1、复变函数测验题1第一章 复数与复变函数一、选择题1当 时， 的值等于（ ）iz50710zz（A） （B） （C） （D）i112设复数 满足 ， ，那么 （ ）z3)2(zarc65)2(zarcz（A） （B） （C） （D）i31ii31i2133复数 的三角表示式是（ ）)2(taniz（A） （B）si(cose )23sin()23cos(e（C） （D）)23in()23( )i()(4若 为非零复数，则 与 的关系是（ ）zz（A） （B）2zz22（C） （D）不能比较大小zz设 为实数， 且有 ，则动点yx, yixzyix1,121 121z的轨迹是（ ）),(（A）圆
2、（B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线一个向量顺时针旋转 ，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为3，则原向量对应的复数是（ ）i31复变函数测验题2（A） （B） （C） （D）2i31i3i3使得 成立的复数 是（ ）2zz（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数设 为复数，则方程 的解是（ ）i2（A） （B） （C） （D）i43i43i43i43满足不等式 的所有点 构成的集合是（ ）2izz（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域10方程 所代表的曲线是（ ）3i（A）中心为 ，半径为 的圆周 （B）中心为 ，半径为的圆周22i32（
3、C）中心为 ，半径为 的圆周 （D）中心为 ，半径为的圆周i11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（A） （B）21z 43z（C） （D）)(a )0(caz12设 ，则 （ ）,5,32,1)2iizf )(21zf（A） （B） （C） （D）i444i413 （ ）0)Im()l0zx（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在ii014函数 在点 处连续的充要条件是（ ）),(),()yxvuf0iyxz（A） 在 处连续 （B） 在 处连续,(yx0 ),(v),0复变函数测验题3（C） 和 在 处连续（D） 在 处连续),(yxu),(v),0yx),(),(yxvu
4、),015设 且 ，则函数 的最小值为（ ）z1zf1(2（A） （B） （C） （D）3 1二、填空题1设 ，则 )2(3)(iizz2设 ，则 (iarg3设 ，则 43)arg,5izzz4复数 的指数表示式为 2)sin(co5以方程 的根的对应点为顶点的多边形的面积为 z1576不等式 所表示的区域是曲线 的内部2方程 所表示曲线的直角坐标方程为 1)(2zi方程 所表示的曲线是连续点 和 的线段i2的垂直平分线对于映射 ，圆周 的像曲线为 zi1)(22yx10 )1(lim42z三、若复数 满足 ，试求 的取值范围0)21()(zizi 2z复变函数测验题4四、设 ，在复数集 中
5、解方程 .0aCaz2五、设复数 ，试证 是实数的充要条件为 或 .iz21z1z0)(zIM六、对于映射 ，求出圆周 的像.)(2z4z七、试证. 的充要条件为 ；)0(221z 2121zz. 的充要条件为),(21 njkzj .nnzz 211八、若 ，则存在 ，使得当 时有 .0)(lim0Azfx 00zAzf21)(九、设 ，试证 .iyzyxzyx2十、设 ，试讨论下列函数的连续性：ixz1. 0,2)(zyf复变函数测验题52. 0,)(23zyxzf第二章 解析函数一、选择题：1函数 在点 处是( )23)(zf0（A）解析的 （B）可导的（C）不可导的 （D）既不解析也不
6、可导2函数 在点 可导是 在点 解析的( )(zf)(zf（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件3下列命题中，正确的是( )（A）设 为实数，则yx, 1)cos(iyx（B）若 是函数 的奇点，则 在点 不可导0z)zfzf0（C）若 在区域 内满足柯西-黎曼方程，则 在 内解析vu,Divuzf)(D（D）若 在区域 内解析，则 在 内也解析)(zf )(zifD4下列函数中，为解析函数的是( )（A） （B）xyi22xyi2（C） （D）)2()1(x35函数 在 处的导数( )Im2zzf0（A）等于 0 （B）等于 1 （C）等
