1、 21 世纪全国高等院校实用规划教材 复变函数与积分变换 主 编 焦红伟 尹景本 副主编 吉洪威 张新成 张义宁 内 容 简 介 本书根据教育部高等院校复变函数与积分变换课程的基本要求，依据工科数学复变函数与积分变换教学大纲，结合本学科的发展趋势，在积累多年教学实践的基础上编写而成的。本书旨在培养学生的数学素质，提高其应用数学知识解决实际问题的能力，强调理论的应用性。本书体系严谨，逻辑性强，内容组织由浅入深，理论联系实际，讲授方式灵活。 本书共分 8 章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。每章均配习题，书末附有习题答案。本教
2、建议学时约 54(不含“ *”内容 )。 本书适合高等院校工科各专业，尤其是自动控制、通信、电子信息、测控、机械工程、材料成型等专业作为教材，也可供科技、工程技术人员阅读参考。 图书在版编目(CIP)数据 复变函数与积分变换 /焦红伟，尹景本主编 . 北京：北京大学出版社， 2007.96 (21 世纪全国高等院校实用规划教材 ) ISBN 978-7-301-12634-9 . 复 . 焦尹 . 复变函数高等学校教材积分变换高等学校教材 . 0174.5 0177.6 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2007)第 129230 号 书 名 ： 复变函数与积分变换 著作责任者 ：焦红伟 尹
3、景本 主编 策划编辑 ：孙哲伟 责任编辑 ：李娉婷 标准书号 ： ISBN 978-7-301-12634-9/O 0727 出 版 者 ：北京大学出版社 地 址 ：北京市海淀区成府路 205 号 100871 网 址 ： http:/ http:/ 电 话 ：邮购部 62752015 发行部 62750672 编辑部 62750667 出版部 62754962 电子邮箱 ： pup_ 印 刷 者 ： 发 行 者 ：北京大学出版社 经 销 者 ：新华书店 787 毫米 1092 毫米 16开本 10.75 印张 246 千字 2007 年 9 月第 1 版 2007 年 9 月第 1 次印刷
4、定 价 ： 20.00 元 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。 版权所有，侵权必究 举报电话： 010-62752024 电子邮箱： fdpup. pku. edu. cn 前 言 培养基础扎实、勇于创新的人才，是大学教育的一个重要目标。在工科的教育体系中，数学课程是基础课程，在培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着重要的作用。复变函数理论一直伴随着科学技术的发展，从中汲取养分，并为之提供方法和工具。建立在复变函数理论之上的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系。它既能简化计算，又具有明确的物理意义，在许多领域被广泛地应用，如
5、电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等方面以及其他许多数学、物理和工程技术领域。通过本课程的学习，不仅能学到复变函数与积分变换中的基础理论及工程技术中的常用数学方法，同时还为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定了必要的数学基础。 本书以解析函数的理论为基础，阐述了复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、共形映射，同时对傅里叶变换、拉普拉斯变换作了较为系统的介绍。本书深入浅出，突出基础概念和方法，在知识体系完整性的基础上，尽量做到数学推导简单易懂并在工程问题密切结合等方面形成了自己特色。 书中精心编排了大量
6、的例题和习题，以供读者进一步理解教材的内容。 在编写过程中我们力求突出以下几个特点： (1) 注重复变函数与积分变换内容发生、发展的自然过程，强调概念的产生过程所蕴含的思想方法，注重概念、定理叙述的精确性。从而在学生获得知识的同时培养学生推理、归纳、演绎和创新能力。 (2) 对基本概念的引入尽可能联系实际，突出其物理意义；基础理论的推导深入浅出，循序渐进，适合工科专业的特点；基础方法的阐述富于启发性，使学生能举一反三、融会贯通，以期达到培养学生创新能力、提高学生的基本素质的目的。 (3) 例题和习题丰富，有利于学生掌握所学的内容，提高分析问题、解决问题的能力。为使复变函数理论完善，我们把共形映
