f()=即 ，解得10x12,1xa当 时， 恒成立，22,()xh此时 ，函数 在（0，+）上单调递减；()ff当 1
15、0,a时时， 单调递减；(,)x()(),()hxfxfx此 时 函 数时， 单调递增；1a0,0此 时 函 数，此时 ()fx，函数 ()fx单调递减；(,),(xx时当 时，由于01时， ，此时 ，函数 单调递减；(,)x()hx()0fx()fx时， ，此时 ，函数 单调递增。10综上所述：当 时，函数 在（，）上单调递减；0a()fx函数 在（，）上单调递增；()fx当 时，函数 在（0，+）上单调递减；12()fx当 时，函数 在（0，1）上单调递减；0a函数 在 上单调递增；()fx1,)函数 上单调递减，a在6. 2【解析】 ， ， ，3=34,ba1log-= 的零点在（2,3
16、）上，n=2.()log()xab=-7. （1）设容器的容积为 ，V10由题意知 ，又 ，234Vrl80V故 322280()l rrr由于 ，因此 0所以建造费用 2 224034()34yrlcrrc因此 21604(),c（2）由（1）得， 3228()08() ),2cycrrr由于 ，所以 ，3当 时，02rc30rc令 ，则 3m所以 2228() ()cyrrm 当 即 时，09当 时，rm0y当 时，(,)当 时，2ry所以 是函数 的极小值点，也是最小值点.ry 当 即 时m93c当 时， ，函数单调递减，(0,2)r0y所以， 是函数 的最小值点.综上所述，当 时，建造
17、费用最小时93c2r当 时，建造费用最小时 。230c8.C9. B 解析： 曲线 在点 处的切线的倾斜角/2/13,|,xyxky324yx(13)，11，选择 B；04510. 解：（1） 求导：32()1fxax2()31fxax当 时， ， ， 在 上递增；23a 0 ()f R当 ，由 求得两根为2()fx23ax即 在 递增， 递减，()f23a， 223a，递增；23a，（2） （法一）函数 在区间 内是减函数， 递()fx213，2233aa，减， ，且 ，解得： 。231a 2a2a2 13x+a0(,3g()=1,47a9 24()32a+0a,)（ 法 二 ） 只 需 在
18、 区 间 ） 恒 成 立 即 可 。令 只 需 ： 的 取 值 范 围 为11. 解： （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )2(4)1(2 axaxxf 由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；10ff,当 时， ，故 在区间 是减函数；ax2)(x)(x),(当 时， ，故 在区间 是增函数。ff2a综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是1)(x),(),( )2,(a减函数。（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。0)(fa20x12aaaf 24)2(1)2(344f)0(由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 解得 1a6,0)(21
19、fa.024,0)6(3,1a故 的取值范围是（1，6）12. 解:设切点 ，则 ,又0(,)Pxy00ln1,()xayx0 1|xya.故答案选 B 0,2aa13.解： 由题意知方程 有两个根236fxbxc0fx12x、则有1,且 ， 21,.10f，故有0f， 0f，2140bc右图中阴影部分即是满足这些条件的点 的区域。,bc(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的322fxbxc， （如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助b c2（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。,0解： 由题意有 2
20、36fxbxc13又 322fxbxc消去 可得 32221fx又 ，且 21,x,0c1()f14.B 解： ,1122|()xxxy故切线方程为 ,即 故选 B.0y15.解: （I） 22(1)1axafxx令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均()g12x、 ()0gx大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得1480()aga当 时， 在 内为增函数；1(,)x0,fxf1,x当 时， 在 内为减函数；2()2)当 时， 在 内为增函数；,()x,fxf ,x（II）由（I） ，210,0ga2()a+2 22()1fxlnxxlnx设 ，()1h则 2()xxlxlx当 时，
21、 在 单调递增；1(,0)0,)h1,02当 时， ， 在 单调递减。xx()ln(,)24当 时故 124Infxh16. 解：（I） ()31).xax14当 时， ， 在 内单调递减，在 内单调递16a221)fxx(fx(,-2)(-2,+)增，在 时 有极小值。所以， 是 的极小值。2xf -=ff（II）在 上 单调递增当且仅当 即-（ 1,） x24(1)31)0xax，230,ax（1） 当 时 恒成立；（2） 当 时 成立，当且仅当 解得 2310.a16a。（3） 当 时 成立，即 成立，当且仅当0a +)-4x( -043.解得 4-3。综上， 的取值范围是 。a16，1
22、7. A。 02xya， ， (0,)b在切线 10xy， 1b18. （）当 a=2 时， 32()13(2)(3)fxfx当 时 在 单调增加；(,2x,()f,当 时 在 单调减少；3)0x()当 时 在 单调增加；(,x(,()ff23,综上所述， 的单调递增区间是 和 ，)f ,)(,)的单调递减区间是()fx(23,（） ，23)1a当 时， 为增函数，故 无极值点；210(0,()fxf ()fx当 时， 有两个根)221,1xaxa由题意知， 23,13a或15式无解，式的解为 ，543a因此 的取值范围是 .a，19. 解：（） ，11()lnlxf x,lx题设 等价于 .
23、2()1fxalxa令 ，则lng()g当 ， ；当 时， ， 是 的最大值点，0x 0 x ()0gx 1()gx()1综上， 的取值范围是 .a,()由（）知， 即 .()gx ln10x当 时， ；01 1)l(n1)0f x当 时，x()ln(l)fx1l(l)xx0所以 (1)xf20.解：（I）当 时，当且仅当1)(xf .1xex令 2 分)(.geg则当 ， 是增函数；0)(时 ,在x当 是减函数。0)(,在时x16于是 在 x=0 处达到最小值，因而当 时，)(xgRx.1),0(xegxx即所以当 6 分、.1)(,1xf时（II）由题设 00x此 时当 不成立；1)(,
24、axfaxa则若时当 则)()(fh令时当且令当1)(axf .0).()()( 1 xfff8 分（i）当 时，由（ I）知210a),(1xf)()( fxafxfh,1是减函数， 10 分,0)(在x .1)(,0)(axfhx即（ii）当 时，由（I）知2a.f),()()( xaxffxhf).(12(xfa当 时，0 .1)(,0)(,0 axfhxh即所 以综上，a 的取值范围是 12 分.21,21. 解：（I） .2 分()36fxax由 得曲线 在 x=0 处的切线方程为(0)124,0f()yfx()124yx由此知曲线 在 x=0 处的切线过点（2，2） .6 分)f1
25、7（II）由 得 .()0fx210ax（i）当 时， 没有极小值； .8 分1()f(ii)当 或 时，由 得2a2x21, 1xxa故 .由题设知 ，0213当 时，不等式 无解；a2当 时，解不等式 得1a521a综合(i)(ii)得 的取值范围是 12 分5(,2)22. A. 切线方程是： ,在直角坐标系中作出示意图，即得20,|xryey yx。13S23. 解(I)221()() 0()1xxfx 所以 在 上单增。f,当 时， 。0x()0fx（II） 1981p由(I)，当 x0 时， ,即有()fx2ln()x故()91101lnl()9002于是 ,即 .91ln20e192()e利用推广的均值不等式： 112,0nnixxx 19190981098 ()1 0p18另解： ，21(ln)0xx所以 是上凸函数，于是y 1212lnlnnxxx因此 098lll100p19ln，1l()0故 19p综上： 2()e