7、于 （D）不存在16若函数 在复平面内处处解析，那么实常)( 222 xayiyx数 ( )a（A） （B） （C） （D） 27如果 在单位圆 内处处为零，且 ，那么在 内 ( )zf1z1)0(f1z)zf复变函数测验题6（A） （B） （C） （D）任意常数0118设函数 在区域 内有定义，则下列命题中，正确的是)(zfD（A）若 在 内是一常数，则 在 内是一常数)(zf（B）若 在 内是一常数，则 在 内是一常数)(Rezf（C）若 与 在 内解析，则 在 内是一常数D)(zfD（D）若 在 内是一常数，则 在 内是一常数)(argzf9设 ，则 ( )2)(iyxzf1i（A） （
8、B） （C） （D）i1i210 的主值为 ( )i（A） （B） （C） （D）012e2e11 在复平面上( )ze（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析12设 ，则下列命题中，不正确的是( )zfsin)(（A） 在复平面上处处解析 （B） 以 为周期)(zf2（C） （D） 是无界的2)(izizef13设 为任意实数，则 ( )1（A）无定义 （B）等于 1 （C）是复数，其实部等于 1 （D）是复数，其模等于 114下列数中，为实数的是( )（A） （B） （C） （D）31iicosilnie2315设 是复数，则( )（A）
9、在复平面上处处解析 （B） 的模为z z复变函数测验题7（C） 一般是多值函数 （D） 的辐角为 的辐角的 倍z zz二、填空题1设 ，则 iff1)0(,)( zfz1)(lm02设 在区域 内是解析的，如果 是实常数，那么 在 内是 ivuzDvu)(zfD3导函数 在区域 内解析的充要条件为 xif)(4设 ，则 23)(yizf )23(if5若解析函数 的实部 ，那么 ivuyx)(zf6函数 仅在点 处可导)Re(Im)(zzf7设 ，则方程 的所有根为 i150)(zf8复数 的模为 i9 )43Imln(10方程 的全部解为 01ze三、设 为 的解析函数，若记),(),()y
10、xivuzfiyz，则 )2,2,( iizw 0zw四、试证下列函数在 平面上解析，并分别求出其导数z1 ;sinhcosh)( yxyxzf复变函数测验题82 );sinco()sinco() yxyeyxezf x五、设 ，求 .03zw2,dzw六、设 试证 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.0,0)()(42zyxizf )(zf七、已知 ，试确定解析函数 .2yxvuivuzf)(八、设 和 为平面向量，将 按逆时针方向旋转 即得 .如果 为解析函数，sns2nivuzf)(则有 （ 与 分别表示沿 , 的方向导数）.svuvs, ns九、若函数 在上半平面内解析，试证函数 在
11、下半平面内解析.)(zf )(zf十、解方程 .izi4cossn复变函数测验题9第三章 复变函数的积分一、选择题：1设 为从原点沿 至 的弧段，则 ( )cxy2i1cdziyx)(2（A） （B） （C） （D）i65i65i651i6512设 为不经过点 与 的正向简单闭曲线，则 为( )c1 dzzc2)(（A） （B） （C） （D）(A)(B)(C)都有可能i2i03设 为负向， 正向，则 ( )1:zc3:2zcdzc21sin（A） （B） （C） （D）i0ii44设 为正向圆周 ，则 ( )czdzc2)1(os（A） （B） （C） （D）1sinin1sin1sin25
12、设 为正向圆周 ，则 ( )c2zdzzc23)1(os（A） （B） （C） （D）)sin1o3(i01cos6i1sin26设 ，其中 ，则 ( )dzezf4) 4z）if（A） （B） （C） （D）i21217设 在单连通域 内处处解析且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线，则积分)(zf cB复变函数测验题10( )dzzfc)(2（A）于 （B）等于 （C）等于 （D）不能确定ii208设 是从 到 的直线段，则积分 （ ）c021czde（A） (B) (C) (D) e21i21ie219设 为正向圆周 ，则 ( )c02xydzc1)4sin(2（A） （B） （C） （D
13、）i2i0i210设 为正向圆周 ，则 ( )ciaiz,1cdzi2)(os（A） （B） （C） （D）ie2ei20icos11设 在区域 内解析， 为 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于 如果)(zfDc在 上的值为 2，那么对 内任一点 , ( )c0zf（A）等于 0 （B）等于 1 （C）等于 2 （D）不能确定12下列命题中，不正确的是( )（A）积分 的值与半径 的大小无关razdz1)0(r（B） ,其中 为连接 到 的线段2)(2ciyxci（C）若在区域 内有 ，则在 内 存在且解析 D)(zgfD)(zg复变函数测验题11（D）若 在 内解析，且沿任何圆周 的积分