7、射作为一章编写进去，并用“ *”加注，为学生展望新知识留下窗口，为进一步拓宽数学知识指出了方向。对于“ *”章节，教师可根据专业需要、学生接受能力、课时的多少有选择地进行选讲，也可供学有余力的同学自学。 本书第 1 章、第 2 章由河南科技学院焦红伟编写；第 3 章由新乡机电工程学校吉洪威编写；第 4 章、第 5 章、第 6 章由河南科技学院尹景本编写；第 7 章由开封大学张新成编写；第 8 章由聊城大学张义宁编写。全书由焦红伟、尹景本负责统稿。本书的出版获得北京大学出版社的大力支持，河南科技学院教务处、数学系领导及全体教师给予了很多帮助和支持，陈付贵教授给予悉心指导，在此一并向他们表示衷心的
8、感谢。 由于编者的水平有限，书中的缺点和疏漏在所难免，恳请专家、同行和广大读者批评指正。 编 者 207年 6 月 目 录第 1 章 复数与复变函数 1 1.1 复数及其运算 1 1.1.1 复数定义及运算 1 1.1.2 复数的代数式 2 1.1.3 复数的模与共轭复数 2 1.2 复数的几何表示 3 1.2.1 复平面与复数的向量式 3 1.2.2 复数的三角式与指数形式 4 1.2.3 复数的 n 次方根 5 1.2.4 无穷远点与复球面 7 1.3 平面点集 8 1.3.1 邻域 8 1.3.2 曲线 9 1.3.3 区域 9 1.3.4 无穷远点的邻域 10 1.4 复变函数 10
9、1.4.1 复变函数的概念 10 1.4.2 复变函数的极限 13 1.4.3 复变函数的连续性 16 1.5 习题 17 第 2 章 解析函数 . 20 2.1 复变函数的导数 20 2.1.1 复变函数的导数 20 2.1.2 复变函数的微分 22 2.2 解析函数 23 2.2.1 解析函数概念 23 2.2.2 柯西 -黎曼条件 (C.-R.条件 ) 23 2.2.3 调和函数 26 2.3 初等函数 28 2.3.1 幂函数与根式函数 28 2.3.2 指数函数与对数函数 30 2.3.3 三角函数与反三角函数 33 2.3.4 一般幂函数与一般指数函数 36 2.3.5 双曲函数与
10、反双曲函数 37 2.4 习题 37 第 3 章 复变函数的积分 40 3.1 复变函数的积分概念 . 40 3.1.1 复积分的定义 40 3.1.2 复积分存在的一个条件 41 3.1.3 复积分的性质与计算 42 3.2 积分基本定理 . 46 3.2.1 单连通区域的柯西定理 柯西 -古萨基本定理 . 46 3.2.2 复连通区域的柯西定理 复合闭路定理 47 3.3 积分基本公式与高阶导数公式 . 50 3.3.1 积分基本公式 50 3.3.2 高阶导数公式 53 3.4 原函数与不定积分 . 56 3.5 习题 58 第 4 章 级数 . 61 4.1 复级数的基本概念 . 61
11、 4.1.1 复数项级数 61 4.1.2 复变函数项级数 62 4.2 幂级数 64 4.2.1 幂级数的概念 64 4.2.2 幂级数的收敛圆 64 4.2.3 和函数的解析性 66 4.3 泰勒级数 66 4.3.1 泰勒定理 66 4.3.2 解析函数表成幂级数 的例子 68 4.4 双边幂级数 . 71 4.4.1 双边幂级数的概念 71 4.4.2 双边幂级数的收敛域及 其和函数的解析性 72 4.5 罗朗级数 73 4.5.1 罗朗定理 73 4.5.2 函数展成罗朗级数的例子 73 复变函数与积分变换 IV IV 4.6 解析函数在孤立奇点的性质 . 75 4.6.1 复平面上
12、孤立奇点及其 分类 . 75 4.6.2 函数在孤立奇点的去心 邻域内的性质 75 4.6.3 复平面上孤立奇点分类 的例子 . 77 4.6.4 函数在无穷远点的去心 邻域的性质 78 4.7 习题 80 第 5 章 留数及其应用 83 5.1 留数的概念与计算 83 5.1.1 关于有限点的留数概念 84 5.1.2 关于留数的计算 84 5.1.3 关于无穷远点的留数 86 5.2 留数定理 88 5.3 留数在计算某些定积分上的应用 . 90 5.3.1 积分：()d()+PxxQx的计算 . 92 5.3.2 积分：i()ed()+kxPxxQx的计算 . 94 5.3.3 积分：2
