1、课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）一 教学目标 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角 终边上一点，会求角 的各三角函数值.二 教学重难点：重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角 终边上一点，会求角 的各三角函数值. 三 复习回顾：复习 1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上； （2）第二、四象限.复习 2：锐角的三角函数如何定义？在初中，我们如果要求一个锐角的三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。那么，你能用直角坐标
2、系中角的终边上的点的坐标更方便的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法：如图，设锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的Ox非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离 . 过 作 轴的垂线，垂足为 ，则线段(,)Pab20rabPM的长度为 ，线段 的长度为 .可得：OMMP； = ， = .sinrcostnM四、新课学习：知识点 1：三角函数的定义认真阅读教材 P11-P12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角 ，这三个比值不会随点 P 在 的终边上的位置的改变而改变，因此我们可以将点 P 取在使线段 OP 的长为 r=1 的特殊位置
3、上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示的锐角三角函数的值为：_； _； _sinMOcosOMPtanMPO问题：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.上述的点 P 就是 的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角的三角函数值。如图，设 是一个任意角，
4、它的终边与单位圆交于点 ，那么：(,)Pxy（1）y 叫做 的正弦(sine)，记做 ；sin（2）x 叫做 的余弦(cossine)，记做 ；co（3） 叫做 的正切(tangent)，记做 .taMP(a,b)o xyMP(a,b)P(a,b)oxy即： ， ， .sinycosxtan(0)yx练习：角 与单位圆的交点坐标为 ，则 sin = ，cos = 34 3434，tan = .注：1)当 时， 的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 都等于()2kZ x0，所以 无意义.xytan2)三角函数的定义域：函数 定义域ysiRxcotan ,2|Zkx确定三角函数的定义域时，要
5、抓住分母不为 0 这一关键，当角的终边在坐标上时，点 P 的坐标中必有一个为 0.3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，因而三角函数可以看成是自变量为实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数，我们将它们统称为三角函数。探究：如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?根据相似三角形的性质，在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点（除了原点）的坐标为 ，它与原点的距离为 ，则：P(,)xy 22(| 0)rxyxy； = ； = .sinyrcosrtan注意：一个角的三角函数值只与这个角的终边
6、的位置有关，而与点的选取无关。为计算方便，我们把半径为 1 的圆（单位圆）与角的终边的交点选为点的理想位置。典型例题 ：例:求 角的正弦、余弦和正切值43变式练习1 求 角的正弦、余弦和正切值56小结：作角终边求角终边与单位圆的交点利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一个容易找到的点，利用 ， = ， = 求三角函数值.sinyrcosrxtanxy2、求 角的正弦、余弦和正切值35例:已知角 的终边经过点 P(4,3)，求 sin 、cos 、 的值；tan练习：已知角 的终边经过点 P(-4,2)，求 sin 、cos 、 的值；ta方法总结：首先判断角的终边是否在单位圆上，再确定做题的
7、方法。例：已知角 的终边经过点 P(4a,3a)(a0)，求 2sin +cos 的值；例：已知角 的终边在直线 y=-3x 上，求 sin ,cos ,tan 的值。.cos,in,10cos)0(3, 求， 且终 边 上 一 点练 习 ： 已 知 角 xP的 定 义 域 。例 ： 求 xytancosi的 定 义 域 。练 习 ： 求 函 数 xysinco当堂检测1. （ ）.tan()4A. 1 B. C. D. 222. （ ）.7sin6A. B. C. D. 2132323. 如果角 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴重合，终边在函数 的图象5(0)yx上，那么 的值为（ ）.
