1、2018 届广东省江门市普通高中学校高考高三 3 月第四次模拟数学试题一、选择题（本大题共 10道小题，每道小题 5分，共 0分）1.已知复数 z的实部为 ，虚部为 2，则iz=（ ）（A） 2i （B） i （C） i （D） 2i2设全集 ,|()0,|ln(1),URAxBxyx则 ()UAB是（ ）（A） (,1) （B） 21（C） ,（D） 1,23.已知三条直线 :4lxy， :lxy， 3:2lxmy，若 l关于 的对称直线与 3l垂直，则实数m的值是（ ）（A） 8 （B） 12 （C） 8 （D） 124下列有关命题的说法正确的是（ ）（A）命题“若 2x，则 ”的否命题为
2、：“若 2x，则 ”（B） “ 1”是“ 560”的必要不充分条件（C）命题“存在 ,Rx使得 21x”的否定是：“ 对任意 ,Rx 均有 210x”（D）命题“若 y，则 siny”的逆否命题为真命题5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为 2 的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（ ）6函数 ()sin()(0,|)2fxAxbA的一 部分图象如图所示，则（ ）（A） 3216（B） )sin(3fx（C） ()si()fx（D） ()67.已知 (,1)ABk， (2,4)C,若 k为满足 |4AB的一随 机整数，则是直角三角形的概率为（ ）开始输入 0()fx1()iif
3、x结束输出 ()ifxi203是否（A） 17 （B） 37 （C） 13 （D） 23 8.在如右程序框图中，若 xef)(0，则输出的是（ ）（A） 2014xe （B） 21（C） 3 （D） 3xe9.双曲线21xyab的一个焦点为 1F，顶点为 12,A， P是双曲线上任意一点，则分别以线段12,PFA为直径的两圆一定（ ）（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）以上情况都有可能10.设 O为坐标原点，第一象限内的点 (,)Mxy的坐标满足约束条件 260xy，(,)0,)Nab，若 ONA的最大值为 40，则 51ab的最小值为（ ）（A） 256 （B） 94 （C）1 （D）
4、4二、填空题（本大题共 5道小题，每道小题 5分，共 2分）11.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积 分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为 160, 则中间 一组（即第五组）的频数为 .12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法 向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 (2,3)A，且法向量为 (1,2)n的直线（点法式）方程为 1(2)(3)0xy，化简得 80xy. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 ,3A且法向量为 1,2n的平面(点法式)方程为 (请写出化简
5、后的结果).13.设函数|2,(,)()lnxf, 若 ()4fx，则实数 x的取值范围是 .14.已知数列 na满足 116,na则 na的最小值为_.15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若实数 ,xy满足 236y，则 2xy的最大值为 .B.(几何证明选做题)如图,已知 RtABC的两条直角 边 ,ACB的长分别为 3,4cm,以 为直径的圆与 交于点 D,则 BA . C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 的参数方程为 cos,()1inxy为 参 数，以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 c
6、os，则直线 l与圆 C的交点的直角坐标为 .三、解答题（本大题共 6道小题，满分 75分）16.（本小题 12分）已知 na的前 项和为 nS，且 4na.()求证：数列 是等比数列；()是否存在正整数 k，使 12kS成立.17.（本小题 12分）已知 2()3sin()si(0)xfxx的最小正周期为 3.（）当 3,4x时，求函数 f的最小值；（）在 ABC，若 ()1f,且 2sicos()BAC,求 sin的值.18.（本小题 12分）如图，已知直角梯形 DE所在 的平面垂直于平面 ， 90BACD， 60E， A（）在直线 BC上是否存在一点 P，使得 /平面 E？请证明你的结论
7、；（）求平面 D与平面 所成的锐二面角的余 弦值.19.（本小题 12分）甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地 分到,A三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学（）求甲、乙两人都被分到 A社区的概率；（）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（）设随机变量 为四名同学中到 社区的人数，求 的分布列和 E的值20.（本小题 13分）已知平面内的一个动点 P到直线 43:lx的距离与到定点 (3,0)F的距离之比为2，点 (,)2A，设动点 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C的方程；DOCBAE DCBA（）过原点 O的直线 l与曲线 C交于 ,MN两点求 A面积的最大值21.（本小题 14分）已知