13、0(cos ,sin )dRaxxx的计算 . 96 *5.4 对数留数与辐角原理 . 98 5.4.1 对数留数 98 5.4.2 儒歇定理及其应用 99 5.5 习题 .100 *第 6 章 共形映射 104 6.1 解析函数的映射性质 104 6.1.1 解析函数的保域性与 保角性 104 6.1.2 共形映射概念 .106 6.2 几个初等函数的映射性质 107 6.2.1 函数 wzh=+( h为常数 ) 的映射性质 .107 6.2.2 函数 wkz= (k 为常数， 且 0k )的映射性质 107 6.2.3 函数1wz= 的映射性质 107 6.2.4 幂函数与根式函数的 映射
14、性质 108 6.2.5 指数函数与对数函数的 映射性质 110 6.2.6 茹科夫斯基函数的映射 性质 111 6.2.7 分式线性变换的映射性质 112 6.3 共形映射的基本问题举例 . 115 6.3.1 共形映射的基本问题 115 6.3.2 例子 116 6.5 习题 120 第 7 章 傅里叶变换 . 124 7.1 傅里叶变换的概念和性质 . 124 7.1.1 傅里叶积分 124 7.1.2 傅里叶变换的概念 128 7.1.3 函数及其傅里叶变换 129 7.1.4 傅里叶变换的性质 132 7.2 傅里叶变换的应用 . 133 7.2.1 周期函数与离散频谱 133 7.
15、2.2 非周期函数与连续频谱 134 7.3 习题 135 第 8 章 拉普拉斯变换 137 8.1 拉普拉斯变换的概念与性质 . 137 8.1.1 拉普拉斯变换的概念 137 8.1.2 拉普拉斯变换的性质 138 8.2 拉普拉斯变换的逆变换 . 141 8.2.1 部分分式法 141 8.2.2 拉普拉斯变换的逆变换 的性质 143 8.3 拉普拉斯变换的应用 . 144 8.3.1 微分方程的拉普拉斯 变换解法 144 8.3.2 电路问题的拉普拉斯 变换解法 146 8.4 习题 147 习题答案 150 参考文献 164 第 1 章 复数与复变函数 教学提示 ： 复变函数是变量为
16、复数的函数.复变函数在众多数学分支中属于函数论.函数论研究的是空间形式上的特殊函数类的性质.复变函数研究的是定义在复数域上的解析函数的性质.下面先讨论复数与复变函数这一章,为研究解析函数作好准备.这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的. 教学目标 ： 本章主要介绍复数及其运算和几何表示、复变函数及其极限和连续 . 通过本章的学习，使学生熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域和复变函数的概念，掌握复变函数的极限和连续的概念. 1.1 复数及其运算 在初等代数中已经学过复数，为了便于以后讨论和理解，本节在过去的知识基础上，给出复数的两点式定义，在简要回顾过去相关结论的同时，加以必要的补充
17、. 1.1.1 复数定义及运算 定义 1.1 设 ,x y 为实数，称形如 ,x y()的有序数对为 复数 ，其中的“有序”是指：若x y ，则 (, ) (,)x yyx . 为了方便起见，用 z 表示复数 (, )x y ，记作 (, )z xy= ，特别地，将复数 (0,0) 记作 0(0,0)= . 复数 (, )x y 中的第一个实数 x 称为复数 z 的 实部 ，第二个实数 y 称为复数 z 的 虚部 ，分别记作 x Re( ), Im( )z yz= = 对任意两个复数12(,), (, )zabzcd=规定： (1)当且仅当 ab= 且 cd= 时，称1z 与2z 相等 ，记作
