1、09 级高三数学总复习讲义不等式的性质知识清单：1不等式的性质：(对称性或反身性) ;ab(传递性 ) ;c，(可加性 ) ,此法则又称为移项法则;(同向可相加) abdabd，(可乘性 ) . 0c， ； 0c，(正数同向可相乘) ，(乘方法则 ) nabNab（ ）(开方法则 ) 0,20（ ）(倒数法则 ) 1ab，注意：条件与结论间的对应关系，是“ ”符号还是“ ”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.2定理 1：如果 a,b x|x 是正实数
2、，那么 （当且仅当 a=b 时取“=”号）.2ba注：该不等式可推出:当 a、 b 为正数时,（当且仅当 a = b 时取“= ”号）221 即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a 、 b、 c 为正数）： 32ba由 32()cca可推出 b( , );0ab等 式 即 可 成 立 0c或 时 取 等如果 a,b,c x|x 是正实数，那么 .3abc（当且仅当 a=b=c 时取“=”号）3.绝对值不等式：123123(0)abab 时 ,取 等 号 注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.课前预习1
3、（06 上海文，14）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）0,ab（A） （B） （C） （D ）ab2ab|2 （06 江苏，8）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A） （B）|ba aa12（C） （D）21| a233 （2003 京春文，1）设 a，b，c，dR，且 ab，c d，则下列结论中正确的是A.a+cb+d B.ac b d C.acbd D. cb4 （1999 上海理，15）若 a（b+ ） 2 均不能成立a1D.不等式 和（a+ ） 2（b+ ） 2 均不能成立|1|b5 （06 浙江理，7） “a b 0”是“ab ”的（ ）2a(A)充
4、分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件6 （1） （2001 京春）若实数 a、b 满足 a+b=2，则 3a+3b 的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.2 47 （2000 全国，7）若 ab1，P ， Q （lg algb） ，Rlg（balg21） ，则（ ）2baA.RP Q B.PQR C.QPR D.PRQ09 级高三数学总复习讲义不等式证明知识清单：一、常用的证明不等式的方法1比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也
5、可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知12nABB条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。A3分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。注意：（1） “
6、分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因” ；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。二、不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形” ，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。1不等式同解变形（1）同解不等式（(1) 与 同解；fxg()fxFgx()()（2） 与 同解， 与mf0， ()mmfgx0， ()同解；fxg()（3） 与
7、同解） ；fxg()0fxgx()()02一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。情况分别解之。axba分 ()()10233一元二次不等式或 分 及 情况分xca20xbca20()0a别解之，还要注意 的三种情况，即 或 或 ，最好联b24系二次函数的图象。4分式不等式分式不等式的等价变形： 0 f(x)g(x)(xgf0， 0 。)(xf0)(f5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨
8、论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|a x2a2 xa 或 x0)。一般地有：|f(x)|g(x) f(x)g (x)或 f(x)0 的解集为（ ）3A.x|x3C.x|x3 D.x|12 的解集为（ ,2)1(log,2xttx）(A)（1，2） （3，+ ） (B)（ ，+）10(C)（1 ，2） （ ，+） (D)（1，2）1010 （1） （06 安徽，10）如果实数 满足条件 ， 那么 的xy、 0yx2xy最大值为（ ）A B C D22311 （06 天津理，3）设变量 、 满足约束条
9、件 ，则目标函数xy62xy的最小值为（ ）yxz2A B C D34912 （06 四川理，8）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，AB1,ab生产乙产品每千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可AB2,ab获利润分别为 元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本12,d 12,c月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，xyz用于求使总利润 最大的数学模型中，约束条件为（ ）12zxy（A） （B）120acbxy 11220axbcy（C） （D）1210ax
10、ycb 1210axycb13 （06 浙江理，3）在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面2,0xy区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)2123818914 （06 北京理，13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件 点 O 为坐标4,1xy原点，那么|PO |的最小值等于 ，最大值等于 。_典型例题EG1、已知 ，求证： .0,cbabca变式 1：（1）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）,A. B. C. D.ab2|ab变式 2：设 a，b，c ，d R，且 ab，c d，则下列结论中正确的是（ ）A.a+cb+d B.ac b d C.acbd D. cdEG2、若关
11、于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求x 0)1(2mx的取值范围.m变式 1：解关于 x 的不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(3R变式 2：设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M 1，4 ，求实数 a的取值范围？EG3、求 的最大值，使 满足约束条件 .yzyx,1yx变式 1：设动点坐标（x ， y）满足（ x y+1） （ x+y4）0， x3，则 x2+y2的最小值为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头
