1、1第一套第一套一、选择题（每小题 3 分，共 21 分）1. 若（ ） ，则复函数 是区域 内的连续函数。(),)(,)fzuxyivDA. 、 在区域 内连续； B. 在区域 内连续；(,)uxy(,)vD,uxyC. 、 至少有一个在区域 内连续； D. 以上都不对。2. 解析函数 的实部为 ，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ） 。()fzsinxueyA. ； B ； C ； D cosxeyCcosinxeycosxeyC3. （ ） 。2|21()zdAA. ； B. 0； C. ； D. 以上都不对.ii44. 函数 以 为中心的洛朗展开系数公式为（ ） 。()fzA. B. 1
2、012()nnfdci 0()!nfzcC. D. 20nkfizA210()nnkfdizA5. z=0 是函数 的（ ） 。sA.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点6. 将点 ，0，1 分别映射成点 0，1， 的分式线性映射是（ ） 。A. B. C. D. zwzwz1wz1w7. （ ） ， （ ） 。sinkt（ ）LResA. ； B. ； C. ； D. 22kksks.二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 1 ；23(1)i-装-订-线-22. 幂级数 收敛于 2 ；1nz！3. 设 为复函数 的可去奇点，则 在该点处的留数为 3 . ；0Z）（f ）（
3、zf4. 通过分式线性映射 （k 为待定复常数）可将 4 映射成单位圆内部z； 15. 一个一般形式的分式线性映射可由 、 、 三种特殊形式的映射复合而成，zbaz1分别将 平面看成 z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 5 ；6. 求积分 6 ；()ixed三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1. 平面点集 D 称为一个区域，如果 D 中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。 （ ）2. 在区域 D 内解析的充要条件是： 与 在 D 内可微，且满足(),)(,)fzuxyiv(,)uxy(,)vC-R 方程。 （ ）3.将 平面上一个点集映射到 平面
4、上一个点集， 的参数方程是： ， 的参数方程是：zzt，则函数 与 导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。 （ ）()fztz4. 拉氏变换的微分性质为：若 ，则 。 （ ）()ftFsL()(0)ftFsfL5. 傅里叶级数 表示一个周期为 T 的信号 可以分解为简谐波之和，001()co)nnftAtft这些简谐波的（角）频率分别为一个基频 的倍数。 （ ）0四、计算题（前四题，每小题 9 分，第五题，15 分，共 51 分）1. 当 分别等于多少时，函数 在复平面上处处解析? ba， ）（ 3223y-bxix)z(fay32. 计算 。2|(8)zdziA3. 将函数在指定圆环内
5、处展开为洛朗级数： ， .21()zf0|1z4. 利用留数定理计算积分 2|sin(1)zdzA5. 求微分方程组 的解(29)(3)0()0175xyxy 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分）1. A 2. B 3.B 4. A 5. A 6. D 7. A .二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. ；或34k4k2cosisn0,126653362,ee42. ； 3. 0； 4. 上半平面 ； 5. 反演映射 6. 1zeImz0.三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题（前四题，每小题 9 分，第五题，15 分，共 51 分）
6、1. 解： 3223ybxvayxu,（3 分）vyx（3 分）2 223,2,3uuvvaaxybxyxyxyb（3 分）,2. 解： （5 分）2zdz8-(i)A（ 28zii（或判断出-i 在圆内， 不在圆内，得 2 分）（4 分）293. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数： 1z0,)(z)f2（5 分）222z11f()(z)z（或：写出洛朗级数公式 2 分） （4 分） 20nzz2nz 1z04. 解：由于函数在积分区域内有可去奇点 z=0 与单极点 z=1 （4 分）（3 分）221siRe(),Re(),lim(-)inzzsfzsf5由留数定理，原积分 （2 分）2si