14、等于零，则)(zf10)10(:rzc在 处解析13设 为任意实常数，那么由调和函数 确定的解析函数 是 ( )c 2yxuivuzf)(A) （B） （C） （D）iz2 icz2czc214下列命题中，正确的是( )（A）设 在区域 内均为 的共轭调和函数，则必有21,vDu21v（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若 在区域 内解析，则 为 内的调和函数izf)( xD（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15设 在区域 内为 的共轭调和函数，则下列函数中为 内解析函数的是( ),(yxv),(yxu（A） （B） ),(i ),(),(yxiuv（C） （D）,),(y
15、xivui二、填空题1设 为沿原点 到点 的直线段，则 c0zi1cdz22设 为正向圆周 ，则 4cz2)4(33设 ,其中 ，则 2)sin()(dzzf z)3(f4设 为正向圆周 ，则 cz c3复变函数测验题125设 为负向圆周 ，则 c4zczdie5)(6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7设 在单连通域 内连续，且对于 内任何一条简单闭曲线 都有 ，)(zfBBc0)(dzf那么 在 内 8调和函数 的共轭调和函数为 xy),(9若函数 为某一解析函数的虚部，则常数 23aua10设 的共轭调和函数为 ，那么 的共轭调和函数为 ),(y),(yv),(yxv三、计算积分1.
16、 ,其中 且 ;Rzdz)2(162 1,0R22. 224z四、设 在单连通域 内解析，且满足 .试证)(zfB)(1)(Bxzf在 内处处有 ；0)(zf对于 内任意一条闭曲线 ，都有c0)(cdzf五、设 在圆域 内解析，若 ，)(zfRa )0()(maxRrMzfrz 则 .),21()!)( nrMan复变函数测验题13六、求积分 ，从而证明 .1zde 0cos)(inde七、设 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数 ，试求极限)(zf ba,并由此推证 （刘维尔 Liouville 定理）.Rzdzba)(lim)(bfa八、设 在 内解析，且 ，试计算积分)(zf
17、)1(2)0(,1)(ff并由此得出 之值.12zd20cosdei九、设 是 的解析函数，证明ivuzf)(z.2222 )(14)(1ln1lnzfyfx十、若 ，试求解析函数 .)(2yxuivuzf)(复变函数测验题14第四章 级 数一、选择题：1设 ，则 ( ),21(4)1(nian nalim（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在0i2下列级数中，条件收敛的级数为( )（A） （B）1)23(nni1!)43(nni（C） （D）1ni 1)(ni3下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B） （B）1)(ni12)(nni(C) （D）2lni 1)(ni4若幂级数 在
18、处收敛，那么该级数在 处的敛散性为( )0nzci212z（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散 （D）不能确定5设幂级数 和 的收敛半径分别为 ，则010,nnzcz01nnzc 321,R之间的关系是( )321,R（A） （B） 321321R（C） （D）R6设 ，则幂级数 的收敛半径 ( )10q02nzq复变函数测验题15（A） （B） （C） （D）qq107幂级数 的收敛半径 ( )1)2(sinnzR（A） （B） （C） （D）28幂级数 在 内的和函数为01)(nnz（A） （B）)l( )1ln(z（D） (D) z1l l9设函数 的泰勒展开式为 ，那么幂级数 的收
19、敛半径 ( )ecos0nzc0nzcR（A） （B） （C） （D）1210级数 的收敛域是( )221zz（A） （B） （C） （D）不存在的10z111函数 在 处的泰勒展开式为( )21z（A） （B）)1()()11zn )1()1()1 zznn（C） （D）)()(11zn )()(11n复变函数测验题1612函数 ，在 处的泰勒展开式为( )zsin2（A） )2()(!1()01znn（B） )()2!()0znn（C） )2()!1(01znn（D） )()2)!(0znn13设 在圆环域 内的洛朗展开式为 ， 为 内f 201:RzHnnzc)(0cH绕 的任一条正向简
