1、第二章 信息光学的数学基础引言在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。2.1 傅里叶变换傅里叶级数首先让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式，这里， 称为原函数， 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量 的)(xgnGnfxie 2幅值频谱的概念频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振
2、幅型频谱。为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, )(xg设光栅狭缝总数 N 无限大. 是周期性函数)(xg则：上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为),()(mdxg),21,( )52cos()32cos()2cos(1)( 000 xpxfxfxg 这里 称为空间频率. 是 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为f0f基频整数倍.在 f=0 处有直流分量 .透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:再回到光栅装置.由光栅方程,在近轴
3、条件下因此透镜后焦面上频率为当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的.故傅立叶变换能达到分频的目的。傅里叶变换在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象从数学眼光看，非周期函数可看作周期 的函数据此，可将上述傅里叶级数求和式过d渡到积分表达式结果如下，上式(*) 称为傅里叶变换，下式*) 称为博里叶逆变换对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为简单地表示为,531dxfin xfixfixfixpixfifineG eexg
4、2 525232322 )(1)(1)(1)( 000000 ,sind ),21,0(n,i0fdfxfxnf0从光学眼光看 代表一波前函数，线性相因子 代表平面波成分，(),(yxg )(2yfxie)代表一空间频率，对应一特定方向的平面波于是，积分式(*) 表明，任一波yxf,前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加对于非周期函数，空间频率()的取值不是离散的，而是连续的，存在于 ( )因此，在( )一(yxf, , yxf,)频率间隔中，平面波成分的振幅系数 dA 表示为ydf这给出了谱函数 G( )的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅yxf,的谱密度函数，
5、简称频谱。原函数 及其频谱 G( )，既可以是实数，也可以是),(yxgyxf,复数。2.2 信息光学中常用的若干典型函数的频谱(1)方垒函数如图*(a)，(b)所示从变换光学眼光看，方垒函数相当平行光正入射于单缝时的被前函数。其夫琅禾费衍射场正是（*) 式给出的 sinc 函数形式(2)相幅型方垒函数如图*(a)，(b)所示从变换光学眼光看，这相幅型方垒函数，相当于平行光斜入射于单缝时的波前函数，或相当于平行光正入射于薄棱镜时的波前函数，其夫琅禾费衍射场的o 级班中心移至轴外，两侧依然呈现 函数形式，如(*)式所示csin(3)准单频函数如图*所示准单频函数可以被看作两个相幅型方垒函数之和，
6、从而造成两支频谱，其频谱中心分别在 处如果，准单频函数代表0f纯空目信息而与时间变量无关，或代表纯时间信息而与空间变量无关，则这正负两支频谱无独立的物理意义，应将它俩合起来看作支频谱谱值加倍，而频率区间缩半于(o， )如果，这准单频函数代表定态波场的复振幅分布，则正负频谱成分有独立含义，各自乘以同一时间因子 ，就分别代表两个相反方向传播的行波，而复振幅分布tie就表示那两列行波叠加的驻波场xfA02cos(4)正向准单频函数其中如图*所示，展现有二支频谱，均系 函数线型，其中心频率分别为 从变csin0,f换光学眼光看，这 相当于平行光正入射于一余弦光栅时的波前函数，其夫琅禾费衍射)(xg场有
7、三个离散的亮斑，在亮斑邻近区域有光强的少许扩展，这特点由(*)式所反映(5)三角形函数如图*所示，其频谱恒为正值含有明显的高频成分，方能合成带有尖顶的角形原函数(6)半椭圆形函数这里 是一阶贝塞耳目数，如图*所示)(1J(7)高斯函数如图*所示在函数大家庭中，唯有高斯雨数，其频谱依然是高斯型的，它是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式高斯函数也是光源的一种基本的光谱线型，因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型的导出频谱公式(*过程中用到一个高斯积分，(8)洛伦兹函数如图*所示，一钟型原函数其频谱变成一尖顶帐篷型。(9)二维轴对称函