18、 12z z= . (2)加法 12(,) (, ) ( , )z zabcdacbd+= + =+ +. 减法 12(,) (, ) ( , )z z ab cd acbd= = . 乘法 12(,)(, ) ( , )z zabcdacbdbcad= = + . 除法 12 22222(,)(,)0(, )a b ac bd bc adzz zcd c d c d+= = +， . 由上述规定，可以验证：加法、乘法满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配律由此可知，在实数域里由这些规律推得的恒等式在复数里仍然有效可以看到按上述规定加法与乘法运算所带来的好处另外，还可以验证：复数集关于四则运算
19、是封闭的，其代数结构是域 . 复数集用“ C”表示， (,),zz ab ab= CR， R 为实数域 . 复变函数与积分变换 2 2 1.1.2 复数的代数式 在讨论复数的定义时，很容易提出问题：复数 (, )x y 与 ix y+ (,x y 为实数，2i1= )有无联系？ 事实上，由规定的运算法则，对形如 (,0)a 的复数作加法与乘法运算时，可以像计算实数一样进行，因此，可以将 (,0)a 与 a 等同起来据此，可规定 (, ) (,0) (, ) ( , )(, ) (,0)(, ) ( , )acd a cd acdacd a cd acad+=+=+=于是，按此规定可推得 (,
20、) (,0) (0, ) (0,1)zxy x yxy=+=+若记 i(0,1)= ,则得 (, ) ix yxy= + ， 2i1= 且易知 iiyy= 至此，可知，复数 ( ),x y 就是以前学过的数 ix y+ 或 ix y+ (,x y 为实数，2i1= ) 称 ix y+ 为 复数 z 的代数式 ，其中 i 称为 虚数单位 ，2i1= 若 0, 0xy 时，称 iy 为纯虚数. 关于复数1izab=+与2izcd=+ 的四则运算，依定义 1.1 有： 121212 222 22()()i()()ii, 0z z ac bdz z ac bd bc adac bd bc adzz z
21、cd cd=+=+= + +为了方便起见，今后讨论问题时一般不再使用复数的数对表示，而常用复数的代数式或其他形式表示复数 1.1.3 复数的模与共轭复数 对给定的复数 z =ix y+ ， 称复数 ix y 为 z 的 共轭复数 ， 记作 iz xy= 称22x y+ (算术根 )为复数 z 的 模 ，记作22z xy=+ 关于复数的模与共轭复数，有下列关系 (1)1112 1 2 222,(0)zzzz z z zzz= = . (2) ,x xz yyz . (3)22z zx y= + . (4)11() ()22ix zz y zz=+ = , . 第 1 章 复数与复变函数 3 3(
22、5) ()zz z zzzz=2, ， . (6)1112121212 222,() , 0.zzzz zzzz zz zzz= = = ， 这些性质作为练习，由读者自己去证明. 【例 1.1】 设1232i, 1izz=+ =，求12zz 解 为求12zz，在分子分母同乘2z ，再利用2i1= ，化简可得12zz=15i22+ 【例 1.2】 求复数(3 i)(2 i)(3 i)(2 i)A+=+的模 解法 1：用模的定义求 A ，得 1A = 解法 2：利用2A AA=先求2A ，再求出 1A = 解法 3：观察 A发现分子与分母互为共轭复数，由性质 z z= ，得 1A = 1.2 复数
23、的几何表示 1.2.1 复平面与复数的向量式 用建立了笛卡儿直角坐标系的平面来表示复数的平面称为 复平面 复平面赋予了复数以直观的几何意义，复数的数对表示式也可以看作是直角坐标系中的坐标 (见图 1.1).它建立了“数”与“点”之间的一一对应关系由此，今后不去区分“数”与“点”例如，把复数 12i+ 称为点 12i+ ，把点 4i+ 称为复数 4i+ 复数的几何解释使得许多关于复数的“量”有着清晰的“形”的表露例如，复数iz xy=+ 的模 z 表示复平面上点 (, )M xy到原点的距离 r (见图 1.2)等这种“形”的表露对研究复变函数有重要意义 在复平面上，由于点 (, )M xy与向