20、单闭曲线，那么 ( )0z cdzf20)(A) （B） （C） （D）12ic12i2ic)(20zfi14若 ，则双边幂级数 的收敛域为( ),4)(3nn n（A） （B） 31z 43z（C） （D）4 115设函数 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 个，那么)4(1)(zzf m( )m（A）1 （B）2 （C）3 （D）4复变函数测验题17二、填空题1若幂级数 在 处发散，那么该级数在 处的收敛性为 0)(nnizci2z 2设幂级数 与 的收敛半径分别为 和 ，那么 与 之间的关0nzc0)Re(nnzc1R212R系是 3幂级数 的收敛半径 012)(nnzi4设 在区域
21、内解析， 为内的一点， 为 到 的边界上各点的最短距离，那么fD0zd0zD当 时， 成立，其中 dz000)()(nnczf nc5函数 在 处的泰勒展开式为 arct6设幂级数 的收敛半径为 ，那么幂级数 的收敛半径为 0nzR0)12(nnzc7双边幂级数 的收敛域为 112)2()(nnnzz8函数 在 内洛朗展开式为 ze09设函数 在原点的去心邻域 内的洛朗展开式为 ，那么该洛朗级数cot Rz0nzc收敛域的外半径 R10函数 在 内的洛朗展开式为 )(1iziz复变函数测验题18三、若函数 在 处的泰勒展开式为 ，则称 为菲波那契(Fibonacci)21z00nzan数列，试
22、确定 满足的递推关系式，并明确给出 的表达式na四、试证明1 );(1zeezz2 1)3(z五、设函数 在圆域 内解析， 试证)(zfRnkkzfS0)(!1 .)()(21)( 11 RrdzfiSnrnn 2 。)()()(11zfizzfrnn）六、设幂级数 的和函数，并计算 之值.12nz12n复变函数测验题19七、设 ，则对任意的 ，在)()(,()( 2010 RzbzgRzazf nn )0(1Rr内 。2rRrn dfib)(20八、设在 内解析的函数 有泰勒展开式Rz)(zf nzazazf210)(试证当 时 .r0022021nni radre九、将函数 在 内展开成洛
23、朗级数.)1(2lnz10z十、试证在 内下列展开式成立：z0其中 .101)(nnzce ),210(cos102 ndec复变函数测验题20第五章 留 数一、选择题：1函数 在 内的奇点个数为 ( )32cotz2i（A）1 （B）2 （C）3 （D）42设函数 与 分别以 为本性奇点与 级极点，则 为函数)(fzgamaz)(zgf的( )（A）可去奇点 （B）本性奇点（C） 级极点 （D）小于 级的极点m3设 为函数 的 级极点，那么 ( )0zzexsin142（A）5 （B）4 (C)3 （D）24 是函数 的( )1z1si)(z(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 一级零点 （
24、D）本性奇点5 是函数 的( )z23z(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 二级极点 （D）本性奇点6设 在 内解析， 为正整数，那么 ( )0)(nzafRk0,)Rekzfs（A） （B） （C） （D）kk!1ka1!ka7设 为解析函数 的 级零点，那么 ,)(ezfs( )az)(zfm(A) （B） （C） （D）m11m8在下列函数中， 的是（ ）0),(Rezfs复变函数测验题21（A） （B）21)(zef zzf1sin)(（C） (D) fcosin)(efz)(9下列命题中，正确的是( )（A） 设 ， 在 点解析， 为自然数，则 为 的)(0zzfm0zm0z)(f
25、级极点（B） 如果无穷远点 是函数 的可去奇点，那么)(f ),(Refs（C） 若 为偶函数 的一个孤立奇点，则0zz 0z（D） 若 ，则 在 内无奇点)(cdf)(fc10 ( ),2osRe3zi（A） （B） （C） （D）3i32i3211 ( ),e12izs（A） （B） （C） （D）6i65i61i6512下列命题中，不正确的是( )（A）若 是 的可去奇点或解析点，则(0z)(zf 0),(Rezfs（B）若 与 在 解析， 为 的一级零点，则)PQ00z)(Q)(,)(00zQP（C）若 为 的 级极点， 为自然数，则0z(fmn)(li!1),(Re 1000 zfz
