1、复变函数与积分变换,教材:复变函数与积分变换 朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社,参考教材：1. 复变函数, 西安交通大学高等数学教研室编著,高等教育出版社 2. 复变函数与拉普拉斯变换,金忆丹编著,浙江大学出版社 3. 复变函数与积分变换,马柏林等编 复旦大学出版社,复变函数与积分变换,课程性质:考查,平时成绩占总评 100% 平时成绩构成: 考勤 20%作业 10%学习态度 10%测验 60% 最后一周的上课时考查,注:上届 48 人不及格,第一章 复数及复变函数,1.1 复数及其运算 1.2 复平面的几何表示 1.3 复数的乘幂与方根 1.4 复平面上的点集 1.5 复变函数 1.6
2、 复变函数的极限与连续,1.1复数及其运算,一、复数的概念,二、复数的四则运算,三、复数的共轭运算,5,一、复数的概念,1. 虚数单位:,对虚数单位的规定:,6,虚数单位的特性:,7,2.复数:,8,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.,9,二、复数的四则运算,1. 两复数的和:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,10,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例2,解,三、复数的共轭运算,11,5
3、. 共轭复数的性质:,以上各式证明略.,12,例1,解,1.2 复数的集合表示,一、复平面,二、复球面与无穷远点,14,一、 复平面,1. 复平面的定义,15,2. 复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,16,3. 复数的辐角,说明,辐角不确定.,17,辐角主值的定义:,18,4. 利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,19,5. 复数和差的模的性质,20,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,6.复数的三角表示和指数表示,21,例1 将下列复数化为三角表示式与指数
4、表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,22,故三角表示式为,指数表示式为,下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,23,例2,解,所以它的复数形式的参数方程为,24,所以它的复数形式的参数方程为,异常重要,25,例3,求下列方程所表示的曲线:,解,方法二：,26,化简后得,27,二 复球面与无穷远点,1. 南极、北极的定义,28,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷
5、远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,29,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,30,31,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正
6、、负无穷大混为一谈,1.3 复数的乘幂与方根,一、乘积与商,二、乘幂与方根,33,一、乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,证,34,两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.,从几何上看, 两复数对应的向量分别为,证毕,35,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.,例如，,36,由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:,37,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,证,按照商的定义,证毕,38,1. n次幂:,二、乘幂与方
7、根,39,棣莫佛公式,棣莫佛介绍,推导过程如下:,2.棣莫佛公式,40,根据棣莫佛公式,41,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,42,从几何上看,43,例1,解,44,即,1.4 复平面上的点集,一、开集与闭集,二、区域,三、曲线,46,一、区域的概念,1. 邻域:,说明,47,2.去心邻域:,说明,48,3.内点:,4.开集:,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.,49,5.区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,6.边界点、边界:,设D是复平面
8、内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点.,50,D的所有边界点组成D的边界.,说明,(1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域,51,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,7.有界区域和无界区域:,52,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,53,二、单连通域与多连通域,1. 连续曲线:,平面曲线的复数表示:,54,2. 光滑曲线:,由几段依
9、次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,55,3. 简单曲线:,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).,56,换句话说, 简单曲线自身不相交.,简单闭曲线的性质:,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,57,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答 案,简单 闭,简单 不闭,不简单 闭,不简单 不闭,58,4. 单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,单连通域,多连通域,59,三、典型例题,解,无界
10、的单连通域(如图).,60,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,61,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,62,有界的多连通域.,63,例2,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,64,是多连通域.,不是区域.,65,66,单连通域.,67,三、小结与思考,本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算;复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面.重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.,棣莫佛(de Moivre)公式,68,思考题,2. 是否任意复数
11、都有确定的辐角?,1. 复数为什么不能比较大小？,69,思考题1答案,由此可见, 在复数中无法定义大小关系.,70,思考题2答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,放映结束，按Esc退出.,71,例1,解,更多参考例子,72,例2,解,73,例6,解,74,例3,证,75,例4,解,(三角式),(指数式),76,例5,解,77,例6,证,78,两边同时开方得,79,例7,证,80,两边平方, 并化简得,81,例8,证,82,两边同时平方,83,例9,解,84,例10,解,如图所示,85,86,例11,解,87,88,例12,解,即,89,90,例13,解,故原方程可写成,91,故原方程的根为,9
12、2,例14,证,利用复数相等可知:,93,等式得证.,94,Leonhard Euler,Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia,欧拉资料,95,Abraham de Moivre,棣莫佛资料,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England,作业:习题一 35页: 5 (1) (3) 8(1) (3),习题一新书32页：5 (1) (3) 8(1) (3),
