1、第3章 复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念和性质 3.2 柯西积分定理及其应用 3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系,复习、引入,3.1 复变函数积分的概念和性质,一、 定义-化整为零,取零为整,设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。,把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上, 按从 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记,与实函数中第二型线
2、积分类比,C的参数方程,线积分,复积分,一个复积分的实质是 两个实二型线积分,二、积分存在的条件及其计算方法,1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。,3)化为参变量的定积分来计算。,2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,例1 计算 其中 为以 为圆心， 为半径的正向圆周, 为整数.,三、积分的性质,例2 计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。,解 :,例3 计算 的值，其中 为沿 从（0，0）到（1，1）的线段：,解 :,例4 计算 其中 为从原点到点 的直线段。,解 直线的方程可写成,练习:对例4
3、中的积分沿下列路径计算(1) 当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;(2) 当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?,观察例3、例4两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？,3.2 柯西积分定理及其应用,回顾,一、 柯西积分定理,二、 解析函数的原函数与等价定理,定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那么积分 与连结从起点到终点的路径无关. 定理二 如果函数 在单连域B内处处解析，那末函数 必为B内的解析函数,且 ，其中F(z)称为f(z)的原函数.,利用原函数的这个关系，推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解
4、析函数积分的计算公式。,结论： 的任何两个原函数相差一个常数.,此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用,定理三 如果函数f(z)在单连域 B内处处解析,G(z)为 的一个原函数,那么,解:,例5 计算,例 6 计算,解：,例7 计算,解：,三、复合闭路定理柯西定理在多连域的推广,所围成的多连通区域，,四、闭路变形原理复合闭路定理的特例,证明：取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。,-闭路变形原理,例8试求 的值，C为包含0和1在内的任何一条正向简单闭曲线。,解：,闭路变形原理, 3.3 柯西积分公式,一、柯西积分公式,(3.3.1),上述公式称为柯西
5、积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。,例9 计算 (沿圆周正向),解 由公式(3.3.1)得,例10,解：,二、解析函数的高阶导数,其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全不同, 关于解析函数的高阶导数我们有:,定理: 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:,二、解析函数的高阶导数,其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全
6、不同, 关于解析函数的高阶导数我们有:,定理: 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:,例11 求下列积分的值, 其中C为正向圆周:| z | = r 1.,高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于利用求导计算积分.,3.4 解析函数与调和函数的关系,定义1 若,定理1：,证明：,同样可得,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数,不一定是解析函数 .,例如：,定义2,定理2：,在区域D内解析,解析函数的虚部必为实部的共轭调和数,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。,解：（法一）,由 C-R 方程,于是,（法二）,（法
7、三）,例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。,证 由于,所以,故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。,例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，则 不是调和函数。,证 因为 为调和函数，所以,又,同理,令,故,即 的一般形式的调和函数为,其中 为任意常数。,因为,所以,令 ，得,即知,于是,例5,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,例6 设 满足下列关系，求解析函数,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,
