1、 选修45不等式选讲第一节绝对值不等式对应学生用书P172基础盘查一绝对值三角不等式(一)循纲忆知理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|.(2)|ac|ab|bc|.(二)小题查验1判断正误(1)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(2)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材习题改编)f(x)|2x|x1|的最小值为_解析：|2x|x1|2xx1|1, f(x)min1.答案：13若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值
2、为_解析：|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案：5基础盘查二绝对值不等式的解法(一)循纲忆知会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c.(二)小题查验1判断正误(1)|axb|c的解等价于caxbc()(2)若|x|c的解集为R，则c0()(3)不等式|x1|x2|2的解集为()答案：(1)(2)(3)2若关于x的不等式|xa|1的解集为(1,3)，则实数a的值为_解析：由|xa|1，则1xa1，a1k的解集为R，则实数k的取值范围为_解析：|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k3.答案：(
3、，3)对应学生用书P172|(基础送分型考点自主练透)必备知识1|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)若c0，则|axb|c等价于caxbc，|axb|c等价于axbc或axbc，然后根据a，b的值解出即可(2)若c0，则|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.2|xa|xb|c(或c)(c0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
4、取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观3|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)(g(x)0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)提醒解含绝对值号的不等式要注意分类讨论思想的应用题组练透1解不等式|2x1|2|x1|0.解：法一：原不等式可化为|2x1|2|x1|，两边平方得4x24
5、x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集为.法二：原不等式等价于或或解得x，所以原不等式的解集为.2(2014广东高考改编)解不等式|x1|x2|5.解：当x1时，原不等式即x1x25x2，此时得到x2.于是原不等式的解集为 x|x3或x23解不等式|x3|2x1|1.解：当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x2，x2.综上可知，原不等式的解集为.类题通法含绝对值不等式的常用解法1基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.2平方法：两边平方去掉绝对值符号3零点
6、分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解4几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解5数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解|(重点保分型考点师生共研)必备知识绝对值不等式：|a|b|ab|a|b|.提醒绝对值不等式的证明实质是放缩思想的运用典题例析(2015河北唐山三模)设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1
7、|x2|由22x10，解得x，则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b2.因为|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.类题通法证明绝对值不等式主要的三种方法1利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明2利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明3转化为函数问题，数形结合进行证明演练冲关已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|
8、3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.|(重点保分型考点师生共研)必备知识1研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法2f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.典题例析(2014新课标全国卷)设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.当且仅当“a1”时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上，a的取值范围是.类题
9、通法解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决演练冲关1(2015大同调研)已知函数f(x)|2x1|x2a|.(1)当a1时，求f(x)3的解集；(2)当x1,2时，f(x)3恒成立，求实数a的取值范围解：(1) 当a1时，由f(x)3，可得|2x1|x2|3，或或解求得0x；解求得x2；解求得x2.综上可得，0x2，即不等式的解集为0,2(2)当x1,2时，f(x)3恒成立，即|x2a|3|2x1|42x，故2x42ax42x，即3x42a4x.再根据3x4的最大值为642,4x的最小值为422，2a2，a1，即a的范围为1对应B本课时跟踪检测（六十
10、六）1若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围解：根据题意，不等式|x2|xm|40恒成立，所以(|x2|xm|4)min0.又|x2|xm|4|m2|4，所以|m2|40m6或m2.2(2014重庆高考改编)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解：|2x1|x2|x2|0，当且仅当x时取等号，因此函数y|2x1|x2|的最小值是.所以a2a2，即2a2a10，解得1a，即实数a的取值范围是.3(2015云南模拟)已知函数f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集为x|1x5，求实数a，m的值；(2)当a2且t0时，解关于x的不等式f(x)tf(x2t)