7、n15. 解： （4 分）22(9)(3)(275sXYs整理得（4 分）22()1ssYX解得 （4 分）221()331ssY再取拉氏变换得到其解为：（3 分）2()cosin231ttxetty第二套一、选择题（每小题 3 分，共 21 分）1. 的指数式为（ ） 。13iA、 B、 C、 D、2ie23ie3ie62ie2. 复函数 （ ） 。LnZA 在复平面上处处解析； B 在复平面上处处不解析；C 除去原点外处处解析； D 除去原点及负半实轴外处处解析.3. 由柯西积分公式得，积分 的值为（ ） 。|12zdAA.0 B. 1 C. 2 D.无解4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）
8、。A、主要部分 B、解析部分 C、无限部分 D、都不对65. 在点 z=0 处的留数为（ ） 。z1sinA.-1 B.0 C.1 D.26. 保角映射具有的性质有（ ） 。A. 反演性、保圆性、保对称性 B. 共形性、保角性、保对称性C. 共形性、保圆性、保对称性 D. 反演性、保角性、保对称性7. （ ） ， （ ） 。kt（ e）LReskA. ； B. ； C. ； D. .2s2s1ks二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. = 1 。53i2. 幂级数 收敛半径为： 2 。21!nnz3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 3 三种。4. 通过分式线性映射 ，( ， 为实数
9、)可将 4 映射成单位圆内部1ize1。 15. 在扩充复平面上两点 与 是关于圆周 C 的对称点的充要条件是通过 与 的任何圆周 与 1z2 1z2C5 。6. 按定义，函数 的傅里叶变换式为 6 。()fx三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1. 如果平面点集 G 中的每一点都是它的内点，则称 G 为开集。 （ ）2. 的所有分支可表示为 。 （ ）lnzln2zLki3. 设函数 在 的邻域内有定义，且在 具有保角性和伸缩率不变性，则称 在 时fz0 0z fz0共形的。 （ ）74. 傅里叶级数 中 的物理意义：表示周期信号在一001cosnnftAt/201Tcftd个周期内
10、的平均值，也叫做交流分量。 （ ）5. 拉氏变换的微分性质为：若 ，则 。 （ ）()ftFsL()(0)ftFsfL四、计算题（前四题，每小题 9 分，第五题，15 分，共 51 分）1. 设 为解析函数，试确定 l,m,n 的值3232mynxilxy2. 计算积分 ， ；3CzdA:2z3. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数 ， ； 21z2z4. 利用留数定理求积分（圆周均取正向） 152334z dzA85. 求微分方程式的解（c 为常数）(4)cos(0)(0)()ytyy第二套一、选择题（每小题 3 分，共 21 分）1. C 2.D 3. A 4. B 5. C 6.
11、C 7.C.二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 2. 0 3.本性奇点 4. 单位圆内部 5. 正交 6. 16i 1zitFfed三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题（前四题，每小题 9 分，第五题，15 分，共 51 分）1. 解：由题意知：实部 、虚部32umynx32vxly， ， ， （2 分）2nx22lvlx由于 为解析函数，故有 （2 分） 即 3232myxilxyuyvx（3 分）解得 m=1，n=-3，l=-3 （2 分）223nlyxy2. 解：由 z-3=0，得奇点为 z=3（3 分）此时不在 C 的环域内，
12、由柯西基本定理（3 分）知 03CzdA（3 分）3. 解： （3 分）221155zz92221115502z zzz（3 分） 21210005nnnzz（3 分） 23432 12548zz4. 解：函数 在 的外部，除 点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：1234zz（3 分）15234Re,CdzisfzA（3 分） （3 分）2Re,0isfz23412e,0iszz2i5. 解：方程两边取拉氏变换，得 （2 分）432s()()1sYcc解出 （3 分）3221()()cYss1222222Re,0Re,1()1(1)()st sts L（3 分）2222,()()st
