1、复变函数测验题45选择题(A) i2.设复数(A)3.复数z(A) sec第一章复数与复变函数10075z z50 z的值等于(B)(C)(D)z 满足 arc(z 2)1 、.3i(B)arc(z 2)那么z(C).3.i2(D),32tan i ( 2)的三角表示式是(cos(-)2isin(一)2(B)seccos(3-2isin(3-2)933(C)sec cos( 一23、,i sin()(D)2sec cos( 一 2i sin( 一 2)4.若Z为非零复数，则z2与2zZ的关系是(A) z2 z2(C) z2 z25 .设x, y为实数,的轨迹是()(A)圆2zz2zzz1 x(
2、B)6 . 一个向量顺时针旋转/ 、2-2(B)z z2zz(D)不能比较大小m yi, z2x 11 yi 且有 z1椭圆(C)双曲线Z212,则动点(D)抛物线,向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为 31 而,则原向量对应的复数是(x, y)(A) 2(B) 1,3i(O . 3 i227.使得Z Z成立的复数Z是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数8 .设Z为复数，则方程Z Z2 i的解是(333(A)3 i(B) 3 i(C) 3 i4449 .满足不等式 巳 2的所有点Z构成的集合是()(D)- i4(A)有界区域(B)无界区域 (C)有界闭区域(D)无
3、界闭区域10 .方程z 2 3iJ2所代表的曲线是()(A)中心为2 3i ,半径为 J2的圆周(B)中心为3i ,半径为2的圆周(C)中心为 2 3i ,半径为J2的圆周(D)中心为2 3i ,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为()z 1I (A) - 2(B) z 3 z 3 4(C) -a 1 (a 1)1 az(D) zZ azaz aa c 0 (c 0)12 .设 f (z) 1 Z,乙 2 3i ,z25 i,则 f (乙 Z2)(A)4 4i(B) 4 4i(C) 4 4i(D) 4 4i13m Im(z) *(XX。 z Z0(A)等于i(B)等于i(C
4、)等于。(D)不存在14.函数f(z) u(x,y) iv(x,y)在点zx0 iy0处连续的充要条件是()(A) u(x, y)在(x0,y0)处连续(B) v(x, y)在(x0,y0)处连续(C) u(x, y)和 v(x, y)在(x, y)处连续(D) u(x, y) v(x, y)在(x0,y0)处连续 八I , ，z z 115 .设z C且z 1 ,则函数f(z) 的最小值为()z(A)3(B)2(C)1(D) 1二、填空题1 设 z (1 i)(2 i)(3 i)则 |z (3 i)(2 i)2 .设 z (2 3i)( 2 i),则 arg z 、LL3 L ,3 .设 z
5、 5,arg( z i) ,贝U z 44,复数(cos5_isin5 )2的指数表示式为 (cos3 i sin 3 )65 .以方程z 7 V15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6 .不等式|z 2| |z 25所表示的区域是曲线 的内部、, 2z 1 i 7 .方程1所表示曲线的直角坐标方程为 2 (1 i)z8 .方程|z 1 2i| z 2 i所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9 .对于映射,圆周x2 (y 1)21的像曲线为 z2410. lim (1 z 2z ) z 1 i三、若复数z满足zz (1 2i)z (1 2i)z 3 0,试求z 2的取值范围.四、设
6、a 0,在复数集C中解方程z22z a.五、设复数zi ,试证 z是实数的充要条件为z 1或IM (z)1 z0.六、对于映射11 一(z ),求出圆周z 4的像.2z七、试证1 .亘 0 (z2z20)的充要条件为z1z2z1z2 ;zz20(zj0, k j,k, j 1,2, ,nD的充要条件为zz2zn 乙z2zn若lim fx x0一.1,0,使得当0 z z0时有f(z) - A .2x| lyl 九、设z x iy ,试证 |z x y.2十、设z x iy ,试讨论下列函数的连续性:1. f(z)2xy-22 , z 0x y0, z 02. f(z)3x y22x y0,第二
