1、知识就是力量本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考6.6 不等式的应用知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用 a+b2 求最小值；用 ab（ ） 2 求最大值.ba2b2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.点击双基1.已知函数 f（x ）=log （x 2ax +3a）在2，+）上是减函数，则实数 a 的范围是1A.（，4 B.（4，4C.（0，12） D.（0，4解析：f（x） =log （x 2 ax+3a）在2，+）上是减函
2、数，1u=x 2ax+3a 在2，+）上为增函数，且在2，+）上恒大于 0. .034，4a4.答案：B2.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. cm2 B.4 cm 23C.3 cm2 D.2 cm23解析：设两段长分别为 x cm， （12x ） cm，则 S= （ ） 2+ （ ） 2= （x 212x+72）= （x6） 2+36243x4318318.答案：D3.（理）如果 0a1，0xy1，且 logaxlogay=1，那么 xyA.无最大值也无最小值B.有最大值无最小值C.无最大值有最小值D.有最大值也有最小值解析：
3、log ax+logay2 =2，yxalog知识就是力量log axy2.0xya 2.答案：B（文）已知 abc0，若 P= ，Q = ，则acbbcA.PQ B.P Q C.PQ D.PQ解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P= ，Q=1，PQ.31答案：D4.已知实数 x、y 满足 =x y，则 x 的取值范围是_.解析：由 =xy ，得 y2xy+x =0.yR， =x24x0.0x4.x=0 时 y=0 不符合题意，0x4.答案：0x45.已知不等式组 的解集是不等式 2x29x+a0 的解集的子集，则实数08632x，a 的取值范围是_.解析：由 得 2x3.，086342
4、x则 a9.03）（ ）（f答案：（，9典例剖析【例 1】 函数 y= 的最大值为 4，最小值为1，求常数 a、b 的值.12xba剖析：由于函数是分式函数，且定义域为 R，故可用判别式法求最值.解：由 y= 去分母整理得2yx22ax+yb=0. 对于，有实根的条件是 0，即（2a） 24y（y b）0.y 2bya 20.又1y 4，y 2bya 2=0 的两根为1 和 4. 解得 或.4， 32ba， .，评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展知识就是力量已知 x、yR +且 + =1，求 x+y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.x2y8由本题的启发，你能解下列问题吗
5、？已知 a、b 是正常数，a+b=10，又 x、yR +，且 + =1，x+ y 的最小值为 18.求 a、b 的值.略解：x+y=（x +y） （ ）=10+ + 10+2 =18.x82xy28yx82当且仅当 时取等号.由 解得2418xy， .26y，当 x=6，y=12 时，x +y 的最小值为 18.同上题，x+y=（x +y） （ + ）=a+b+ a+ b+2 .yx由 得 或， ，1082ba，2.8，【例 2】 已知 a0，求函数 y= 的最小值.ax21解：y= + ，x2a21当 0a1 时，y= + 2，x当且仅当 x= 时取等号，y min=2.a当 a1 时，令
6、t= （ t ）.2ay=f（t）=t+ .t（t）=1 0.2tf（t）在 ，+）上为增函数.ayf（ ） = ，等号当 t= 即 x=0 时成立，y min= .1aa1综上，0a1 时，y min=2；知识就是力量a1 时，y min= .a1【例 3】 已知函数 f（x ）=ax 2+bx+c（a0 且 bc0）.（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（1）|=1，试求 f（x ）的解析式；（2）令 g（x）=2ax +b，若 g（1）=0，又 f（x ）的图象在 x 轴上截得的弦的长度为 l，且 0l2，试确定 cb 的符号 .解：（1）由已知| f（1）|=| f（1）|，
7、有| a+b+c|=|ab+c|， （a+b+c） 2=（ab+ c） 2，可得 4b（a+c）=0.bc0，b0.a+c =0.又由 a0 有 c0.|c |=1，于是 c=1，则 a=1，|b|=1.f（x）=x 2x1.（2）g（x）=2ax +b，由 g（1）=0 有 2a+b=0，b0.设方程 f（x）=0 的两根为 x1、x 2.x 1+x2= =2，x 1x2= .ac则|x 1x 2|= = .21214）（ ac4由已知 0|x 1x 2|2，0 1.又a0，bc0，c 0.c b0.闯关训练夯实基础1.已知方程 sin2x4sinx +1a=0 有解，则实数 a 的取值范围
