1、单电子辐射跃迁选择定则的讨论（理学院物理系 物理学）摘 要原子辐射跃迁选择定则是原子物理学中的一个重要原则。本文主要采用两种方法对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。第一种方法，利用量子方法讨论；第二种方法，利用半经典方法讨论；两种方法分别对电子的轨道和自旋有无耦合的情况下进行了推导。用两种不同的方法，得到了一致的结果。关键词：电偶极辐射 ； 跃迁几率 ； 角动量守恒 ； 量子数 ； 选择定则IDiscussion of Single Electrons transition Selection Rule (Department of Physics, College of science, Ph
2、ysics )AbstractSelection rule of atom transition is one of the important principles in the atom physics. This paper adopts two methods to discuss the selection rule of the single electron transition.In the first method, quantum method is used to analyze the problem.In the second method, semiclassica
3、l method is used to discuss the thesis. Two cases that the electric orbit and spin have coupling and no coupling are respectively discussed in both methods. By two different methods, the same result is conclued.Keywords：Electric dipole radiation；Transition probability；Conservation of angular momentu
4、m； Quantum number；Selection ruleII目录1 引言.12 量子方法讨论选择定则.12.1 电子的轨道和自旋无耦合的情况.12.2 电子的轨道和自旋有耦合的情况.33 半经典方法讨论选择定则.73.1 角动量的矢量合成法则.73.2 电子组态变动定则.73.3 无耦合的跃迁选择定则9LS3.4 有耦合的跃迁选择定则.104 结论11参考文献12致谢1301 引言微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）的运动规律，是本世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。随着它的出现，人类对于物质微观结构的认识日益深入，从而能较深刻地掌握物质的微观理论，为用于
5、生产开辟了广阔的途径。电子跃迁就是微观状态发生跳跃式变化的过程。由于微观粒子的状态常常是分立的，所以从一个状态到另一个状态的变化常常是跳跃式的。跃迁选择定则有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。从跃迁的性质来分，主要分为电性和磁性两种。在原子物理中涉及的 L-S 耦合跃迁选择定则指的是电偶极矩跃迁，原因是电偶极矩跃迁强度比磁极跃迁和多极矩跃迁强度大得多（ 倍） 。原子的辐射跃迁选择定则也是指电偶极5810辐射跃迁选择定则。本文采用量子和半经典两种方法，分别从电子的轨道和自旋（L-S）有无耦合的情况下对电偶极辐射跃迁选择定则加以讨论。使人们对单电子辐射跃迁选择定则有更加深入的理解。2 量子方
6、法讨论选择定则下面分别从电子的轨道和自旋有无耦合的情况下对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。2.1 电子的轨道和自旋无耦合的情况原子对光的发射和吸收是原子体系与光相互作用所产生的现象。当光照射到原子上时，光波中的电场 和磁场 都对原子中的电子有作用，但和电场的作用相比较，磁场对B电子的作用可以忽略，所以只考虑光波中的电场对电子的作用。对于入射光为各向同性，且偏振是无规则的，则原子体系在单位时间内由 态跃迁到 态的几率为：km2243skmkewIr（1） 1由此可知，当且仅当 不为零,即其三个直角坐标系分量 和 不全mkkr ,mkzxky为零时，原子光吸收的跃迁几率方不为零。再由：（2）243
7、skmkmkeBr（3）2kkAc两式可知原子受激发射和自发发射的跃迁几率也不为零。其中 表示吸收系数，kmB表示受激发射系数， 表示自发发射系数。这称原子在 和 两能级之间的跃迁mkBkm 0E是允许的。否则，辐射跃迁是禁戒的。因此 这个条件，可以得出产生原子跃迁选0mkr择定则。我们具体讨论氢原子、类氢离子及碱金属原子。其哈密顿算符写成为 20pHVr其本征矢量若用电子自旋轨道角动量无耦合的态矢量 ，在 和 共,lsnmr zs同表象写为：（4）,ls l snmznlmzrRrYX则 的具体形式是:mkz,lslsnz*cosnlmlnmrrd23*00,cos,snl l ll mRY