8、数(圆域函数 )在空域(x,y)平面上取极坐标( )，以简化圆域函数的表示,r称(*)式为傅里叶贝塞耳变换或零阶汉克尔变换，其中 J。为零阶贝塞耳函数将(*)式应用于常见的特例半径为 r 的圆孔函数，即得其频谱为这结果与我们先前介绍过的圆孔夫琅禾费衍射场的表达式是相似的，仅在系数上有点差别若将其中的 改写为我们一直熟悉的空间频率符号 ，且令 ，角 是衍f/sinf射方向与圆心轴即透镜光轴的夹角，那(*I)式就表示了波长为 的一光束正入射于圆孔时的夫琅禾费衍射场常用函数的傅里叶变换对原函数 频谱函数矩形函数2.3 卷积卷积的定义函数 和 的卷积用符号 表示，它定义为)(xfh)(xhfdfxf
9、)(根据积分的几何意义，可以把求卷积理解为求两个函数 和 重叠部分的(f)xh面积。卷积的性质（1）线性性质（2）交换律（3）缩放性质（4）结合律（5）与 的卷积卷积的计算01)(rectax（1）图解法为了详细说明图解法的过程，我们选两个函数 和 世纪计算)(xfh器卷积 。设 和 为实寒暑，如图所示。其具体数学表达式为)(xg)(fxh 30 1)( 30 2,xxh,f图解法求卷积 有如下四个步骤：)(xg1) 折叠由于卷积满足交换率，根据卷积的定义 dxfhdxhfxhf )()()(把任一个函数 或 相对于纵坐标作出镜像 或 这里我们作 的景)(f f )(h镜像 。为此，虚设积分变
10、量 ，作出 和 函数图形，如下图所示。(h)(h2)位移。为了得到 或 需要把 或 沿 x 轴位移。为此，)(xf)(h)(fh要在选一个坐标轴 x，它与 平行，并在其上选一个坐标远点， 平抑一段距离 x 便)(得到 。位移量 x 的正负及原点选取的规定为：当 x0 时，函数图形 右移，)(h )(h当 x0 时，函数图形 左移，当 x0 时，函数图形 ，见图)(h )(xh3）相乘。将 与 按变量 逐点相乘得到 ，从图形上来)(f)xh)()xhf看就是这两个函数重叠部分的积。由于图解过程中 保持不变，因此必须沿 x 轴来回(f移动 ，得到对应不同 x 值得两函数的乘积。在 x 0 情况下，
11、当 时，)(h 0，则 ，当 时， ，则乘积 ，只0f 0)(hf 1)(h)(hf是当 时， 和 ，乘积 ，两函数的成绩为图1)( f*中的直线 AB（一般为曲线） 。4）积分。求出乘积 曲线下的面积，即两个函数重叠部分的面积，该)()xhf面积就是 x 出的卷积值。选择不同的位移量 ，就可得到相应的卷积 ，图0x)(0xg*(b)(f)分别为 、 、 、 。我们还可以求出其他卷积值并画出)0(g1)3(g5去县，该曲线就是 和 的卷积，如图*xg)( xfh（2）解析法解析法就是直接积分 求出 的值。dxff )()( )(xg有图解法求出卷积的结果可见，一般卷积的结果是分段函数，所以积分
12、一般也要分段积分。由于积分是中含有参变量 x，求积分的关键是确定积分的上下限，一般要与图解法结合起来进行。以下仍以 和 为例说明解析法计算卷积的过程。根据图解法的)(fh结果，卷积可分为以下四段来积分：1） 。这时不论 x 为何值， 与 均无重叠部分，乘积x)(f)x，其积分也等于零。0)()hf2） 。 的非零区间为0，3 ，由于 的非零区间为-1，2 ，x)(f )(h的非零区间为-2 ，1，因此， 的非零区间为 。当)( )(xhx1,2时， ， ；当 时， ，0,x0)(f 0f )3(0)(h。因此， 的非零区间为 ，卷积结果为)()hf )(xx,)1(2)( 10dhfhxf x
13、)21(x从上面的分析中，可以得到确定上下限的规律。如果两个函数 与 的非)(f)xh零区间的上限为 和 ，下限为 和 ，则计算卷积的上限为 ，计算卷积1U21L2 ,min21U的下限为 。,maxL3） 。 的非零区间为0，3 ，由于 的非零区间为52)(f )(xh，根据上述选择几分上下限的原则，卷积结果为1,x )5(2)()( 32xdxhfxhf x524） 。这时 ，所以 。综合以上结果，用解析法计5x0)()xhf 0)(g算卷积的结果为： 5 x02)5(1- )()()( dxhfxhfxg由此可见，用解析法计算卷积于永图解法一样繁琐。在计算复杂函数的卷积时，一般要把解析法
14、和图解法结合起来进行，图解法用于几分区间的分段，解析法用于计算复杂曲线下的面积。)()xhf2.4 相关相关的定义若 和 是实变量的复值函数，函数 和 的相关用符号)(xf )(xfh或 表示，它定义为h)(rfh dhxfxhfxfh )()(式中 是 的复共轭函数。)(xh若 是实变量的复值函数，则它的自相关定义为f dfxfxffxrf )()()(相关的性质1）互相关的性质相关运算不具有交换性，即 )()()( xfhxrhxfrffh hff )0()(2hffhrxr2）自相关的性质自相关函数具有厄密对程性，即 )()(xrff )0()(2ffhrx相关的计算相关的计算方法和计算
