1、2 用留数定理计算实积分,留数定理为某些类型积分的计算提供了极为有效的方法.其要点是：把求实函数的定积分和反常积分化为复变函数沿周线的积分，然后应用留数定理，使沿周线积分的计算归结为留数计算.,思想方法 :,路线的积分 .,两项主要工作:,1) 将积分范围化为复周线,2) 将被积函数化为复函数,把定积分化为一个复变函数沿某封闭,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,例1 计算积分,解:,则,可用留数定理计算,例2 计算积分,解,则,例3,解,故积分有意义.,则,故由留数定理得,例4 计算,解,则,(在单位圆内),(在单位
2、圆外),分析,可先讨论,有理函数 f (z) 的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,2. 积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使f (z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , f (z)=f (x),可取 f (x)=f (z) .,这里可补线,(以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大, 使f (z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,根据留数定理得 :,当 充分大时, 总可使,例6 计算积分,解,在上半平面有二阶极点,一级阶点,例7 计算积分,解：,在上半平面只有一个,又,二阶极点,故,例8 计算积分,分析,因,在实轴上有奇点,为使封闭路线不经,过奇点,可取图示路线:,解:,取封闭曲线C:,由柯西积分定理得:,由,当 充分小时, 总有,即,例9,证,取路径C如图，,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,