24、量 OMnullnullnullnullnull是一一对应的，所以，复数iz xy=+可看成一个起点在原点，终点在点(, )M xy的向量 (向径 )(见图 1.2)复数的向量形式是复数在复平面上的又一几何解释 图 1.1 图 1.2 复变函数与积分变换 4 4 1.2.2 复数的三角式与指数形式 1复数 0z 的辐角 复数 z 的辐角记作 Arg z ，它是向量 Oznullnullnull与 x 轴正向之间的夹角，其方向规定为逆时针方向为正，顺时针方向为负 显然，对复数 0z = 无辐角可言，而对每一个复数 0z ，其辐角有无穷多个值，若0是复数 z 的一个辐角，则 Argz =02 k
25、+ ( k Z) 就是复数 z 的全部辐角 若用 arg z 表示满足条件 arg z，称满足0zz ， 12Dz z= ，称满足 z 的点 z 的全体所成的集合为无穷远点的 邻域，记作()U ， ()U ， 的几何意义：表示曲线 |z = 的外部 有时为了方便起见，也简称 ()U ， 为 无穷远点的邻域 在扩充复平面上，若一个区域内的每一条简单闭曲线的内部或外部 (包含无穷远点 )都属于这个区域，则称该区域为 单连通区域 称不是单连通区域的区域为 复连通区域 【例 1.10】 在扩充复平面上， 1Ezz= 是单连通区域； 1Dz z= ，使对任意的 z G 都有 ()f zM ，总存在自然数
26、 N，使当 nN 时，有 0nzz ， 总存在自然数 N ，使当 ,nm N 时，有nmzz ，总存在 0 ，使当 G 中的点 00(,) 0zNz z zz = ，总存在 0 ，使得当 zG 且 z 时，有 ()fz A ，总存在 0 ，使得当12zz； (3)iarg4i4z； (8)113222z； (9) 11zaaz ( 1a )； (10) (6 i) (6 i) 4zz z z+ + . 14试求： (1)2122lim1zzz z zz+； (2)0Relimzz zz； (3)0Relim1zzzz+. 15求下列函数的定义域，并判断这些函数在定义域内是否为连续函数 (1)
27、wz= ； (2)221(2)1zwz+=+ 16设 (1)Re()zfzz= ； (2) () ( 0)zfz zz=； (3)Re()zfzz= 试证：当 0z 时， ()f z 的极限不存在 17试证函数 ()f zz= 在 Z 平面上处处连续 18 试证 arg ( arg )zz 在负实轴上 (包括原点 )不连续， 除此而外在 Z 平面上处处连续 19设函数 ()f z 在点0z 处连续，且0() 0fz ，证明存在0z 的邻域使 () 0fz 20如果函数 ()f z 在点0z 处连续，证明 () ()f zfz，在0z 处连续 第 2 章 解 析 函 数 教学提示： 解析函数是复
28、变函数研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数.这一章，首先引入判断函数可微和解析的条件 柯西 -黎曼条件；其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并研究其性质. 教学目标： 本章主要介绍复变函数的导数与解析函数的概念和性质 .通过本章的学习使学生了解复变函数的导数及复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充要条件，掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数构造解析函数的方法；记住自变量为复数的初等函数的定义以及它们的一些主要性质 . 2.1 复变函数的导数 2.1.1 复变函数的导数 观察例 1.14 可以发现：对给定的函数2() ,f zz
29、z=属于复平面而言，极限 000()()limzf zzfzz+对于该函数的定义域中的每一点都存在而对函数() Re,f zzz=属于 复平面而言 ，情况却不是这样(见例 1.13)因此，自然会想，可否将使这种特殊类型的极限 000()()limzf zzfzz+存在的函数()wfz=从复变函数中挑选出来研究呢？如果这么做，那么，不久将会看到，从复变函数中挑选出来的这类函数就是本课程研究的主要对象解析函数 为方便起见，把函数()wfz=在其定义域中一点0z处极限 000()()limzf zzfzz+存在的情形先作个介绍，然后，再讨论这种类型的极限对函数定义域中每一点都存在的 情况 定义 2.
