1、 第 1 页 共 9 页命题人： 陈莉 审批人： 试卷分类（A 卷或 B 卷） A 试 卷学期： 2007 至 2008 学年度 第 2 学期课程： 复变函数论 专业： 班级 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分得分一、 选择题（4 分/题，共 20 分）1复数 的三角表示式是（ ）)2(taniz（A） （B）)2sin(cose )23sin()23cos(e（C） （D）)3i()3( )i()(2 是函数 的( )0z3sinz(A)可去奇点 （B）三级极点（C）二级极点 （D）本性奇点3设 ，则下列命题中，不正确的是 ( )zfsi)(（A） 在复平面上处处解析 （
2、B） 以 为周期(zf2（C） （D） 是无界的2)(izizef )4设 在圆环域 内的洛朗展开式为 ， 为)(zf 201:RzHnnzc)(0c得分第 2 页 共 9 页内绕 的任一条正向简单闭曲线，那么 ( )H0z cdzf20)(A) （B） （C） （D）12ic12i2i)(20zfi5方程 在单位圆内有( )个根840zz(A)4 （B）2 （C）5 （D）8二、 填空题（4 分/题，共 20 分）1幂级数 的收敛半径为 02nz2设 为从原点至 的直线段，则 ci12()cxiydz函数 在 z=1 的泰勒展开式为 zf4设 ，则 21)(zef0),(Rezfs5设 为函
3、数 的 级极点，那么 a)(fm,)(Reazfs三、 讨论函数 的可微性和解析性. （10 分）2fzxiy得分得分第 3 页 共 9 页四 沿指定曲线的正向计算下列积分值 （16 分，每题 8 分.）（1） （2）23izced,C:iA czd,C:z251A五、 已知 ，求满足 的解析函数ux,yy22fii1（12 分） fzuiv.得分得分第 4 页 共 9 页六、 将函数 在圆环 内展开成洛朗级数.(10zf21z分)七、 利用留数求下列积分（12 分） cosxd2219得分得分第 5 页 共 9 页试卷答案学期 2007 至 2008 学年度 第 2 学期 课程： 复变函数
4、一、 选择( 24 分)1、D 2、C 3、C 4、B 5、A二、填空1、 2、 3、1i1 122nnzz4、 5、0m三、讨论函数 的可微性和解析性. （10 分）2fzxiy解：因 u,v,y（4 分）2x0yx1所以要 必须 .故仅在直线 上 方程成立,且偏导数连续.从1xyuv22xCR而仅在直线 上 可微,但在 平面上 处处不解析. （10 分）2fzzfz四、沿指定曲线的正向计算下列积分值 （16 分）（1） 232izced,C:iA解：设 ，则 在 内只有一个奇点 （2 分）izf2()1fz():i32zi设 是包含 的正向圆周 （4 分）C:zir1 i得分第 6 页 共
5、 9 页（8 分）（2） （8 分）czd,C:z251A解： 函数 在 内有一级极点 ，二级极点 ，fz2() z0z1由留数定理知 （2 分）2251ziResf,esf,()()而 Resf,()0zzlimli2205()(1)（6 分）f,()1z zdli lim2220 1()故 （8 分）2251ziResfz,esfz,()()i0=五 、已知 ，求满足 的解析函数 ux,yy2ii1fzuiv.（12 分） 解：（2 分）2xyuxy由 得vuyx第 7 页 共 9 页2vxydx21（6 分） yxx由 得2vuxy2xy所以 （8 分）1c因此 2vxyx从而 = fz
6、uiiyc2221= （10 分）21izc又 ,故 （12 分）fiiiif2六、将函数 在指定圆环 内展开成洛朗级数（10 分）zf211z解 在 内（2 分）zfz2211（4 分）1z01z（6 分）nz0第 8 页 共 9 页nzfz22011（10 分）n230七、利用留数求下列积分（12 分）cosxd2219解：设 fzz221()这里 m = , n = 0 , m n = , 44且 f ( z)在实轴上无孤立奇点，且在上半平面有一级极点 ， i,3（4 分）ixed2219 iziziResf,Resf,()()而 （6 分）izResf,()izzilm291=izzili12=（8 分）izesf,()3izziel239izieli3234所以 = ixed221 eii16= （10 分）234故 （12 分）cosxd2219 e231第 9 页 共 9 页