8、是A.3，6 B. 2，6 C.3，2 D.2，2解析：a=（sinx 2） 23， |sinx|1，2a6.答案：B2.当 x1，2时，不等式 ax 22x 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是A.a2 B.a 1 C.a0 D.a2解析：当 x1，2时，x 22x 1=（x1） 222，2.ax 22x1 恒成立，a2.答案：A3.b g 糖水中有 a g 糖（ba0） ，若再添 m g 糖（m 0） ，则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式_.解析： .m答案： ba4.若 a0，b0，ab1+a+ b，则 a+b 的最小值为_.解析：1+a+bab（ ） 2，（a+b） 24（
9、a+ b）40.知识就是力量a+b 或 a+b .2424a0，b0，a+b2+2 .答案：2+25.已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求 + 的最小值.x1y解：x、y 为正数，且 x+2y=1， + =（x+2y） （ + ）11=3+ + 3+2 ，22当且仅当 = ，即当 x= 1，y=1 时等号成立.xy2 + 的最小值为 3+2 .1y26.（2004 年春季上海）已知实数 p 满足不等式 0，试判断方程 z22z+5p 2=021x有无实根，并给出证明.解：由 0，解得2x .1212p .方程 z22z +5p 2=0 的判别式 =4（p 24）.2p ， p 24，1 0
10、.由此得方程 z22z+5 p 2=0 无实根 .培养能力7.（2003 年全国）已知 c0，设 P：函数 y=cx在 R 上单调递减， Q：不等式x+|x2 c|1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围.解：函数 y=cx在 R 上单调递减 0c 1.不等式 x+|x2c| 1 的解集为 R 函数 y=x+|x2c |在 R 上恒大于 1.x+|x2c|= ，cx2函数 y=x+|x 2c|在 R 上的最小值为 2c.不等式 x+|x2c| 1 的解集为 R 2c1 c .如果 P 正确，且 Q 不正确，则 0c .如果 P 不正确，且 Q 正确，则 c1.知
11、识就是力量c 的取值范围为（0， 1，+）.28.已知函数 f（x ）=x 2+bx+c（b、cR ）且当 x1 时，f（x）0，当 1x3 时，f（x）0 恒成立 .（1）求 b、c 之间的关系式；（2）当 c3 时，是否存在实数 m 使得 g（x）=f（x ） m2x 在区间（0，+）上是单调函数？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知 f（1）0 与 f（1）0 同时成立，则必有 f（1）=0，故 b+c+1=0.（2）假设存在实数 m，使满足题设的 g（x）存在.g（x）=f（x）m 2x=x2+（bm 2）x+c 开口向上，且在 ，+ ）上单调递2增，
12、0.bm 20.2c3，b=（c +1）4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数 m 不存在.探究创新9.有点难度哟！已知 ab0，求 a2+ 的最小值.）（ b16解：b（ab）（ ） 2= ，4aa 2+ a 2+ 16.）（ 164当且仅当 ，即 时取等号.82b， 2，深化拓展ab0，求 b（ab） 的最大值.216提示：b（ab） .4答案：4思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）
13、利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在 x+y2 中，知识就是力量x 和 y 要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.教师下载中心教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不
14、等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例 1】 （2003 年福建质量检测题）已知函数 f（x ）=|log 2（x+1）| ，实数 m、n 在其定义域内，且 mn，f（m） =f（n）.求证：（1）m+n0；（2）f（m 2）f（m+n）f（ n2）.（ 1） 证 法 一 ： 由 f（ m） =f（ n） ， 得 |log2（ m+1） |
15、=|log2（ n+1） |， 即 log2（ m+1）=log2（n+1） ，log2（m+1）=log 2（n+1） ， 或 log2（m+1）=log 2 . 1由得 m+1=n+1，与 mn 矛盾，舍去.由得 m+1= ，即（m+1） （n+1）=1. m+1 1n+1.m0n. mn0.由得 mn+m+n=0，m+n= mn0.证法二：（同证法一得） （m +1） （n+1）=1.0m+1n+1， =1.m+n+22.m+n0.21）（）（ ） （ 1m（2）证明：当 x0 时，f（x）=|log 2（x+1）|=log 2（x +1）在（0，+）上为增函数.由（1）知 m2（m+n）= m2+mn=m（m+n） ，且 m0，m+ n0，m （m+n）0.m 2（m+n）0，0m 2 m+n.f（m 2）f（m+n）.同理， （m+n） n2=mnn 2=n（m +n）0，0m+nn 2.f（m+ n）f （n 2）.f（m 2）f（m+n）f（n 2）.【例 2】 求证：对任意 x、yR ，都有 53y+ y2，并说明等号何时成立.49721x1证明：7 2x+4927 x7=27x+1， .491又53y+ y2= （y 3） 2+ ， 53y+ y2.149721x1当且仅当 x=1，y =3 时取等号.知识就是力量