30、1 设函数 ()wfz= 定义在区域 D 内，00,( )zDz zD + ，若 000()()limzf zzfzz+存在，则称此极限为函数()wfz=在点0z的 导数 ，记作0()f z ，即 第 2 章 解析函数 21 210()f z =000()()limzf zzfzz+(2.1) 此时，称函数 ()wfz= 在点0z 可导 ，否则，称函数 ()wfz= 在点0z 不可导 由定义可知，导数0()f z是一种极限，因此， 000()()limzf zzfzz+的存在，要求 0z 时的路径是任意的这点要特别注意由此就不难理解，即使 z 在从点0z发出的各条射线上趋于 0 时，00()(
31、)f zzfzz+都趋于同一个数，也不足以说明函数 ()wfz= 在点0z可导，因为射线只是一种特殊的路径 不仅如此，导数0()f z还是一种特殊类型 (差商 )的极限，这与高等数学中0()f x的定义是一样的由于0()f z是一种极限，所以，将极限的有关理论应用于0()f z上便可获得关于0()f z的一些相应结果，如导函数的概念、导数的四则运算法则、反函数与复合函数的求导法则及求导公式等 同高等数学一样，也可用0()z zfz= 来记式 (2.1)的左端，用0limzwz或0limzfz或000() ( )limzzf zfzzz来记式 (2.1)的右端 关于“可导”与“连续”的关系也与高
32、等数学一样 若函数()wfz= 在点0z 可导，则()wfz= 在点0z 连续反之，则未必 【例 2.1】 试证函数 ()nf zz= (n 为自然数 )在复平面上处处可导，且1()nf znz = 证 用定义来证明 对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有 0012 101()() ()lim lim(1)lim ( )2nnzznn nznfz z fz z z zzznnnz z z znz + + = =+ + =“ 于是，()nf zz=在点 z 的导数存在且等于1nnz由点 z 在复平面上的任意性，证得()nf zz=在复平面上处处可导 【例 2.2】 设 () Ref zzz=
33、 定义在复平面上，试证 ()f z 在复平面上仅在原点可导 证 用定义来证明 若 0z = ，则因 0000(0 ) (0)(0) lim limRe( )lim lim Re( ) 0zzzzffzffzzzz + = =复变函数与积分变换 22 22 所以，()f z在点0z =可导 若 0z ，则有 ()()()Re()Ref zzfz zz zzzz+ + + =Re( ) ReRe( )zz zzzzz+= +令 iz xy=+ ，于是有 ()()ifz z fz xz xyzxy+ = +由于上式当 z 在过点 z 平行于虚轴的直线上趋于 (即 0, 0xy = )时，其极限为 x
34、，而当 z 在过点 z 平行于实轴的直线上趋于 (即 0, 0x y )时， 其极限为 z x+ ， 所以，当 0z 时， 0()()limzf zzfzz+不存在，故 () Ref zzz= 在点 0z 处不可导 综上所述，函数 () Ref zzz= 于复平面上仅在点 0z = 处可导 类似地，可证得函数 ()f zz= 在复平面上处处不可导 2.1.2 复变函数的微分 同导数一样，复变函数的微分概念在形式上与高等数学中微分概念也完全相同 事实上，若函数 ()wfz= 在点 z 可导，则有 0lim ( )zwf zz=于是有 () , 0( 0)wfz zz=+ 由此得 () , 0(
35、0)wfzz z z = + 与高等数学一样，称 ()f zz 为函数 w=f(z)在点 z 的 微分 ，记作 d()wfzz= 或d()f fz z= 若 ()wfz z=，则 d1z z=，于是，函数 w=f(z)在点 z 的微分又可写成 d()dwfzz= 或d()df fzz= 由此得 第 2 章 解析函数 23 23dd()ddwff zzz= 至此，获得关于导函数的另一解释：导函数等于函数的微分与自变量的微分之比此解释与高等数学中关于“ ()f x ”的解释一样 2.2 解 析 函 数 2.2.1 解析函数概念 观察例 2.1 与例 2.2 会发现，在复变函数中，有一类函数具有如下
