1、2007 山东(22)(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=x2+b ln(x+1),其中 b0.()当 b 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性；1（）求函数 f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数 n,不等式 ln 都成立.321)1(nn22【答案】(I) 函数 的定义域为 .2()l(1)fxbx,，()21bfx令 ，则 在 上递增，在 上递减，2()gx()gx1,21,2.min1)xb当 时， ，2bmin(02gx在 上恒成立.()x1,0,f即当 时,函数 在定义域 上单调递增。12b()fx,（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当 时函数 无极值点.()
2、fx（2）当 时， ，b21()f时，1,x0,fx时，,2(),f时，函数 在 上无极值点。1bfx1,（3）当 时，解 得两个不同解 ， .12b()0fx12bx12bx当 时， ， ，012b212,xx此时 在 上有唯一的极小值点 .()f,21bx当 时，102b12,x在 都大于 0 ， 在 上小于 0 ，()fx,()fx12,)此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .f12bx21bx综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；0b()f,2时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；102()fx12bx21bx时，函数 在 上无极值点。b()f,（III） 当 时，12ln(
3、1).xx令 则33()(),hxf在 上恒正，2 10,在 上单调递增，当 时，恒有 .()hx0, ,x()0hx即当 时，有 ，32ln(1)023l对任意正整数 ，取 得n1x232008 山东（21） （本小题满分 12 分）已知函数 其中 nN*, a 为常数.1()ln(1),)fxax（）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值；（）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x2 时，有 f(x)x-1.（）解：由已知得函数 f(x)的定义域为x|x1，当 n=2 时， 21ln(1),a所以 3()().1xfx（1）当 a0 时，由 得()0f1， 1，12x2xa此时
4、 .123()f当 x（1，x 1）时， 单调递减；()0,()fxf当 x（x 1+）时， 单调递增.（2）当 a0 时， 恒成立，所以 f(x)无极值.()fx综上所述，n=2 时，当 a0 时，f(x )在 处取得极小值，极小值为21a22(1)(ln).af当 a0 时，f(x )无极值.（）证法一：因为 a=1,所以 1()ln().fxx当 n 为偶数时，令 1()ln(),()gxx则 .1 12() 0,(2)()()n nxx 所以当 x2,+ 时，g(x) 单调递增，又 g(2)=0因此 g(2)=0 恒成立，1()ln()()x所以 f(x)x-1 成立.当 n 为奇数时
5、，要证 x-1,由于 0，所以只需证 ln(x-1) x-1,()f1()nx令 h(x)=x-1-ln(x-1),则 0（x2）,)1所以 当 x2 ，+ 时， 单调递增，又 h(2)=10，()1ln()hx所以当 x2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（x-1）x-1 命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当 a=1 时， 1()ln().f当 x2，时，对任意的正整数 n，恒有 1，()nx故只需证明 1+ln(x-1) x -1.令 ()1(l)2l(),2h则 ,x当 x2 时， 0，故 h(x)在 上单调递增，(),因此 当 x2 时，h(x)h(2)=0，即 1+ln(x-1)
6、 x-1 成立.故 当 x2 时，有 x-1.1ln()即 f（x ）x-1.2009 山东（21） （本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比
7、，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为0.065.（I）将 y 表示成 x 的函数；（）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。解:（1）如图,由题意知 AC BC, ,2240Cx24(0)kyx其中当 时，y=0.065,所以 k=902x所以 y 表示成 x 的函数为 229()40yxx设 ,则 , ,所以22,4mnmnyn当且仅当9111()3()(32)406my即 时取”=”.4n206下面证明函数 在(0,160
8、)上为减函数, 在 (160,400)上为增函数.49ym设 0424024012(0)()m9 m1m291601601所以 ,221214(0)()90所以 即 函数 在2122121()(4)()0mm12y490ym(160,400)上为增函数.所以当 m=160 即 时取 ”=”,函数 y 有最小值,4x所以弧 上存在一点，当 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度10最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用 ,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.2010 山东（22） （本小题满分 14 分）已知函数
9、.)(11)( Raxanxf （）当 时，讨论 的单调性；2a)(f（）设 时，若对任意41.)( abxxg当，存在 ，使 ，求)2,0(1x2,1x )()(21xgxf实数 的取值范围.b（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：（）因为 1()lnafxx所以21() (0,)af x令 2,(0,)hxx（1）当 0)1(,)ahx时所以，当 ，函数 单调递减；(,1(,)xxf时 此 时 (fx当 时， ，此时 单调递,)(0,x函 数 )（2）当 0a时 由 f(=
10、即 ，解得1x12,1xa当 时， 恒成立，22,()0xh此时 ，函数 在（0，+）上单调递减；()0ff当 1,a时时， 单调递减；(,)x()(),()hxfxfx此 时 函 数时， 单调递增；1a0,0此 时 函 数，此时 ()fx，函数 ()fx单调递减；(,),(xx时当 时，由于01时， ，此时 ，函数 单调递减；(,)x()hx()0fx()fx时， ，此时 ，函数 单调递增。10综上所述：当 时，函数 在（，）上单调递减；0a()fx函数 在（，）上单调递增；()fx当 时，函数 在（0，+）上单调递减；12a()fx当 时，函数 在（0，1）上单调递减；0函数 在 上单调递
11、增；()fx1,)a函数 上单调递减，在（）因为 ，由（）知，(0,)2，当 ，1,3x(,1)x时 f(x 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性；1（）求函数 f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数 n,不等式 ln 都成立.321)1(nn2008 山东（21） （本小题满分 12 分）已知函数 其中 nN*, a 为常数.1()ln(1),)fxax（）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值；（）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x2 时，有 f(x)x-1.2010 山东（22） （本小题满分 14 分）已知函数 .)(11)( Raxanxf （）当 时，讨论 的
12、单调性；2a)(f（）设 时，若对任意41.)( abxxg当，存在 ，使 ，求2,012,)()(21xgxf实数 的取值范围.b2009 山东（21） （本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为0.065.（I）将 y 表示成 x 的函数；（）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。