8、d （5） 利用球谐函数的一个递推公式：221, 1,cos3l l ll lmmmYYY（6）及球谐函数的正交归一化表示式，可知若满足：00lllssl （7）2时，则矩阵元 ,0lslsnmznm 同样， 和 的具体形式分别为：mkxy,lslsnx*incosnlmlnmrrd（8） 2*3*00,sin,2snl l liil meRYYd ,lslsy*isnlmlnmrrd（9）2*3*00,sin,2snl l liil meRYYd 利用球谐函数的另一个递推公式：（10）1, 1,(1)()()si23l l li ll llmmmeY 及球谐函数的正交归一化表示式可知，若（1
9、1）110lllssl 时，则矩阵元 ,lslsnmxnm 0l ly综合（7） （11）两式可知：10lsl为跃迁的电偶极辐射选择定则。原子的两个定态 和,lsnm之间如果满足上式，则在电偶极近似下光吸收和发射的跃迁几率不等于,lsnm零，会有光谱线产生。32.2 电子的轨道和自旋有耦合的情况原子由一种态跃迁到另一种态有一定的几率，设电子的自旋和轨道有耦合作用下电子的本征态为 。则电子由态 跃迁到 电偶极自发跃迁几率为:jnlmjnlmjnlm（12）234neArc其中 各代表 4 个量子数， 。 上式中,n llE（13）22nnnrxyz三个矩阵元中至少有一个不等于零，跃迁才是允许的。
10、 可以表示为：jlm（14）,j jnlmllzRrs其中 为径向波函数， 为 的共同本征函数，可以分成两类：()nlRrjl2,z（15）,111,2j lmAm jlYjll（16）,1,21j lmBm jljlmllY利用式（14） ，矩阵元 可以分离变量地表示成：nr（17）3jjlmlnlrRrd 其中径向积分通常与选择定则无关。利用公式（18）2rr（19）jjjjABAmm即得， （20）jjj jjjBAAAmrrr 21类似地，可得4（21）jjjjBABmmrr 再利用（18）式，可得（22）2jjjjjjAABAmmmr （23） jjjjjjB Br 利用 Pauli
11、 矩阵 的具体形式为：， ，01x0yi10z以及 的正交归一性和式（15） （16） （17）三式就可算出这些矩阵元。这样计算较之直lmY接利用 的递推公式要方便得多，特别是有利于确定选择定则，但是定性地利用 的递l lmY推公式还是有益的，它们是：（24）1,coslmllmlzYYr（25）1,1inil lllxiye由此可见，量子数 的选择定则是 。l1下面分类讨论（1） 1nllEl （a） 型A112jljljjj 中球谐函数的阶为 ； 中球谐函数的阶为 。 中球谐函数的阶为 ；jAmjAm ljBm1l中球谐函数的阶为 。jB l作用的结果，并不改变球谐函数的阶,属于不同阶的球
12、谐函数是互相正交的，因此式（22）右端第二项为 0，从而 12jj jjAABmmr 51, 1,21.2(3) 2lmlmlllYlYdl 容易看出，仅当 时，上式才不等于 0，故 的选择定则为：,mj,1jjj（b） 型B1112jljljjj 根据式（20） ，只需将情况（a）所得公式中 换成 可得到相应的矩阵元公式，即 l2, ,1, ,112()jj lmlmBm l lYYrdl l 容易看出，仅当 时，上式才不等于 0，故 的选择定则为,1j,1jjjm（c） 型AB1022jljlljj 根据式（23）取 ，利用球谐函数的正交性，易得 的选择定则仍为：jl jm0,1jjjm（
13、d） 型BA1222jljljjj 由（21）及（23）得到 12jj jj jjABABmmmr 中球谐函数的阶为 ， 中球谐函数的阶为 ， 中球谐函数的阶为jAm 1lj lj6， 中球谐函数的阶为 。2ljBml由球谐函数的正交性，易见上式右端等于 0，故 的跃迁是禁戒的。2j总结以上即得，跃迁 的选择定则为：nllE1,jjm（2） 1nllEl 计算类似于（1） ，选择定则为： 1,0,1jjm综合（1） （2）可知 的选择定则为：nllE。10,0,1jj3 半经典方法讨论选择定则3.1 角动量的矢量合成法则假设 、 分别是量子数为 、 的两个角动量矢量，其角动量大小分别表示1mp
14、2 1m2为 和 ，则它们的合矢量 也是量子化1()2()p12mp的，且 由 和 按矢量的平行四边形法则相加，其大小表示为 ，m12m ()其中 。12,.3.2 电子变动组态定则原子中的辐射属电磁相互作用过程，所以辐射前后体系的宇称守恒。当单个电子在某中心场中运动时，其状态可由下述波函数描写为：（26）, ,znlmznllmzrsrsRrYXs7其中 为径向波函数， 为球谐函数， 为电子的自旋波函数。()nlRr,lmYzXs在球坐标系下对（26）作空间反演 变换。 不r,r难推知：（27）,1,1,l lznmzzrsrsrs 可见，波函数（即电子）的宇称决定于电子的轨道量子数 ，当