7、章 解析函数、选择题：一 一21 .函数f (z) 3z在点z 0处是()(A)解析的(B)可导的(C)不可导的(D)既不解析也不可导2 .函数f(z)在点z可导是f (z)在点z解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件3 .下列命题中，正确的是 ()(A)设 x, y 为实数，贝U cos(x iy)1(B)若z0是函数f(z)的奇点，则f (z)在点z0不可导(C)若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f (z) u iv在D内解析(D)若f (z)在区域D内解析，则近与在D内也解析4 .下列函数中，为解析函数的是()222(A)
8、 x y 2xyi(B)xxyi(C) 2(x 1)y i(y2 x2 2x)(D) x3 iy 3z 05 .函数f(z) z2 Im( z)在处的导数()(A)等于0(B)等于1(C)等于 1(D)不存在6 .若函数f (z) x2 2xy y2 i(y2 axy x2)在复平面内处处解析，那么实常数a ()(A) 0(B) 1(C) 2(D)27 .如果f (z)在单位圆z 1内处处为零，且 f (0)1,那么在z 1内f (z)(A) 0(B) 1(C)1(D)任意常数8 .设函数f (z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是(A)若f (z)在D内是一常数，则f (z)在D内是一
9、常数(B)若Re(f(z)在D内是一常数，则f (z)在D内是一常数(C)f (z)与f (z)在D内解析,则f (z)在D内是一常数(D)若arg f (z)在D内是一常数，则f (z)在D内是一常数22 一.9 .设 f(z) x iy ,则 f (1 i)()(C) 1 i(D) 2 2i(A) 2(B) 2i10 . ii的主值为()(A) 0(B) 111. ez在复平面上()(A)无可导点(C)有可导点，且在可导点集上解析(C)e2(B)(D)(D) e 2有可导点，但不解析处处解析12.设f (z) sin z ,则下列命题中，不正确的是()(A) f (z)在复平面上处处解析(
10、C) f (z)iz ize e2(B) f(z)以2为周期(D) f(z)是无界的13 .设 为任意实数，则1 ()(A)无定义(C)是复数，其实部等于 114 .下列数中，为实数的是 ()3.(A) (1 i)(B) COSi15 .设是复数，则()(A) z在复平面上处处解析(B)等于1(D)是复数，其模等于 13 -i(C) ln i(D) e 2(B) z的模为z1 1(C) z般是多值函数(D) z的辐角为z的辐角的二、填空题设 f (0)1, f (0) 1i，则 lzm0f(z) 12.设 f(z)iv在区域D内是解析的，如果 u v是实常数，那么f (z)在D内是3.导函数f
11、(z)v一在区域 xD内解析的充要条件为4.设 f (z)32i)5.若解析函数f (z) u iv的实部y2,那么 f (z)6.函数 f(z) zIm( z) Re(z)仅在点 z处可导7.8.复数ii的模为9.Imln( 3 4i)10. 方程1 e z0的全部解为,15，、r _, ,设f(z) -z (1 i)z,则方程f (z) 0的所有根为 5设 f (z)一 z z w(z, z) u( 2u(x, y) iv(x, y) 为 z x iy 的解析函数z z z z z z w)iv(,)，则二 0.2i2 2iz四、试证下列函数在 z平面上解析，并分别求出其导数1. f (z
12、) cos x cosh y i sin x sinh y;xx ,2. f (z) e (x cosy ysin y) ie ( ycosy ix sin y);五、设 w3 2zw ezdwdzd 2w dz2六、设f (z)xy2(x iy)24x y0,z 。试证f (z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导z 0七、已知u v x22y，试确定解析函数f (z) u iv.八、设s和n为平面向量，将 s按逆时针方向旋转即得n .如果f (z) u iv为解析函数, 2则有上 _v, _u_v (与分别表示沿s,n的方向导数)s n n s s n九、若函数f (z)在上半平面内解析，