12、htp:/w.xjkygcom126t:/.j10507EG4、画出不等式组 表示的平面区域 .0342yx变式 1：点（2，t）在直线 2x3y +6=0 的上方，则 t 的取值范围是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j变式 2：求不等式x 1 + y12 表示的平面区域的面积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jEG5、（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？变式 1：函数 y = 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2m1变式 2：设
13、x0, y0, x2+ =1,则 的最大值为y2xyEG6、已知集合 ， ，求 .06|A08|2xBBA变式 1：已知 A=x|x33x 22x0，B=x| x2axb0且 AB =x|0x 2，ABxx2 ，求 a、b 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j变式 2：解关于 x 的不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(0REG7、求证： cca22变式 1：己知 都是正数，且 成等比数列，b,ba,求证： .)(222cc变式 2：若 ，求证 ab 与 不能都大于 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j01a,()1ab4EG8、要制造一个无
14、盖的盒子，形状为长方体，底宽为 2m。现有制盒材料60m2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？变式 1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗? 并说明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j实战训练1（07全国2理科）.不等式: 0的解集为（）42(A)( -2, 1) (B) ( 2, +)(C) ( -2, 1) ( 2, +) (D) ( -, -2) ( 1, +)2 （07 北京理科 6）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则20xya
15、， ， ， 的取值范围是（ ）a 或43 01a 413 01a 433 （07 北京理科 7）如果正数 满足 ，那么（ ）bcd， ， ， abcdA ，且等号成立时 的取值唯一bcd ， ， ，B ，且等号成立时 的取值唯一a ， ， ，C ，且等号成立时 的取值不唯一 a， ， ，D ，且等号成立时 的取值不唯一 c， ， ，4 （07 北京理）已知集合 ， 若|1Ax 2540Bx，则实数 的取值范围是 A5（07 上海理）已知 ，且 ，则 的最大值为,yR4yy_6(07 上海理) 已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是( )ababA、 B、 C、 D、2ab221ba7(07
16、 上海理) 已知 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 ，fx k若 成立，则 成立，下列命题成立的是（ ）2fk21kA、若 成立，则对于任意 ，均有 成立392fkB、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立416f 4kC、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立772fkD、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立25fk8（07 天津理）设变量 满足约束条件 则目标函数 的xy且 13xy且 4zxy最大值为（ ）A4 B11 C12 D149（07 天津理）设 均为正数，且 ， ，abc且 12loga12logb则（ ）21logcA B C Dabcbacabac10 （07 浙江
17、理） “ ”是“ ”的1x2x（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件11 （07 浙江理）不等式 的解集是_。|2|1x12 （07 浙江理科）设 为实数，若m，则 的取值范围是250(,)3(,)|5xyxym_。13 （07 湖北理）3.设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P-Q= ，QxP且,|如果 P=x|log2x0，N=x| 0，则 MN=（ ）11Ax|-1x1 Bx|x1 Cx|-1x1 Dx|x-1实战训练 B1 （07 湖南理） 不等式 的解集是（ ）201A B C D()(， ， ， (1)2)， ， (12，2
18、 （07 湖南理） 设集合 ，()|0Axyx， ， ， ， （1） 的取值范围是 ；()|Bxyxb， b（2）若 ，且 的最大值为 9，则 的值是 B， 2y3 （07 福建理）已知集合 A ，B ，且 ，|xa|2xR()AB则实数 的取值范围是（）aA B a222a4 （07 福建理）已知 为 R 上的减函数，则满足 的实数 的取()fx1(|)(ffxx值范围是（ ）A （1，1） B （0，1） C （ 1，0） （0，1） D （ ，1） （1， ）5 （07 福建理）已知实数 x、y 满足 ，则 的取值范围是203xy2Zxy_；6 （07 重庆理）命题“若 ，则 ”的逆否命
19、题是（ ）12x1xA若 ，则 或 B.若 ，则12x12xC.若 或 ，则 D.若 或 ，则2xx7 （07 重庆理）若函数 f(x) = 的定义域为 R，则 a 的取值范围为12a_.8 （07 山东理） 已知集合 ， 则,M1|24,xNZ（）MN(A) (B) (C) (D) 1,0,09 （07 天津） （1）已知集合 ， ，则 12SxR 102T， ， ， ， STA B C D22， ， ， ， ， ，10(07 山东理)函数 y=loga(x+3)-1(a0,a 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn0,则 的最小值为 .nm2111(0
20、7 安徽理) 若对任意 R,不等式 ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是(A)a-1 (B) 1 (C) 1 （D）a1 aa12 （07 安徽理 5）若 ， ，则82xxAlogRxB的元素个数为)(CRBA（A）0 （B）1 （C）2 （D）313 （07 江苏 6）设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，()fx 1x且当 时， ，则有1x()31xfA B2f231()()fffC D2()()3ff14 （07 陕西理）给出如下三个命题：ZXXK.COM四个非零实数 a、b、c 、 d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc;ZXXK.COM设 a,bR，则 ab0 若 1，则 1；ab若 f(x)=log 2x=x,则 f（|x|）是偶函数.其中不正确命题的序号是A. B. C. D. Z15 （07 全国 1）设 ， ，则|210Sx|350TxSTA B C D| 15|23x16 （07 北京 15）记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解x1axP集为 （I）若 ，求 ；（II）若 ，求正数 的取值范围Q3aPQa
