1、9.2.3 毕奥-萨伐尔定律 (The Biot - Savart Law),真空中的磁导率 (The permeability of free space),大小,方向,一、毕奥-萨伐尔定律,且,二、磁场叠加原理,任意电流的磁场,电流元,讨论,1. 孤立的稳恒电流元不存在。但此定律是基于实验的。,2. 电流元的磁场,磁感应线为在垂直于电流元的平面内、圆心在电流元轴线上的一系列同心圆。 方向：右手定则。,3. 电流元不在自身方向上激发磁场。,4. 无限大均匀介质中,：介质的磁导率,M,9.2.4 毕奥-萨伐尔定律的应用,求给定形状的载流导体周围的磁场分布。,方法： 矢量叠加,步骤： 1. 将载
2、流导体分成电流元 。,2. 该电流元在场点 P 处的,4. 统一变量，确定积分上下限，计算各分量。最后写出 矢量式。,3. 分析另一电流元 在场点 P 处的 的方向。若与 方向不同，将进行矢量分解。,例 载流直导线，电流强度为 I，求距导线垂直距离为 a 处的磁感应强度 (Due to a Current in a Straight Line)。,解：,O,l,a,讨论,（1）无限长直导线 1 = 0，2 = p,2,1,磁感线,右手螺旋法则,（3）场点在直电流或它的延长线上,B = 0,I,（2）半无限长直导线端点外，,1 = p/2，j2 = p,例 无限长直导线弯成图示的形状，电流为 I
3、，求 P、R、S、T 各点的磁感应强度。,I,I,S,A,P,T,R,L,L,a,a,a,a,a,解：,设 LA 在场点产生的磁感应强度为,AL 在场点产生的磁感应强度为,P：,R：,例 真空中有一宽为 b 的无限长金属薄板，电流为 I 且均匀分布，P 点在过金属板中分线的垂线上，到板的距离为 d，P 点与金属面共面，到金属板中分线的距离为 a，求 P 点和 P 点的磁感应强度。,解：,取宽为 dx 无限长且平行于 金属板中分线的窄条，视 为无限长载流直导线，其 电流为：,在 P 点：,方向在 xy 平面内且垂直于,y,x,dx,x,r,方向沿 x 轴方向,可由电流分布具有对称性得到。,O,P
4、,P 点：,讨论,（1）若,此时板可视为无限长载流直导线。,（2）若,此时板可视为无限大。,令,面电流密度,此为面电流密度为 i 的 无限大平板两侧磁感 应强度大小的公式。,例 一半径为 R 的 1/4 圆筒形无限长金属薄片沿轴向均匀通有电流 I， 求轴线上任一点磁感应强度。,dl = Rdq,解：建立如图所示坐标系，O 点 磁感应强度等于许多无限长直线 电流的磁感应强度的矢量和,由对称性分析知,所以,例 圆电流 (I，R) 轴线上的磁场 (Due to a Current Loop),解：,由对称性,q,q,x,方向：+ x,(1) 方向：,x,右手定则,(2) x = 0 圆心处,(3)
5、x R,1/n 电流圆弧的圆心,例 求 O 点处的磁感应强度。,解：分析磁场方向，利用磁场叠加原理，可得,右,思考题：,例 求半圆形电流 I 在半圆的轴线上距圆心距离 x 处的磁感应强度,解：,x,y,O,x,P,R,z,q,q,I,由毕奥萨伐尔定律,整个半圆电流在 P 点处产生的磁感应强度为,例 求半圆形电流在半圆的轴线上离圆心距离 x 处的,解：,z,垂直于 和 所确定的平面，在由 和 x 轴确定的平面内。,q,f,由对称性,q,f,z,q,f,q,f,例 己知：均匀带电圆盘，半径为 R，总电量 Q。可绕垂直轴以角速度 匀速转动。求：距 O 为 x 处 P 点的 = ?,解：思路 (1)
6、带电圆盘匀速转动，可谓电流。,(2) 视带电圆盘由许多小圆环组成。 小圆环在 P 处磁场己知。,(3) 再叠加合成。,具体求解：,x,r,dr,(1) 取半径为 r，宽为 dr 的小电流元，带电量,(2) 该电流元在场点 P 处的磁场,的方向，与 方向相同。,(3) 分析另一环状电流元在场点 P 处的,(4) 统一变量，计算结果。,方向与 方向一致。,例 求均匀密绕螺线管轴线上的磁场。设其长度为 L，横截面半径 R，单位长度有 n 匝线圈，电流强度为 I。(Due to a Current in a Solenoid),P,r,解：dI = nIdl,M,N,方向：,右手螺旋,（1）无限长螺线