13、stei i222201lim()lilim(lim)1()1)(1st st st sts ss se eei （2 分） (cointtt因此，原方程的解 111322)()()1ytYscsLL（5 分）2(ointctet第三套10一、填空题（每空 2 分，共 20 分）1复数 的实部为 1 ，虚部为 2 及其共轭复数为 3 .3i2已知 是解析函数，其中 ，则 4 .()fzuv21ln()uxyv3设 C 为正向圆周 ,则 = 5 .1zdzieC24幂级数 的收敛半径为 6 .31nz5 是 的奇点，其类型为 7 .0zl()zf6设 ，则2(1()(1)1)()nf zz 8
14、.Res,f7 函数的傅里叶变换为 9 .()F8函数 的拉普拉斯逆变换为 10 .1()Fs()ft二、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1复数 的辐角为（ ）685ziA B-1arctn2 1arctn2C Dt 2方程 所表示的平面曲线为（ ）2Re1zA圆 B直线C椭圆 D双曲线3在复平面上，下列关于正弦函数 的命题中，错误的是（ ）sinzA 是周期函数 B 是解析函数sinz sinzC D 1 cos)(114设 C 为正向圆周 ，则 =（ ）1zdzCcosA Bi 2iC D105在拉氏变换中，函数 与 的卷积， 为（ ）1()ft2ft2()ftA B 12()tft
15、d 10()tfdC D0t 2tt6幂级数 的收敛区域为（ ）1!nzA B0zC D1z 17设 的罗朗级数展开式为 ，则它的收敛圆环域为（ ）()2)efnczA 或 B 或0zz022zC Dz8 是函数 的（ ）3zsin()3)zfA一阶极点 B可去奇点C一阶零点 D本性奇点9 （ ）2Res,()ziA B-1iC D110 的傅里叶变换为（ ）0()tA1 B C D0t0ite0ite12三、计算题（每小题 8 分，共 24 分）1 已知 ，求 ， ， 。|2sin4()dfzzA(12)fi(f1)2 计算积分 ， 取正向。2d(1)zCe:3z3 求函数 在孤立奇点处的留
16、数。2()zf四、综合题（共 36 分）1设 ，问 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。 （8iyxzf23)()(zf分）2将函数 分别在 与 圆环域内展开为罗伦级数。1()(2)fzz01z02z（10 分）3求余弦函数 的傅里叶变换。 （8 分）0()cosftt4用 Laplace 变换求解常微分方程。 （10 分）31(0),(0)2yy13第三套1、填空题1 , , ；2 ；30；41；5可去奇点；6-1；71；356i2xy8 et二、选择题B D C B D，B A B C C3、计算题 (每题 5 分，共 20 分)1、解：（1）因为 不在曲线 C： 内12i2所以根
17、据柯西定理得： （2 分）(1)0fi（2）已知 在曲线 C： 内，由柯西积分公式得：1z2（3 分）|2sin4()dsin.24f iiA（3）由高阶导数公式得：（3 分）22|2 1sin4(1)d(sin)(1)44f ii 2、解：设 在曲线 C 内除 之外处处解析， （2 分） 2()zef 0,z又因为 是 的一阶极点，根据留数定理得：0,1z2(1)zef321dRe(,()z kCkeisfzA， ， （4 分）R,0sf ),ei1R(),sfzie（2 分）2d(2()zCeie143、解：由 得：21()zf和 都是 的孤立奇点，并且是一阶极点， （2 分）0z()f（
18、3 分） （3 分）Re,sfzRe(),2sfz四、综合题1解： 23),(),( yxvyxu（4 分）vx 2222 4,3均连续，要满足 条件，必须要RC成立2234,yxy即仅当 和 时才成立，所以函数 处处不解析； （2 分）0x )(zf（2 分） 2 解：,)0(0,(0,(viuf )1(67)4( )43,()43,( ixviuif （5 分） 11()(2)()()fzzz） 10nnzz（5 分） 3 解：2()1()()1)(f zz21()1nnz 0()cositFfted0()ititited0()()12itite 0022()（8 分） 0)()4解：在方