13、试证函数f (z)在下半平面内解析十、解方程 sin z i cosz 4i .第三章 复变函数的积分、选择题：(D)一5.i61 .设c为从原点沿y2x至1 i的弧段，则c(x iy2)dz ()/八、15.15.15.(A) _ _i (B) i(C)_ _ i6666662.设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则口2dz 为()c(z 1)(z 1)2(A)(C) 0(D) (A)(B)(C)都有可能3.设 c1 : z(A)1为负向，c2 ： z 3正向，则 O snWdz ()c c1c2 z2 i(B) 0(C) 2 i(D) 4 i4 .设c为正向圆周z 2,则口 coszdz
14、 () c(1 z)2(A)sin1(B) sin 1(C)2 i sin131( z cos5 .设c为正向圆周 z 一，则z 22dz ()2 c (1 z)2(D) 2 isin1(A) 2 i(3cos1 sin 1)(B) 0(C) 6 icos1(D) 2 isin1e6.设 f(z)。d ，其中 z 4,则 f ( i)()I 4 z(A)2 i(B)1(C) 2 i(D) 17 .设f (z)在单连通域 B内处处解析且不为零,c为B内任何一条简单闭曲线，则积分J (z) 2 f (z)f(z)dz ()cf(z)(A)于 2 i(B)等于 2 i(C)等于0(D)不能确定的直线
15、段,则积分zezdz(c(A)1 三(B)/ e.(C)1 i2(D)e.一 i29.设c为正向圆周2x0,sin( z)Jz(A)上 i2(B) 2 i(C) 0(D)10.设c为正向圆周zcosz ,2 dz (c(a i)2(A) 2 ie(B) 22 e(C) 0(D)icosi11.设f (z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于f (z)在c上的值为2,那么对c内任一点z, f(z)()(A)等于0(B)等于1(C)等于2(D)不能确定12.下列命题中，不正确的是()1(A)积分 口 dz的值与半径r(r 0)的大小无关z a r z a ,22、一一 一(
16、B) 口(x iy )dz 2,其中c为连接i到i的线段c(C)若在区域 D内有f (z) g(z)，则在D内g (z)存在且解析(D)若f(z)在0 |z 1内解析，且沿任何圆周c:|z r(0 r1)的积分等于零，则f (z)在z 0处解析13.设C为任意实常数，那么由调和函数2y确te的斛析函数f (z) u iv 是(A) iz2 c(B)iz2 ic(C)z2c(D)z2 ic14.下列命题中，正确的是 ()(A)设Vi,V2在区域D内均为u的共轲调和函数,则必有 V1 V2(B)解析函数的实部是虚部的共轲调和函数(C)若f(z) u iv在区域D内解析，则一u为D内的调和函数x(D
17、)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设v(x, y)在区域D内为u(x, y)的共轲调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是(A)v(x, y)iu(x, y)(B)v(x, y) iu(x, y)(C)u(x,y)iv(x, y)(D) i x x二、填空题1 .设c为沿原点z 0到点zi的直线段，则2zdzc2.设c为正向圆周z 41,2zc (z*dz4)23.设 f(z)。I I 2sin(彳)2d z，其中z4.设C为正向圆周3,则z zz-dz5.设C为负向圆周ze0 c (z-dz i)56 .解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7 .设f(z)在单连通域B内连续，且