11、解：(1)由|xa|m，得amxam，所以解得(2)当a2时，f(x)|x2|，所以f(x)tf(x2t)，等价于|x22t|x2|t.当t0时，不等式恒成立，即xR；当t0时，不等式等价于或或解得x22t或22tx2或x，即x2.综上，当t0时，原不等式的解集为R; 当t0时，原不等式的解集为.4(2015洛阳模拟)已知函数f(x)|2x1|x|.(1)求不等式f(x)0的解集；(2)若存在x0R，使得f(x0)m成立，求实数m的取值范围解：(1)由题知f(x)当x时，由x10得x1，当x0时，由3x10得x，即x0，当x0时，由x10得x1，即x0.综上，不等式的解集是.(2)由(1)知，
12、f(x)minf.若存在x0R，使得f(x0)m成立，即m.实数m的取值范围为.5已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,06(2015长春联考)已知f(x)
13、|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.解：(1)f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2，M(2,2)(2)证明：a，bM即2a2，2b2.4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|.7(2015昆明模拟)已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)若关于x的不等式f(x)4，a，实数a的取值范围为.(2)244(|2m1|2m3|)0，即|2m1|2m3|6，不等式等价于或或m2或m
14、或1m，实数m的取值范围是1,28(2015沈阳模拟)已知函数f(x)|2x2|2x3|.(1)若x0R，使得不等式f(x0)m成立，求m的取值范围；(2)求使得不等式f(x)|4x1|成立的x的取值范围解：(1)f(x)|2x2|2x3|(2x2)(2x3)|5，x0R，使得不等式f(x0)1，xy2，则x0，y0()答案：(1)(2)2若ma2b，nab21，则m与n的大小关系为_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm对应学生用书P175|(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)求差比较法：知道abab0，ababb只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法(2)
15、求商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法题组练透1已知cba，证明：a2bb2cc2aba，ba0，cb0，ca0.ab2bc2ca2a2bb2cc2a.即a2bb2cc2ab0时，1，0，则1.当ba0时，01，1.综上可知，aabb(ab)成立类题通法用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)变形判断结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解|(重点保分型考点师生共研)必备知识1综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法2分析法证明不等式时，有时可以从求证
16、的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法3平均值不等式定理：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立我们称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a，b，c的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术几何平均值不等式，简称为平均值不等式4一般形式的算术几何平均值不等式如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立典题例析1已知a，b，c均为正数，且abc1，求证：9.证明：法一：(abc)339.法二：332
17、2292已知abc，且abc0，求证：a.证明：要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立类题通法1利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a20；(2)|a|0；(3)a2b22ab；它的变形形式又有(ab)24ab，2等；(4)(a0，b0)，它的变形形式又有a2(a0)，2(ab0)，2(ab0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号
18、成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6. 1(2014江苏高考)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知n2，求证：.证明：要证，只需证.即，只需证 ，只需证0，只需证n1，因为n21，所以.3已知a，b，c均为正数，求证：(1)abc；(2).证明：(1)(abc)2 22(abc)abc(当且仅当abc时等号成立)，得证(2)3(abc)3(ab)(bc)(ac)33333，当且仅
19、当abc时等号成立，得证4已知a2，求证：loga(a1)2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)2，0loga(a21)logaa22.221.loga(a1)log(a1)a.5(2014银川市质检)已知a，b，c全为正数，且abc1，求证：(1)1；(2)a2b2c2.证明：(1)a，b，c全为正数，且abc1，ab2(当且仅当ab时等号成立)；bc2(当且仅当bc时等号成立)；ca2(当且仅当ca时等号成立)，2(abc)222(当且仅当abc时等号成立)1(当且仅当abc时等号成立)(2)a2b2c2a2b2c2a2b2c2abbcca
20、.2(a2b2c2)2ab2bc2aca2b2c2abbcac，a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)6设a，b，c均为正实数，求证：.证明：a，b，c均为正实数，当且仅当ab时等号成立；，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ca时等号成立；三个不等式相加即得，当且仅当abc时等号成立7已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：.证明：法一：分析法：|x|1，|y|0，0，.故要证明结论成立，只要证明成立即证1xy成立即可(yx)20，有2xyx2y2，(1xy)2(1x2)(1y2)，1xy0.不等式成立法二：综合法：1|xy|，原不等式成立8(2014辽宁高考)设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集为M.(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，解得x.因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)2.