19、程两边取拉氏变换，并用初始条件得 )0()(3)(0)()( 223 ySYySySY SYyS1)(0)(31Y)452(123S 2)1(2S15即 故 1)(2)SSY 1)()(1teSYtyL黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科) 期末试卷 (时间 120 分钟)试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、填空题（每空 1 分，共 20 分）1复数 的实部为 1 ，虚部为 2 及其共轭复数为ii3 .2已知 是解析函数，其中 ，则 4 .()fzuivcosxueyv3设 C 为正向圆周 ,则 5 .2z2sin()CzdA4设 ，则幂级数 的收敛半径为_ 6_.1limn
20、ai01nnaz5 是 的奇点，其类型为 7 .0zl()zfz6设 ，则21(1()(1)()nf z 8 .Res,fz7 函数的傅里叶变换为 9 .()F8函数 的拉普拉斯逆变换为 10 .1()Fs()ft二、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1复数 的三角表示式为（ ）3(cosin)5zA B443(cosin)5-装-订-线-16C D43(cosin)543(cosin)52在下列复数中，使得 成立的是（ ）2zeA Bz l2ziC D n3设 ，解析函数 的虚部为 ，则 的实部 可取为（ ）zxiy()fz32vyx()fzuA B2 3yC D3xy x4设 为从 到
21、 的直线段，则 （ ） i |CzdA B C Di2ii2i5复数列 的极限为（ ）nizeA-1 B0 C1 D不存在6以 为本性奇点的函数是（ ）A Bsinz 1(-)zC D21coz sin7设 的罗朗级数展开式为 ，则它的收敛圆环域为（ ）()zefnczA 或 B 或02zz022zC Dz8设函数 ，则 （ ）2()1)izefRes,fziA0 B C D4i44e9 的傅里叶变换为（ ）()t17A1 B C D0t0ite0ite10在拉氏变换中，函数 与 的卷积， 为（ ）1()f2ft12()ftA B12()tftd 0()tfdC D0t12tt三、计算题（每题
22、 8 分，共 24 分）1 ，求2371()fzdz).(if2 计算积分 ， 取正向。 2()CeA:3z3求函数 在孤立奇点处的留数。 21)zf四、综合题（共 36 分）1设 a、b 是实数，函数 在复平面解析，则分别求 a、b 之值，并求2()()fzaxybi.（8 分）()fz2将 在 处展成罗伦级数。 （10 分）1()fi01zi与3求余弦函数 的傅里叶变换。 （8 分）0cosftt4用拉普拉斯变换求解常微分方程： （10 分）23(0),()1tye黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科) 期末试卷 (答案)一、填空题， ， ； ；0； ；可去奇点；-1 ；1；3212
23、icosxey2et二、选择题C B B A D，D A A C D三、计算题181、 ，求3217)(dzzf ).(if解：因 在复平面上处处解析2由柯西积分公式知，在 内，3z（4 分） 3 2)17()2)()( ziidzzf所以 （2 分）76()if而点 在 内，故i13z（2 分）)136(2)1(2)( iif 2、解：设 在曲线 C 内除 之外处处解析， （2 分） 2()zef 0,z又因为 是 的一阶极点，根据留数定理得：0,1z2()1)zef321dRe(),()z kCkeisfzA， ， （4 分）R,0sfi,fei1R(),sfzie（2 分）2d(2)(1
24、)zCeie3、解：由 得：fz和 都是 的孤立奇点，并且是一阶极点， （2 分）0z()f（3 分）1Re,2sf（3 分）3(),z四、综合题1解： 是复平面上的解析函数，则 在平面上满足)(f 2),(),( ybxvaxyu19CR 方程，即： xyxvu,故 对 成立， （4 分）bay2,ixyzf)()(,1, 2（4 分）izyziviuzfx)( 2解： 在复平面有孤立奇异点 与 ，)(f 0zi1（1） 时，1|0z（2 分）100/1() ()()nnniif izizz（2） 时|1z（3 分） 00222)(1)( nnziizizizf（3） 时1|0i )(1)(