26、dnfsnx复变函数测验题22（D）如果无穷远点 为 的一级极点，则 为 的一级极点，并且)(zf0z)1(zf)1(lim),(Re0zfzfsz13设 为正整数，则 ( )n2zndz(A) （B） （C） （D）0ini2in214积分 ( )23109zdz（A） （B） （C） （D）i2105i15积分 ( )12sinzdz（A） （B） （C） （D）0613ii二、填空题1设 为函数 的 级零点，那么 0z33sinzm2函数 在其孤立奇点 处的留数zf1cos)( ),210(2kk),(Rekzfs3设函数 ，则 1exp2z0),(Rezfs复变函数测验题234设 为函
27、数 的 级极点，那么 az)(zfm,)(Reazfs5双曲正切函数 在其孤立奇点处的留数为 tnh6设 ，则 21)(zf),(ezfs7设 ，则 5co)(f0),(Rf8积分 13zde9积分 1sinz10积分 dxei2三、计算积分 412)(sinzze四、利用留数计算积分 )0(sin02aad五、利用留数计算积分 dxx91024六、利用留数计算下列积分： 021cosindxxdx1)cos(2复变函数测验题24七、设 为 的孤立奇点， 为正整数，试证 为 的 级极点的充要条件是a)(zfma)(zfm，其中 为有限数bmz(li 0八、设 为 的孤立奇点，试证：若 是奇函数
28、，则 ；a)(zf )(zf ),(Re),(eazfsazfs若 是偶函数，则 ,Re),(easazfs九、设 以 为简单极点，且在 处的留数为 A，证明 .)(zfaaAzfaz1)(1lim2十、若函数 在 上解析，当 为实数时， 取实数而且 ， 表示)(z1z)(z0)(),(yxf的虚部，试证明(iyx sin,cocs2in02 tdftt )1(t复变函数测验题25第一章 复数与复变函数一、1 （B） 2 （A） 3 （D） 4 （C） （B） （A） （D） （B） （D） 10 （C）11 （B） 12 （C） 13 （D） 14 （C） 15 （A）二、1 2 3 4 5
29、 8arctni21ie163 （或 ） 5z)(222yx2yx 10i2,11)Re(wi27三、 （或 ） 5,525z四、当 时解为 或10aia)1()1(a当 时解为 .六、像的参数方程为 表示 平面上的椭圆 .20sin215co7vuw1)25(1722vu十、1 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(zf2 在复平面处处连续.复变函数测验题26第二章 解析函数一、1 （B） 2 （B） 3 （D） 4 （C） （A） （C） （C） （C） （A） 10 （D） 11 （A） 12 （C） 13 （D） 14 （B） 15 （C）二、填空题1 2常数 3 可微且满足ix
30、vu, 222,xvyuxv4 5 或 ， 为实常数 6i87icyx22 iz2ci7 83,10),4sin4(cos28 kk ),210(2ke9 103art ),2(2i四、1 2;sin)(zf .1)zezf五、 ,wedz23.2222 )3(41684)(6 zwzeeezedz zzz 七、 . 为任意实常数.cizif)1()(2十、 .),204lnkiz复变函数测验题27第三章 复变函数的积分一、1 （D） 2 （D） 3 （B） 4 （C） （B） （A） （C） （A） （A） 10 （C）11 （C） 12 （D） 13 （D） 14 （C） 15 （B）二、
31、12 2 30 4 5 6平均值i1i612i7解析 8 9 10Cxy)(23),(yxu三、1当 时， ； 当 时， ； 当 时， .10R01Ri8R202 .六、 .i七、 .0八、 .,8)(1(2idzfz 2)(2cos0defi十、 （ 为任意实常数） .321ln)icf 31,复变函数测验题28第四章 级 数一、1 （C） 2 （C） 3 （D） 4 （A） （D） （D） （B） （A） （C） 10 （B） 11 （D） 12 （B） 13 （B） 14 （A） 15 （C）二、1发散 2 3 1R24 或（ ）),10()!( nzf )0,1()(010 drndzzfirz 5 6 7 )(2012znn228 9 10nnz00! 02)(1nniz三、 ， )2(,11aann.),10(5)25(1n六、 ， .3)1()zf6九、. nnkkzzz )1()()2l()(2ln0复变函数测验题29第五章 留 数一、1 （D） 2 （B） 3 （C） 4 （D） （B） （C） （A） （D） （C） 10 （A） 11 （B） 12 （D） 13 （A） 14 （B） 15 （C）二、1 2 3 4 5 92)(1k0m16 7 8 9 1041ii2ei三、 .i31四、 .12a五、 .5六、 .)(43ee1cos
