1、1 / 7西 安 交 通 大 学 考 试 题 课 程 复变函数 （A） 系 别 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓 名 学 号 期中 期末一. 填空（每题 3 分，共 30 分）1 i2 0 是函数 的 z51cos)(zf（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）3. ,则 iyxixzf 3223)()fz4. 0,sin1Re5. 函数 在 处的转动角为wz46. 幂级数 的收敛半径为 =_0)(cosnni R7. dz10si8设 C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则dzeC219函数 在复平面上的所有有限奇点处留数的和14zf成绩2 / 7为_ 10 2
2、3| 2)4(1zzd二判断题（每题 3 分，共 30 分）1 在 解析。 【 】nzf)(03 / 72 在 点可微，则 在 解析。 【 】)(zf0)(zf03 是周期函数。 【 】e4 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。 【 】5 设级数 收敛，而 发散，则 的收敛半径为0nc|0nc0nzc1。 【 】6 能在圆环域 展开成洛朗级数。 【 1ta()z )(|Rz】7 为大于 1 的正整数, 成立。 【 】nLnz8如果函数 在 解析，那末映射 在 具有保角性。)(zf0 )(zf0【 】9如果 是 内的调和函数,则 是 内的解析函数。 【 uDyuixfD】10 。 【 】212
3、 233| |11|() zz zddzii三 （8 分） 为调和函数，求 的值，并求出解析函数yevpxsinp。iuzf)(四 （8 分） 求 在圆环域 和 内的)2(1zzf 21zz洛朗展开式。五 （8 分）计算积分 。dxx54cos24 / 7六 （8 分）设 ，其中 C 为圆周 的正向，求Cdzzf 173)(2 3|z。(1)fi七 （8 分）求将带形区域 映射成单位圆的共形映射。)Im(0|az复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各 3 分)1. ； 2. 三级极点 ；3. ；4. 0 ；5. 0 ；6. ln2ike 23z e1；7
4、. ；8. 0；32)1(6s9. 0 ；10. 。)2()()2(1)( jj二.判断 1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。三(8 分) 解: 1)在 |1z-4 分100011()()()()222nnnzfzzz2) 在 |-4201 1()()()()1)(2nnfzzzzz分四.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故-2,54Re25422 izsidxxeii -3 分-)2sin(co54)(lim22 eziiz -6 分故
5、-cs5Re54cos22edxxdxi5 / 7-8 分五.(8 分) 解: 2371()()CfzdzA-3 分由于 1+i 在 所围的圆域内, 故3|z-8iCidiif 1222 |)7()1(7)1( )36(2i分六. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到(映射不唯一,写出任何一个都算对)zaief)(七.(8 分) 解:对方程两端做拉氏变换: 13)(0)(0()(2 sYysYysY代入初始条件,得 -4 分321)(s)1()1(3)( ss 38154s故, -8 分(用ttteety3854留数做也可以)复变函数 (A)的参考
6、答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各 3 分)1. ；2. 三级极点 ；3. ； 4. 0 3ln2ike 23z；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。11cos二.判断 1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。三.(8 分) 解:因为 是调和函数,则有yevpxsin,即 故 -02yvx 0sin)1(22 yeppxx 1p-2 分1) 当 时, , 由 C-R 方程,1pyevxsin6 / 7, 则 , 又由yevxuxcos )(cos),(ygeyxux，故 , 所以
7、 。vgyin)in 0 cyg)(则 -cezf)(3 分2) 当 时, , 由 C-R 方程,1pyevxsin, 则 , 又由yeyvxuxcos )(cos)(ygux，故 , 所以 。xgsi)(in0 cyg)(则 cezfz)(四(8 分) 解: 1)在 2|1z-410001()()()()2 2nnnzfzz分2) 在 1|-20)(121)21)()()( nnzz zzf-4 分五.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故-2,54Re25422 izsidxxeii -3 分-)2sin(co54)(lim22 eziiz -6 分故 -sRe54cos22dxxdxi-8 分六.(8 分) 解: 2371()()CfzdzA7 / 7-3 分由于 1+i 在 所围的圆域内, 故3|z-8iCidiif 1222 |)7()1(7)1( )136(2i分七. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到(映射不唯一,写出任何一个都算对)zaief)(