18、对于 B内任何一条简单闭曲线 c都有口 f(z)dz 0,那 c么f(z)在B内8 .调和函数 (x, y) xy的共轲调和函数为 9 .若函数u(x,y) x3 axy2为某一解析函数的虚部，则常数 a 10 .设u(x, y)的共轲调和函数为 v(x, y),那么v(x,y)的共轲调和函数为 三、计算积分1.二z|r(z26z1)(z一dz淇中R 2)0, R NR 2;2. -z| 2zdz22z22四、设f (z)在单连通域 B内解析，且满足1 f (z)1 (xB).试证1 .在B内处处有f (z)0 ；2 .对于B内任意一条闭曲线 c,都有of-()dz 0 c f (z)五、设f
19、 (z)在圆域z aR内解析，若max f (z)|z a rM (r) (0 r R),则 f(n)(a)n!M(r)n- (n 1,2,).rza 一 .K、求积分 ddz,从而证明 e cos(sin )dIzl 1 z七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b ,试求极限Rimf (b)(刘维尔 Liouville 定理).。f-(z)dz并由此推证 f(a)z R(z a)(z b)八、设 f(z)在 z R(R 1)内解析，且 f(0) 1, f (0) 2,试计算积分。(z 1)2f(2z)dz z 1z2并由此得出cos2 f (e )d 之彳t.02
20、九、设f(z) u iv是z的解析函数，证明21n(1 |f(z)|2)21n(1 |f(z)|2)41f (z)|2222 2xy(1 |f(z)十、若u u(x2 y2),试求解析函数 f(z) u iv .、选择题:设an(1)n2.3.4.(A)第四章1,2,),则 limn(B)等于1卜列级数中，条件收敛的级数为/A、1 3i n(A)()nn 12(C)卜列级数中，绝对收敛的级数为1(B)1(1n 1 nn(C)n 2ln nnCnZn 0(B)(D)(B)(D)an()(C)等于i(D)不存在(3 4i)nn!(1)n i1 . n 13 Ln1 n 2nn(1) innn 12
21、2i处收敛，那么该级数在 z 2处的敛散性为()(A)绝对收敛(C)发散(B)条件收敛(D)不能确定设备级数ncnz ,n 0nCnZcnnz1的收敛半径分别为R1 , R2, R3 ,则R1, R2, R3之间的关系是(A)R1R2R3(B)R1R2R3(C)R1R2R3(D)R1R2R36.设0则骞级数的收敛半径(A) q(C) 0(D)nsin7.哥级数2-(-)n的收敛半径 R ()n i n 2(A)1(B) 2(C) 2(D)8.哥级数(1)nzn0 n 11内的和函数为(A) ln(1 z)(B) ln( 1 z)/、1(D) in(D)1 zinz9.设函数的泰勒展开式为cos
22、zCnzn ,那么哥级数n 0Cnzn的收敛半径R n 0(A)( B) 1(C)2(D)1110 .级数-1 z z 的收敛域是（） z z(A) z 1(B) 0 z 1(C) 1 z（D）不存在的1处的泰勒展开式为（）1 ,11 .函数2-在zz1)(A) ( 1)nn(z 1)n 1 (z 11)n 1(B) ( 1)n 1n(z 1)n 1 (z 1n 1(C) n(z 1)n 1 (z 1| 1)n 1(D) n(z 1)n 1 (z 1 1)n 112.函数sinz,在z处的泰勒展开式为（）2(A)(z -)2n 1 (z -n o(2n1)!22(B)Uz - no(2n)!2
23、(z(C)(D)(1)n 10 (2n)!(z(z13.设f (z)在圆环域H : R1zz0R2内的洛朗展开式为Cn (z zo)”，C为 H 内 n绕zo的任一条正向简单闭曲线，那么C(z(A) 2 ic 1(B) 2ic1(C) 2 ic2(D) 2 if (zo)14.若 cn3n(1)n, 4n,0,1,2,1, 2,则双边骞级数Cn z n的收敛域为（）（A）415.设函数m ()(A) 1f(z)z(z 1)( z 4)(B) 2(B)1 (D3在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么(C) 3(D) 4、填空题1 .若哥级数Cn(z i)n在z i处发散，那么该级数在z
