1、第一章 集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示： （1 ）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2 ）集合的表示方法：列举法与描述法。a、列举法：
2、将集合中的元素一一列举出来 a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1 ）有限集：含有有限个元素的集合（2 ）无限集：含有无限个元素的集合（3 ）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：（1 ）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2 ）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R6
3、、集合间的基本关系（1 ）.“包含”关系（1）子集定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集。记作： （或 B ）注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2 ）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A（2 ）.“包含”关系（2）真子集如果集合 ，但存在元素 xB 且 xA，则集合 A 是集合 B 的真子集B如果 AB, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)读作 A 真含与 B（3 ） “相等 ”关系：A=B
4、 “元素相同则两集合相等”如果 AB 同时 BA 那么 A=B（4 ）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。（5 ）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC如果 A B 且 B C，那么 A C有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集7、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集定 义 由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作A B（读作A 交 B），即 A B=x|x A，且 x B由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,
5、B 的并集记作：A B（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，CCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SA性 质 A A=A A =A B=B AA B A A B BA U A=A A U =AA U B=B U A A U B A U B B(CuA)(C uB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA
6、(C uA)=二、函数的概念1 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1） 解析法：明确函数的定义域（2） 图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
7、等等。（3） 列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x2）上减下加只对 y3）函数 y=f(x)
8、关于 X 轴对称得函数 y=-f(x)4）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)|7）函数 y=f(x) 先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)三、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法
9、：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间
10、、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域 （先考虑其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （
11、4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数7映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函
12、数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）、增减函数1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为y=f(x)的单调增区间.2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不
13、减两种（2）、 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 x1，x2D，且 x1x2； 1作差 f(x1)f(x2)； 2变形（通常是因式分解和配方）； 3定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）； 4下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 5(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(
14、x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 9：函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对
15、称利用定义判断函数奇偶性的步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；b、确定 f(x)与 f(x)的关系；c、作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；b、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇
16、才为奇。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x)f(-x)=1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .10、函数最值及性质的应用（1）、函数的最值a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值b 利用图象求函数的最大（小）值c 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；（2）、函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与 0 作比较，作商法是与 1 作比较。（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0，但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0）。