15、为奇数时，宇称为寄；ll当 为偶数时，宇称为偶。用符号 标记宇称，则在中心场中运动的电子的宇称：l I（28）1l对核外有 个电子的原子，忽略电子间的相互作用，则原子的总体波函数为：N（29）111222121.,.!NNNkkkNNkkkqqq 其中 。,iziqrs由（28）知，第 个电子的宇称为 ，而（29）式右端展开式中的每一项都是i1il个单电子波函数的乘积，很明显 的宇称必为：N2,.Nq（30）1ilNiI即原子的宇称为原子内有单电子的宇称之积。设辐射前后原子的宇称分别为 、 ，因辐射出的光子的宇称为 ，则由宇称NI 1I守恒定律得 ，用（30）式的形式表示 、 ，则:NIINI
16、811i iNNllii它等价于偶性态（ 偶数） 奇性态（ 奇数） （31）ilil这就是关于电子组态变动的定则。3.3 无耦合的跃迁选择定则LS设电子在辐射前后的角动量和自旋角动量分别为 、 、 、 。辐射出的光子1lps2lsp的角动量为 ，其中 。在电偶极辐射中角动量守恒ip1i（32）12llip根据准备知识 3.1 可知 ，由于 ，则有：12,.li1i（33）122ll讨论： 当 时， ，即 。2l12,l10,l 当 时，由于轨道角动量量子数是大于或等于零的整数，所以 。由 20l（33）式得 ，所以 。1l12l综合及准备知识 3.2 可得选择定则： l辐射前后电子的角动量沿场
17、 方向的角动量也守恒：z（34）12zzzllip即 （35）12llim对于光子 代入（35）整理得0,1im120,lll在电偶极辐射中，由于电偶极算符与自旋无关，所以它恒不改变电子的自旋状态，9应用自旋角动量的矢量模型，可以认为辐射前后原子的自旋角动量矢量相同，即：（36）12sp辐射前后电子的自旋角动量沿场 方向也守恒：z（37）12zzss故有（38）12sm所以 120ss3.4 有耦合的跃迁选择定则LS所谓 耦合是根据角动量合成法则，将原子的轨道角动量 和自旋角动量 合lpsp成原子的总角动量 。jp设 、 、 、 、 、 分别为辐射前后电子的总角动量、轨道角动量、自1jl1s2
18、jl2sp旋角动量，辐射出的光子的角动量为 ，其中 ,电极辐射前后角动量守恒：i1i（39）12jjip根据准备知识 3.1 可知 的取值是 ，由于 ，则有：1j 2,.iji1i（40）122jj讨论：当 时， 。即 。21j22,jj120,jj当 时，由于总角动量量子数只能是大于零的整数或半整数， 的可能取值2j 2j只能是 。故由（40）式可知 ,即 。1132j120,jj综合可得总角动量量子数的选择定则： 0,1j10辐射前后原子的自旋角动量矢量相同，即：（41）12sp所以自旋量子数的选择定则为 。 0（42）而在 耦合中LS（43）11jlsp（44）22jls将（41） 、
19、（43）和（44）式代入（39）式，得：（45）12llip因 ,由准备知识 3.1 可知 的取值是：1i1l（46）22,ll讨论： 当 时， ，即 。2l12,l10, 当 时，由于轨道角动量量子数是大于或等于零的整数，所以 。由 20l（46）式得 ，所以 。1l12l综合及准备知识 3.2 得选择定则： l辐射前后角动量沿场 方向守恒：z（47）12zzzjjip故有 （48）12jjim对于光子 代入（48）式整理得：0,1im120,jjj114 结论本文通过用两种方法对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论，得到的结果是一致的。但用量子理论讨论的比较完善，半经典方法更简单易懂。从结论中我
20、们知道并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的。只有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。用量子和半经典两种方法来讨论选择定则，使其更具普遍性。参 考 文 献1 周世勋.量子力学教程M.北京：人民教育出版社，1979,2.2 褚圣麟.原子物理学M.高等教育出版社，1979,5.3 曾谨言.量子力学M.北京：科学出版社，1981,7.4 杨福家.原子物理学(第二版)M.高等教育出版社，1990,45 张哲华、刘莲军.量子力学与原子物理学M.武汉大学出版社，1997,9.6 谷震槐.电偶极辐射跃迁的选择定则J.西北师范学院学报，1985,3.7 郭顾鸿.电动力学M. 人民教育出版社，1979,
21、1.8 顾建中. 原子物理学M.北京:高等教育出版社，1990,2.9 李平、尹海涛、冯立峰、马志民.关于选择定则L=0 的研究J.东北林业大学学报.2005;33(2):10910 郝培苓.原子辐射跃迁选择定则的研究J.河北大学学报(自然科学版).1991;4:82-8412致谢首先，我在此向我的指导老师*表达诚挚的谢意，由衷感谢她在本论文的撰写过程中给予我在学术上的指导和帮助。其次，感谢在整个毕业设计期间同学们给我的帮助和关怀，正是因为有了你们的帮助，才让我不仅学到了本次课题所涉及的新知识，更让我感觉到了知识以外的东西，那就是团结的力量。最后，从某种意义上讲，这篇论文是大家共同努力的结晶。没有他们的帮助我的论文不可能完成得如此顺利。