24、2处的收敛性n 0为, 2 .设备级数CnZn与Re(Cn )zn的收敛半径分别为 Ri和R2 ,那么Ri与R2之间的关n 0n 0玄旦3 .哥级数 (2i)nz2n 1的收敛半径R n 04 .设f(z)在区域D内解析，z为内的一点，d为z到D的边界上各点的最短距离，那么当 z 4 d 时，f (z) Cn(z z)n 成立，其中 Cn n 05 .函数 arctan z在z 0处的泰勒展开式为 .6 .设备级数gzn的收敛半径为R ,那么哥级数(2n1)Cnzn的收敛半径n 0n 0为.n 1n z n ,7.双边哥级数(1) r ( 1) (1 一)的收敛域为.n 1 (z 2) n 1
25、218 .函数ez ez在0 z内洛朗展开式为.9 .设函数cotz在原点的去心邻域 0 |zR内的洛朗展开式为azn ,那么该洛朗级数n收敛域的外半径 R .1,.10.函数 在1 z i内的洛朗展开式为 .z(z i)1n二、右函数 2-在z 0处的泰勒展开式为anz ,则称 an为非波那契(Fibonacci)数1 Z Zn 0列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式.四、试证明1. ez 1 ez 1ze(z );2. (3 e)z ez 1 (e 1)z (z 1);五、设函数f(z)在圆域|z R内解析，Sn-一)zk试证k 0 k!/n 1 n 1.1z d1. S
26、n(z)白 f( )n-r (z r R).2 11rz、zn 1 f()2. f(z) Sn(z) F 口 n 1,、d(z r R)。2 I I r ( z)2六、设备级数n2zn的和函数，并计算 二之值.n 1n 1 2七、设 f (z) anzn ( zR1), g(z)bnzn ( z R2)，则对任意的 r(0 r R1),在n 0n 0z 旧2 内an bnznn 012z dQ f( )g(一)。r八、设在z R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z) a0 a1z a2z2anzn1 2.220c试证当0 r R时 f(rei ) d an r .2 0n 01内展开成洛朗级
27、数九、将函数ln(-2z)在0z 1z(z 1)十、试证在内下列展开式成立:1z .e zC0nCn(z111-J其中Cn ze2cos cosn d (n 0,1,2,).、选择题:1.函数”三在z i2z 3(A)2.设函数的()(A)(C)3.设z(A)第五章2内的奇点个数为()(B) 2(C) 3(D) 4f (z)与g(z)分别以za为本性奇点与m级极点，则z a 为函数 f (z)g(z)可去奇点m级极点1ex20为函数14 e z sin z4. z 1是函数(z(A)可去奇点(C)一级零点35. z 是函数3(A)可去奇点(C)二级极点6.设 f(z)(A) ak(B)本性奇点
28、(D)小于m级的极点的m级极点，那么m ()(B) 4(C)3(D) 2)、.1,1)sin的(z 12z2z3二的(B)(D)(B)(D)n 4anz在0(B)R内解析,k! ak一级极点本性奇点一级极点本性奇点k为正整数，那么f(z)Res z,0()(C)ak 1(D)(k1)!ak 17.设z a为解析函数f (z)的m级零点，那么Resf-(-z),a(f (z)(A) m(B)m(C)(D)(m 1)8.在下列函数中，Resf(z),0 0的是(A)f(z)zsin z(B) f(z) z(C)sin z cosz f(z)(D)1 f(z) e9.下列命题中，正确的是(A)设 f
29、(z) (zz) m (z)(z)在zo点解析,m为自然数,极点.(B)如果无穷远点是函数f (z)的可去奇点，那么Re sf(z),(C)z 0为偶函数f (z)的一个孤立奇点，则Resf(z),0(D)f (z)dz c0 ,则f (z)在c内无奇点则Zo为f (z)的m级10. Re sz3 2i cos,z(A)23(B)(C)2. i3(D)2.i311. Resz2e1=i1(A)- i6(B)(C)(D)12.下列命题中，不正确的是(A)若z0()是f (z)的可去奇点或解析点，则Res f (z),z(B)若P(z)与Q(z)在zo解析，zo为Q(z)的一级零点，则ResP(z