7、管,（2）半无限长螺线管端点中心处，例 A1 点,q2,.,A1,亥姆霍兹线圈,x,O,B,例 两个相同及共轴的圆线圈，半径为 0.1 m，每一线圈有 20 匝，它们之间的距离为 0.1 m，通过两线圈的电流为 0.5 A，求每一线圈中心处的磁感应强度：(1) 两线圈中的电流方向相同；(2) 两线圈中的电流方向相反。,解：任一线圈中心处的磁感应强度为：,(1) 电流方向相同：,(2) 电流方向相反：,* 运动电荷的磁场(The Magnetic Field of Moving Point Charges),从毕-萨定律可导出运动带电粒子的磁场公式,电流元 中共有 ndlS 个作定向运动的带电粒
8、子,共同产生磁场,同向，由此算出每个粒子的磁场,例 按玻尔模型， 对基态氢原子，电子绕原子核做半径为 0.5310-10 m 的圆周运动，速度为 2.2106 m/s。求：这个电子在核处产生的磁场的磁感应强度的大小。,解：,= 12.5 (T),e,一、磁场高斯定理,1、磁通量m (Magnetic Flux),1）定义：通过某一个面的磁感线的条数。,2）单位：韦伯 Wb,1） 无限小面元,2） 有限面积,2、磁通量的计算,4 闭合曲面,规定：外法线方向为 正向,磁感应线穿入,磁感应线穿出,= 0,磁通连续定理,Guasss Law for Magnetism The net flux thr
9、ough a closed surface is zero,磁场的高斯定理：,在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 沿任一闭合环路的线积分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的0倍。,二、安培环路定理 Ampres Law,The line integral of the magnetic field around any closed path is equal to m0 times the net current across the area bounded by the path.,空间所有电流共同产生的,L：在场中任取的一有向闭合曲线,L 上的任一有向线元,I内 ：与 L 套连的电流 与
10、L 绕行方向成右手关系时取正值，成左手关系时取负值。,与 L 套连的电流的代数和。,+,-,(1) 闭合曲线包围一载流长直导线,L,若L反向,规定：L与I 的方向成右手关系，I 0,I,L,L与I 的方向成左手关系，I 0,（2）闭合曲线不包围载流直导线,（3）多根载流导线,（1）磁场的基本定律,(2) 由空间所有电流激发，但 的环流仅由它所包围的电流决定,（3）I内是闭合稳恒电流,（4）I内是与闭合回路相铰链的电流,(5) 多匝电流与回路相铰链,N匝电流与回路铰链,I,I,+2 I5,对于一些对称分布的电流，可以通过取合适的环路L，利用磁场的安培环路定理比较方便地求解场量,三. 安培环路定理
11、在解场方面的应用Applications of Ampres Law,1. 根据电流分布的对称性分析磁场分布的对称性。,2. 根据磁场分布的对称性选择合适的积分路径。,步骤：,例求无限长均匀载流圆柱面( I, R )的磁场。 A long ,straight ,thing-wall ,cylindrical shell of radius R carries a current I. Find B inside and outside the cylinder.,柱外：r R,柱内： r R,=0,B=0,解：,例求无限长均匀载流圆柱体 ( I, R )的磁场。,柱外：r R,柱内：r R,解
12、：,例 求均匀密绕长直螺线管的磁感强度。设单位长度的匝数为n ,稳恒电流强度为I.,= 0,解：（1）管内,（2）管外,用安培环路定理解题小结,1.安培环路定理的成立是普遍的，但为了用它求磁场， 电流分布必须具有特殊对称性；,2.分析对称性，选取适当的闭合回路作为安培环路；,4.求出与所选回路铰链的电流,利用安培环路定理求出磁场；,5.与环路铰链的电流有时也要通过积分求得；,6.对所得结果作必要的讨论；,7.解题前必须作一个好的图，这对正确求解是十分必要的。,例无限大载流平面，面电流的线密度 i (平面内通过垂直于电流方向的单位长度的电流强度）,求空间的磁感应强度。,解：,P,上：向右,下：向左,=0i l,匀强磁场,例求螺绕环的磁场。设其轴线的半径为R，环上均匀密绕 N匝线圈。,解：（1）管内,（2）管外,作业： 9-2，9-3，9-4，9-5，9-8,
