1、一、幂级数的概念,1.复变函数项级数,定义,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,称为这级数的部分和.,级数最前面n项的和,和函数,称为该级数在区域D上的和函数.,如果级数在D内处处收敛, 那么它的和一定,例1 求级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,且有,2. 幂级数,函数项级数的特殊情形,或,这种级数称为幂级数.,为简便，以下讨论幂级数 .,二、幂级数的敛散性,1.收敛定理,(阿贝尔Abel定理),阿贝尔介绍,证,各项有界，,即存在正数M,使对所有的n,而,从而级数,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,那么,另一部分的证明可用反证法.,2. 收敛圆与收敛
2、半径,（1）对所有的复数都收敛.,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,（2） 对所有的复数，除 z=0 外都发散.,例如，级数,通项不趋于零,故级数发散.,对于一个幂级数 , 其收敛的情况有三种:,.,.,收敛圆,收敛半径,.,由阿贝尔定理，,则存在正数R，,答案:,问题1:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,3. 收敛半径的求法,方法1：（比值法）,那么收敛半径,方法2：（根值法）,那么
3、收敛半径,说明:,如果,收敛半径公式可记为,或,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),所以收敛半径为,解,解,答案,三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的有理运算,2. 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,定理,设幂级数,的收敛半径为,那么,(2),在收敛圆,内的导数可将其幂,级数逐项求导得到,是收敛圆,内部的解析函数 .,(1),3. 复变幂级数在收敛圆内的性质,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,级数收敛,且其和为,