25、 iziziizizf （3 分）100)()( nnn izizi（4） 时|1（2 分）0)(1)( nniziizizf3 解： 0()()cositFfted01)2ititite2000()()12itited002（8 分）()()4解：令 ，对方程两边求拉氏变换得：)(sYtyL（4 分）21)(312 SSSY2)(（3 分）2)(1)(1)(1SSS（3 分）tey2)(黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科) 期末试卷 (时间 120 分钟)试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1. 。 （ ）Lnz22.实部与虚部满足柯
26、西黎曼方程的复变函数是解析函数。 （ ）3.幂级数的和 在收敛圆的内部是一个解析函数。 （ ）00)()(nnzCzf4. 分式线性函数具有保形性、保对称点性以及保圆性。 （ ）5. 单位脉冲函数 是偶函数。 （ ）)(t二、填空题（每空 2 分，共 20 分）1. 的复指数形式为 1 ，三角表示式为 2 。i2-装-订-线-212. 3 。dzz1|23. 的幂级数展开式为 4 ，收敛域为 5 。34. 根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将函数的孤立奇点分为三类：6 、 7 、 8 。5.分式线性映射 在 处的旋转角为 9 ，伸缩率为 10 。izf)(i三、证明题(共 2
27、0 分) 1、设 ，证明：函数 为实值函数的充要条件为 .（14 分）()tfowF)(tf )()wF2、若 ，则 （6 分）1|,|z1|z四、计算题（每题 10 分，共 50 分）1. 计算下列各积分的值：（1） （5 分） （2） （5 分）izde0)23( 2)(9zdzi2. 求解析函数 ，已知 。ivuf( fyxu0,)13. 用拉氏变换求解微分方程组 。 ,2)(3)(tetty 1)0(yx4. 求出函数 在孤立奇点处的留数。)1(2)(7zzf5.求一共形映射，使区域 映射为单位圆内部。0Im,:zD黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科) 期末试卷 (时间 120
28、 分钟)试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、判断题（每小题 2 分，共 10 分）-装-订-线-221. 2. 3. 4. 5. 二、填空题（每空 2 分，共 20 分）1 2 3 4 ie42)4sin(coi2 nzz363)1(15 6 可去奇点 7 极点 8 本性奇点 9 10 1z 2三、证明题(共 20 分) 1、证：（1）必要性（1 分）：若函数 为实值函数，由 （1 分）有)(tf dtefwFiw)()(分 ）（分 ）（ 分 ）（分 ）（分 ）（ 1)(1)()( wFdtetf tdtewFwi itiwit（2）充分性（1 分）：若 ，由 （1 分）有dweF
29、tfit)(21)(分 ）（分 ）（ 分 ）（分 ） 1)()(22) tfdeFdetftj jwtjwt 即函数 为实值函数。tf2、证： 分 ）（分 ）（分 ）（ 21121 zzz四、计算题（每题 10 分，共 50 分）1（1） 、 分 ）（分 ）（分 ）（ 14321323)23( 00 iiiiziz eeede(2) 分 ）（分 ）（分 ）（ 1529i29)(9 iz22 dzidzizz2、解：容易验证 u 是全平面上的调和函数（1 分） 。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。 23（2 分）yxuvxyuxv),1(2则 ，)1(),(xd即 Cxx2)(所以
30、（3 分）Cxyv2),(2因而得到一个解析函数 （2 分）)()1()2ixzf 因为 ，故 （1 分） ，所以 （1 分） 。if)0(C(zizf3、解：令 ，对方程两边取拉氏变换，并应用初始条件得)()(,)(tyLsYtxLsX（6 分）.12)(31)( ,sYsXs求解得 （2 分）,YX取拉氏逆变换得原方程组的解为 （2 分）.)(teytx4、解：由于 2，i，- i 是 的一阶零点，因而它们是 的一阶极点。 （1)1(2z )1(2)(7zzf分）（3 分）518)1(2)(lim,)1(2Re 27727 zz zzs（3 分）0)()()(li,)( 72727 iizi izz （3 分）12)(2)1()(li,)1(Re 72727 iizizs izz 245、解：映射 可将 D 变为上半平面（4 分） ， 将上半平面变为单位圆内部（3 分） 。21)(z izw1因此所求映射为（3 分）iz2)1(