8、 2()ln()3fxgxa.（）求函数 ()f在 ,10tt上的最小值；（）对一切 0,2()xfxg恒成立，求实数 a的取值范围；（）证明：对一切 ,，都有 12lnxe成立.答案一、选择题（ 105分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C D D B D B C B A二、填空题（ 分）11. 36 . 12. 20xyz .13. 2(,)(,)e. 14. 21 .15. A. 1 . B. 169 . C. (1,) .三、解答题（ 75分）16.（本小题满分 12 分）【解析】()由题意， 4naS， 14naS，由两式相减，得 1()()0nnaSa， 即
9、 120n， 2， 3 分又 4， 1，数列 na是以首项 ，公比为 12q的等比数列.6 分()由()得2()41nnnS. 8 分又由 12k，得 2k，整理得 3k，即 13k， 10 分 *N， 1*，这与 (,)2相矛盾，故不存在这样的 k，使不等式成立. 12 分17. （本小题满分12分）【解析】 cos()()3sin()xfxx12in()16，2分由 2得 23， ()s3fxx. 4分（）由 4x得 6，当 2sin()36时， min()213fx.6分（）由 i1fC及 fC，得 si()16，而 25636, 所以 362，解得 2.8分在 RtAB中， , sin
10、cos()BAC， 2cosins0， 10 分 2ii1，解得 15in2A. 0sinA， 5si. 12分18. （本小题满分 12 分）【解析】 （）线段 BC的中点就是满足条件的点 P2 分ABCDEPMF证明如下：取 AB的中点 F连结 DPEF、 、 ，则CP/， A21， 取 的中点 M，连结 C、 ， E且 60， 是正三角形， 四边形 D为矩形， AC214 分又 /， FPE且 ，四边形 EFPD是平 行四边形 D/，而 平面 B， 平面 A， /平面 EAB6 分（） （法 1）过 B作 AC的平行线 l，过 作 l的垂线交 l于 G，连结 D， C/， lED/，l是
11、平面 E与平面 所成二面角的棱8 分平面 平面 ， D， C平面 ，又 l平面 ， ,l 平面 ， l， DGC是所求二面角的平面角10 分设 aAEB2，则 a3， G2， 7， cosDC 12 分（法 2） 90BA，平面 EA平面 BC，以点 为原点，直线 为 x轴，直线 为 y轴，建立空间直角坐标系 xyzA，则 轴在平面EACD内（如图） 设 aC2，由已知，得 )0,2(a， )3,(aE，)3,20(a )3,(aB， )0,(ED，8 分设平面 ED的法向量为 ,nxyz，则 n且， 0,.B .,032ayazx解之得 .0,3zxACPMFGABCDEPMFyxz取 2z
12、，得平面 EBD的一个法向量为 (3,02)n. 10 分又平面 AC的一个法向量为 1 10 分2227cos,(3)00n12 分19.（本小题满分12分）【解析】 （）记甲、乙两人同时到 A社区为事件 AE，那么2341()8ApC，即甲、乙两人同时到 社区的概率是 18 2分（）记甲、乙两人在同一社区为事件 ，那么3241()6pA，4分所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 5E 6分（）随机变量 可能取的值为1，2事件“ (1,2)i”是指有 i个同学到 A社区，则 423()CAp8分所以 21()p，10分的分布列是： 2143E12分20. （本小题满分 13 分）【解析】 （
13、）设动点 P到直线 l的距离为 d，则 |32PF，根据圆锥曲线的统一定义，点 P的轨迹为椭圆. 2 分 3,cea， 2， 21bac.故椭圆 C的方程为214xy. 4 分（）若直线 l存在斜率，设其方程为 ,ykxl与椭圆 C的交点 12(,)(,)MxyN.将 ykx代入椭圆 的方程214x并整理得 2(4)0k.12p2313 1212240,xxk 6 分 2211|()()4MNxx222641kk. 8 分又点 A到直线 l的距离 21|dk，2221|()4| 1241MAN kS ，10 分 当 0k时， MANS； 当 0k时， MANS；当 时， 2 411124()k
14、若直线 l的斜率不存在，则 N即为椭圆的短轴， |2N， MANS。综上， MA的面积的最大值为 2 13 分21. （本小题满分 14 分）【解析】 （） ()ln1fx. 当 1(0,xfe单调递减，当 1(,)(0,()xfxfe单调递增 2 分 t，即 0t时， min1fe；4 分 1e，即 te时， ()fx在 ,1t上单调递增， min()()lfxftt所以 min,0.()l,tfxte. 6 分（） 2l3ax，则 32lnx，设 ()n(0)hx，则 2()1)h，8 分 0,1),hx单调递减， ,()0,()xhx单调递增，所以 min(4x，对一切 (,)(fg恒成立，所以 min()4ahx. 10 分（）问题等价于证明 2l(0,)xe，由（）可知 ()(,)fx的最小值是 1e，当且仅当 1xe时取到.12 分设 2()0,)xe，则 (xm，易知ma1，当且仅当 1时取到， 从而对一切 (,)x，都有 2lnxe成立. 14 分