30、) 1 Q(z),zP(z。)Q (z。)(C )若z为 f (z)的m 级极点, n m 为自然1 .Re s f (z), z0 一 lim n! x x0 dzndn(z z)n1f(z)(D)如果无穷远点为f (z)的一级极点- 1f (-)的一级极点 zRe sf (z),1lzm0zf(z13.设 n1为正整数，则o|z|1n a2z 1dz(A) 0(B)(C)(D)2n i14.积分9 z103z2dz 1(A) 0(B)(C)10(D)15.积分口同12z sin - dz(A) 0(B)(C)(D)二、填空题1 .设z 0为函数sin z3的m级零点，那么2 .函数f (z
31、)11 cos z在其孤立奇点zk1一(k 0, 1, 2,Res f (z),zj21、 L r _3.设函数 f (z) expz,贝U Re s f (z),0zf (z)4.设z a为函数f (z)的m级极点，那么Res,a f (z)5.双曲正切函数tanh z在其孤立奇点处的留数为6.设 f(z)2z丁则7.设 f(z)1 cosz,则 Resf (z),08.积分 z lzl 11e zdz9.积分0|z|-dz 1 sin z10.积分ix xe . 2-dxx三、计算积分o 同1(e4四、利用留数计算积分五、利用留数计算积分zsinz六、利用留数计算下列积分:xsin xco
32、s2xrdz - z)2 d 2 (a 0)a sin2_X2 x 2,-2dxx4 10x2 9dxx 1cos(x 1)2dxx 1七、设a为f (z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f (z)的m级极点的充要条件是lim (z a)mf(z) b ,其中b 0为有限数. z a八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则 Resf(z),a Resf(z), a；若 f(z)是偶函数，则 Resf(z),a Re sf (z), a.九、设f(z)以a为简单极点，且在 a处的留数为A,证明lim -z a 1f (z)f(z)21十、若函数 (z)在z 1上解析，当z为实数
33、时,(z)取实数而且(0) 0, f(x,y)表示2 t sin(x iy)的虚部，试证明 2 f (cos ,sin )d (t)0 1 2tcos t2(1 t 1)第一章复数与复变函数2.arctan 83.2i4.16 i5. 3432i,2 i三、.52,5,2四、当0a 1时解为时解为u六、像的参数方程为2x(2)2y3 2(2)1)19 . Re(w)-(或 52(1Jia或(1 a 1).17-cos2015 .-sin2(.1 a 1)10.72i2 .表示w平面上的椭圆、1. (B)2. (A)3.(D)4. (C)5 .(B)6. (A)7. (D)8 .(B)9. (D
34、)10. (C)11 . (B)12. (C)13.(D)14. (C)15. (A)十、1. f (z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续;2. f (z)在复平面处处连续第二章解析函数、1. (B)2.(B)3. (D)4. (C)5 .(A)6. (C)7 .(C)8.(。9. (A)10.(D)11 . (A)12.(C)13. (D)14. (B)15.(C)二、填空题2.常数3.u,可微且满足2 u-2 x4.2727一 i85.2xyiic 或 z2ic ，7.8 2(cos42k.4 sin2k),k0,1,2,39.4 arctan 一310. 2k(k0, 1, 2,四
35、、(z)sin z;2.(z 1)ez.五、dw2w七、dzd 2w dz2f(z)2v-2 xc为实常数2k8. e (k0,6. i1, 2,)3w2 2zdw 2 6w()dzc 23w,dw4 - dz2z8w 6ezw 12w2 / c 2 (3w3ezw2 4ez2ezzi 2rz (1i)c.c为任意实常数.z 2k iln4 (k0, 1, 2,).第三章复变函数的积分一、1.(D)2.(D)3.(B)4(C)5 . (B)6 .(A)7 .(08 .(A)9 .(A)10. (011. (C)12.(D)13.(D)14(C)15. (B)二、1 .22. 10i3. 04.6 i5.i6.平均值127.解析8.12(yx2)9.10.u(x, y)1时,2时,时,