36、特征：函数 f (z)不仅在点 a可导，而且在点 a 的某个邻域 (, )UaR内处处可导由此可以将具有此特征的函数从复变函数中的可导函数类中分离出来研究 定义 2.2 设函数 ()wfz= 定义在区域 D 内，0z 为 D 内某一点，若存在一个邻域0(,)Uz ，使得函数 ()f z 在该邻域内处处可导，则称函数 ()f z 在点0z 解析 此时称点0z 为函数的 解析点 若函数 ()f z 在点0z 不解析 ，则称0z 为函数 ()f z 的 奇点 若函数 ()f z 在区域 D 内每一点都解析，则称函数 ()f z 在区域 D 内解析此时，也称函数 ()f z 在区域 D 内是解析的，
37、()f z 为区域 D 内的 解析函数 ，区域 D 又称为函数 ()f z 的解析区域 或 解析域 解析与可导的关系：函数在一点解析与函数在该点可导不是一回事，函数在一个区域内解析与该函数在这个区域内处处可导则等价 由例 2.1 知， 函数()nf zz=在复平面解析； 由例 2.2 知， 函数() Ref zzz=在点 0z = 不解析，即点0z =为函数() Ref zzz=的奇点 由于“解析”是用“可导”定义的，而“可导”是一种特殊类型的极限，所以，与高等数学一样，可得到解析函数的四则运算法则、复合函数求导法则及反函数求导法则 2.2.2 柯西 -黎曼条件 (C.-R.条件 ) 已知函数
38、2() , () 1f zzgzz= =+在复平面是解析的，若令 iz xy= + ， () if zuv=+，11() ig zuv=+经过计算 ,uuvvx yxy，发现这两个函数均有 ,uvu vx yy x = (2.2) 111 1,uvu vx yy x = 由此自然会问：式 (2.2)的成立对于解析函数来说是否是一种必然规律呢？ 定理 2.1 对上述问题作了肯定的回答 为方便起见，对于二元实值函数 (, )g xy，引入下列记号： 22 2, , ,x y xx yy xyg ggg gggg gx yx y xy = = = 复变函数与积分变换 24 24 定理 2.1 若函数
39、 ( )f z =(,) (,)iuxy vxy+ 定义在区域 D 内，则函数 ()f z 在区域 D 内为解析函数的充分必要条件是： (1) ( , )uxy与 (, )vxy在 D 内可微； (2) ,x yy xuvu v=在 D 内成立 证 必要性 设点 z 为 D 内任意一点，令 i, i, ( ) iz xy f uvfzab=+ =+ = + 因 ()f z 在 D 内解析，所以，对于点 z 定存在 ()f z ，故有 i()uvfzz z+= + (i)( i)ab x y z=+ + ( ) i( ) , 0( 0)ax by bx ay z z =+ 从而有 Re( )ua
40、xby z =+ ， Im( )vbxay z =+ 而 Re( )z 与 Im( )z 均是22() ()z xy= + 的高阶无穷小 (令12i =+ ， ()()() ()() ()()12 1 222 22 22Re zxy x yzx yxyxy =+ + + ) ，故由 (, )uxy 与(, )vxy在点 (, )x y 可微的定义知道， (, )uxy与 (, )vxy在点 (, )x y 可微， 再由 iz xy=+ 在 D 内的任意性，便得到条件 另外，由于函数 ()f z 在 D 内解析，所以，对 D 内任意一点 z ，有 00i() limixyuvfzx y + = +一定存在，于是，当 0, 0yx= 时，得 () ix xf zu v = + 当 0, 0xy= 时，得 () iyyf zv u = 比较两式得 ,x yy xuvu v=，即获得条件 (2) 由点 z 在 D 内的任意性得到必要性的证明 充分性 设点 z 为 D 内任意一点，由条件 (1)得 1xyuuxuy= + + ，2xyvvxvy =+ 其中， ( )22220() () 0, 1,2() ()jxy jxy+=+记 ,xxuavb=，由条件 (2)得