8、tanA. 5 B. 5 C. D. 154. .cos(30)5. 已知点 在角 的终边上，则 = .,4Pa(0)tan课后作业 ：（一）选择题1、已知角 的终边过点 P（1,2）,cos 的值为 （ ）A B C D55 2252、 是第二象限角， P（ x, ） 为其终边上一点，且 cos= x，则 sin 的值为 5 4（ ）A B C D4104642410二填空题3、角的终边上有一点P（m，5） ，且 ，则sin+cos=_)(,13cosm4、已知角 的终边在直线 y = x 上，则 sin = ； = 3tan三 解答题5、已知角 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴
9、的距离之比为 34（且均不为零） ，求 2sin +cos 的值知识点二：任意角的三角函数值在各象限内的符号 ：由于 ，所以任意角的三角函数的符号取决于点 P 所在的象限0r当角 的终边在第一象限时，点 P 在第一象限， ，所以 0,xy；sin,cos,tan0当角 的终边在第二象限时，点 P 在第二象限， ，所以,xy；si0,cs,ta当角 的终边在第三象限时，点 P 在第三象限， ，所以0,xy；sin,cos,tan0当角 的终边在第四象限时，点 P 在第四象限， ，所以 ,xysi0,cs,ta任意角的三角函数符号的记忆方法：典型例题：例：判定下列各角的各三角函数符号：（1）432
10、7 （2 7547tan)45cos)36i0cossin)5分析 关键是判定角所在的象限练习：判断下列三角函数值的符号。 3tan)4672tan()34sin()250cos)1 全正正切正 余弦正正弦正xyo例：根据条件 且 ,确定 是第几象限的角.sin0ta练习： 是 第 几 象 限 角 ？请 你 判 断ta练习：书第 15 页练习练习：请你求下列各角的三角函数值并背会： 2,6135,47,234,567,432,4,60练习：求下列三角函数的值： )61tan()249cos)1例:求下列各式的值:(1) ；5cos1803in92ta06sin27(2) .cosinta3si
11、ncos3644巩固性练习1计算： 5sin902cos3tan180cos2计算： 213costantsincos243当堂检测：1、判别下列各三角函数值的符号：1）sin250 2）cos（ ） 3）tan(66636) 44）tan 5）sin 6）cos10203172、根据下列已知，判别 所在象限：1）sin0 且 tancosx 呢？当堂检测：1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1） ； （2） ； （3） ； （4） 3562136 54tan32t)(54cos32)(54sin32i)(1 与与与、 比 较 大 小 ：3、 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围
12、;21sin)(x.21cos)(AMOPyxB)(21sin204的 取 值 范 围 是的上 满 足，、 在 x ， 65.D 326.C 65.B 6,.A5、求满足下列条件的角 的范围：x（1） ； （2） 0tansix xcos|6、求证： 。2cosi知识点五：同角三角函数的基本关系推导：以正弦线、余弦线和半径三者的长构成直角三角形，而且，由勾股定理有：即 ，根据三角函数的定义，当22OPM1cossin2时，有 ,Zk,ta讨论几个问题：A.上述两个关系式，在一些什么情况下成立？B.“sin cos 1”对吗？22C. 同角三角函数关系式可以解决哪些问题？（求值：已知一个角的三角
13、函数值，求这个角的其他三角函数的值； 化简；证明）D.从上面两个公式，你还能推导出同角三角函数的其它关系吗？ 22222 22 cossin4tacotansecocsin14 1;1;s3 .ticstacoi2 ;tan1o;in1)s(in .cscoseta1si1 ”的 妙 用 ：、 “、 倒 数 关 系 ：、 商 数 关 系 ：、 平 方 关 系 ： 种 关 系 ：注 ： 同 角 三 角 函 数 的 几12cottan;13cossin3i)(isi21222 ） 、 角 的 变 换 ：（ ） 、（ 义 ；要 使 上 述 各 种 式 子 有 意） 、 角注 意 ： （同角三角函数的
14、基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。典型例题：例：已知 cos ，求 sin，tan 的值. 35练习：已知 sin ，求 cos，tan 的值. 13小结：注意符号（象限确定） ；同角三基本式的运用（分析联系） ；知一求二.练习： 已知 tan m（ m0） ，求 sin，cos 的值. （分象限讨论） 化简 costan.
15、 （化简方法：切化弦） 化简下列各式： 21cos0例：1）已知 0 ,的 值 。求 cosin,169in2) 已知 0 , 的 值 。求 csi,5cosi3）已知 的 值 。求 33ssin,sinm。求已 知） 、 求） 、 已 知例 ： cot,sin,178cos2.a,54in1小结： 给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值. 化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值）例：化简： 4cosin2122cos3sin3i)4cota， 求 值例 ： 已 知 .sin-cosinco,s2sin3 的
16、 值求练 习 ： 已 知 例：用多种方法证明： 1sincoxsi小结方法：由其它等式而转化（先证交叉乘积相等） ；或证和（差） ，或证商比较法；直接证明左边等于右边或右边等于左边或可以左右归一。.练习：求证：sin x tan x =tan xsin x.222练习： 已知 sin =2sin，tan =3tan，求 的值.2cos 已知 + =1，求 sin+cos 的值. 4sin4co小结：注意象限定符号和联系关系式. 灵活运用公式，注意平方关系，切化弦；化繁为简.当堂检测：1. 已知 的一个三角函数值，求其它三角函数值：cos ； tan413.tancos,53sin2的 值求、
17、已 知 .tan1t,2cos-in3的 值求、 若 4、已知 tan ，求 的其它三角函数的值；求 的值.3sinco5、化简 2sin1co6、 2244cosii 7、 1cssini 224 8、 已知 是第二象限角，且 tan(2+)= , 求 cos 和 sin 的值. 29、 已知 = ，求 和 的值. sin624costan10、已知 tan=2，求下列各式的值： ； .2cosin223si4incossinico3cos9sin432cos9sin4321tasi 2） ， 求已 知 的 齐 次 式 ）、 （ 关 于22cos4sini)ico10ssi3， 求、 已 知 ） 象 限 。在 第 （， 则且、 已 知 mm21tan0,cos13 cosin1cossin1444，、 已 知 .,cosin01268152 kkx 求和的 两 个 实 根 是、 已 知 方 程
