1、2 柯西积分定理,1、柯西积分定理,2、不定积分,3、柯西积分定理的推广,4、柯西积分定理推广到复周线的情形,1. 柯西积分定理,观察上节例4，,同，,或说沿z平面上任何闭曲线的,它沿连接起点和终点的任何路径C的积分值都相,此时积分与路线无关，,观察上节例2,积分为零.,(从而积分值不为零).,观察上节例5,满足柯西黎曼方程,由于不,因而在复平面内处处不解析,复积分与路径无关的条件可归结为研究沿任一简单闭曲线积分为零的条件. 1825年法国数学家柯西解决了这一问题, 人们称之为柯西积分定理，它是研究复变解析理论的基石.,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能 与被积函数的解析性及区域的单
2、连通性有关.,定理3.3,(柯西积分定理),1851年，黎曼在给定理附加 “ 在D内连续” 的条件下，得到如下的简单证明:,黎曼证明：,在公式,柯西积分定理也称柯西古萨基本定理.,(定理的古萨证明略).,2. 不定积分,定理 3.6,证,利用导数的定义来证.,由于积分与路线无关,由积分的估值性质,此定理与数学分析中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,定理3.8,由原函数的定义，可得到类似于数学分析中的牛顿-莱布尼兹公式,说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与数学分析中类似的方法去计算.,例1,解,(使用了分析学中的“凑微分”法),例2,解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,例
3、3,解,例4,解,3. 柯西积分定理的推广,4. 柯西积分定理推广到复周线的情形,现将柯西积分定理推广到多连域中. 即将柯西积分定理从以单(一个)周线为边界的有界单连通区域，推广到以多条周线组成的“复周线”为边界的有界多连通区域.,定义3.3,定理3.10,证明：,于是，由复积分的基本性质(3)可得到,定理 3.10也称复合闭路定理.,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,注意: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,闭路变形原理,这一重要事实，称作,例5,解,根据柯西积分定理得,例6,解,依题意知,根据复合闭路定理,从上述两例可知，借助于复合闭路定理，一些比较复杂函数的积分可以转化为比较简单函数的积分来计算.这是计算复积分常用的一种方法.,作业:,