15、卷积一样，有图解法和解析法两种，计算步骤也大致相同。只是图解法中只有位移、相乘、积分三个步骤；解析法直接安定以积分时，同样有积分域的分段和确定上下限的问题，其方法和规则与计算卷积相同。关于自相关函数意义的说明的自相关函数 可以用来描述函数 与 之间的相关性由于)(xf )(xrf )(xf(f是由 通过平移 x 距离而形成的，它们之间的相关性，就反映了函数 变 )(f化的快慢反映了 与 的相似程度。)(f(f2.5 函数； 函数的定义函数是狄拉克在量子力学中首先引入的种广义函数，其定义为这表明， 函数是一种特殊的脉冲函数脉冲宽度为 o、脉冲高度无限而函数所包容的面积为 1(归一化)如果在 处出
16、现这种脉冲函数则表示为 ，即0x)(0x实际上，不同线型的单脉冲函数，在一定收敛要求下其极限状态就过渡为 函数，如图*所示。（a）单缝衍射函数（b）高斯函数（c）方垒函数（e）这表明，常数 1 的频谱为 函数， 函数的频谱月 1。我们知道，在物理学的许多领域是以点模型为基石而构建理论体系，比如力学中的质点，电学中的点电荷和光学个的点光源、物点、像点等等。 函数正是这类点模型的数学写照或者说，当空间存在这类“点物”时，我们就可以用 函数来描写相应的密度分布或强度分布比如，在一维 x 轴 处有一质量为 m 的质点，则质量分布线密度 函数为0 同理，如果， 处是一电荷量为 q 的点电荷则电荷分布的线
17、密度密数为0x如果( )处是一光功率为 的物点，则在(x,y)平面上光强分布函数表示为0,yW有了 函数工具的辅助，傅里叶变换的应用范围和功能得以扩大和增强 函数的性质及其傅里叶变换(1) 函数是偶函数，即(2) 函数的筛选性对于任意连续函数 ，它与 函数的乘积再积分，结果为)(xg函数所具有的这种筛选性，使它成为测量函数值的一很标竿当这标竿在整个变量区间移动*就可以把持测函数曲线显示出来，这就过渡为一卷积运算(3) 函数的卷积性质这表明，任何连续函数均可以被看作函数自身与 函数的卷积从光学眼光看，连续分布于(x ，y) 平面上的复振幅 或光强函数 ，以往常将它看作连续密排的点源或),(yxU
18、),(yxI点集，现在给出的 函数的卷积性质对这一观点作出了种数学注释(4) 函数的尺度缩放性质，(5) 函数与傅里叶变换以上 af 各变换关系分别相应显示于下图。图-几种用 函数表示的傅立叶变换梳状函数（也叫抽样函数）梳状函数用符号 comb(x)表示，定义为 nxcomb)()(式中 n 为整数。该函数是一间隔为 1 的函数序列，像一把梳子，故也成为梳状函数。由 函数的性质可以得到 comb(x)的如下性质：（1）比例变换特性： nbxbxcom)(1)(（2）奇偶性： )()(co是偶函数。)(xcomb（3）周期性： )()(xcombnxcob即 使周期为 1 的周期函数。)(xco
19、b（4）抽样特性： 函数与任意函数 相乘可以对该函数周期抽样，而抽样)(xcm)(xf值只存在 函数所在的整数点处。如图所示nnffob)()(若抽样点为非整数点处，且抽样周期不为 1，则有 n bxbxffbxcm)()()(1 00（5）卷积特性： nxffxcomb)()(（6）傅里叶变换特性 )(1)(afcombaxcobFT梳状函数2.6 傅里叶变换的基本性质（1）线性性质若 )()(),()(2211 fFxfTfFxfT则 )()()()( 2121 fCffCf 这表明傅里叶变换是现行变换。（2）对程性若 )()fFxfT则 )()(xff（3）坐标缩放性质若 )()fFxf
20、T则 )(1)(aff这表明函数在空域的展宽（或压缩） ，必然导致频域上的压缩（展宽） 。（4）平移性若 )()fFxfT则 )2exp()( 00fiff （5）面积对应关系 dfFff)()0(（6）？2.7 傅里叶变换的基本定理（1）卷积定理若 )(),()fGxgFTfxfFT则： )()(fxf积定理表明，对于通过傅里叶变换联系起来的数域来说，一个数域中的卷积运算对应着另个数域中的乘积运算卷积定理对某些运算来说是至关重要的。（2）相关定理(维纳辛钦定理 )互相关定理若 )(),(fGxgFTfxfFT则： )()(*ff习惯上人们称 称为函数 的互谱能量密度或简称互谱密度因)(*Gf
21、F ,xgf此，互相关定理表明，两个函数的互相关与其互谱密度构成博里叶变换对自相关定理若 )()fFxfT则： 2*)()()(fFfff 习惯上，人们称厂(f，V) 为习惯上人们称 称为函数 的谱能量密度或简称互谱密度。因此，自)(*fF)(xf相关定理表明，个函数的自相关函数与其能谱密度构成傅里叶变换对（3）巴塞伐定理若 )()fxfT且 存在，则 dfFfdxf 22(),0)( dfFfdxf 22)()0(,)(在应用问题中，积分 都可以表示某种能量本定理表明对 ffxf 22)(,)(能量计算既可在空域中进行也可在频域中进行，两者完全等价从物理意义上看这是能量守恒的体现，故也称为能量积分定理（4）导数定理若 )(),(),()()( fFdxfdfFxfT mm则： )(2()( fFifxFTfmm（5）积分定理(一维)习题
