1、五、不等式（命题人：仲元中学 邹传庆）1（人教 A 版 82 页例 1）已知 ，求证： .0,cbabca变式 1：（1）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）,A. B. C. D.ab2ab|ab解：选 A设计意图：不等式基本性质的熟练应用变式 2：设 a，b，c，dR ，且 ab，cd，则下列结论中正确的是（ ）A.a+cb+d B.ac bd C.acbd D. cbda解：选 A设计意图：不等式基本性质的熟练应用2（人教 A 版 89 页习题 3.2A 组第 3 题）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.x 0)1(2mx m变式 1：解关于 x 的不等式
2、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(R解：下面对参数 m 进行分类讨论：当 m= 时，原不等式为 (x+1)0，不等式的解为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 当 时，原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j031x，不等式的解为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j103m当 时，原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0)(31x，341当 时， 原不等式的解集为 ；m113x当 时， 原不等式的解集为 ；41m当 时， 原不等式无解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3综上述
3、，原不等式的解集情况为：当 时，解为 ；4m31mx当 时，无解；当 时，解为 ；3当 m= 时，解为 ；1x当 时，解为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jm3设计意图：含参数的不等式的解法.变式 2：设不等式 x22ax +a+20 的解集为 M，如果 M 1，4 ，求实数 a 的取值范围？解：（1）M 1，4有两种情况：其一是 M= ，此时 0；其二是 M ，此时 =0或 0，分三种情况计算 a 的取值范围。设 f(x)=x2 2ax+ a+2，有 =(2a) 24(a+2)=4( a2a2)当 0 时，1a2，M= 1，4 ；当 =0 时，a=1 或 2；当 a=1
4、时 M=1 1，4 ；当 a=2 时，m =2 1，4 。当 0 时，a1 或 a2。设方程 f(x)=0 的两根 x1，x 2，且 x1x 2，那么 M=x 1， x2 ，M 1，4 1x 1x 24 ，0,4)()(且且aff即 ，解得 2a ，10783a或 78M 1，4时，a 的取值范围是 (1， ).设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.3（人教 A 版 103 页练习 1（ 1） ）求 的最大值，使 满足约束条件 .yxz2yx,1yx变式 1：设动点坐标（x，y ）满足（ x y+1） （ x+y4）0， x3，则 x2+y2的最小值为( )A 头htp:
5、/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j10507解：数形结合可知当 x=3，y=1 时，x 2+y2 的最小值为 10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 选 D设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.4.(人教 A 版 105 习题 3.3A 组第 2 题)画出不等式组 表示的平面区域.034yx变式 1：点（2，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是_ 头htp:/w.xjkygcom
6、126t:/.j解：（2，t）在 2x3y+6=0 的上方，则 2（2） 3t+60，解得 t 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案：t 33设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.变式 2：求不等式x1+y12 表示的平面区域的面积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：x1+y 12 可化为或 或 或4xy12xy10xy其平面区域如图 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j面积 S= 44=8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设计意图：不同形式的可行域的作图.5.(人教 A 版 113 页习题 3.4A 组第 1 题)（1）把
7、 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？变式 1：函数 y = 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2m1解： y= = ( 1) 12-1=1 ，所以值域为1, +) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 2设计意图：均值不等式的灵活应用.变式 2：设 x0, y0, x2+ =1,则 的最大值为y21xy解法一: x0, y0, x 2+ =1 = =212()y21yx = =221yx21yx43当且仅当 x= ,y= (即 x2= )时, 取得最大值32
8、xy423解法二: 令 (0 )cosiny则 =cos =21x2si121)sin1(co2 =22cos(in)43当 = ,22i1即 = 时,x= ,y= 时， 取得最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6321xy43设计意图：均值不等式的灵活应用.6(人教 A 版 115 复习参考题 A 组第 2 题)已知集合 ， ，求 .06|2x08|2xBBA变式 1：已知 A=x|x33x 22x0，B=x|x 2axb0且 AB=x|0x2，ABxx 2 ，求 a、 b 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：A=x|2x1 或 x0，设 B=x 1
9、，x 2 ，由 AB=（0，2知 x22，且1x 10， 由 AB=（2，+）知2x 11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由知 x11，x 22，a（x 1x 2）1，bx 1x22 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。变式 2：解关于 x 的不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(03R解：下面对参数 m 进行分类讨论：当 m= 时，原不等式为 x+10，不等式的解为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 当 时，原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j031x
10、，不等式的解为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j103m1x3当 时，原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0)(，341当 时， 原不等式的解集为 ；m113x当 时， 原不等式的解集为 ；41m当 时， 原不等式无解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3综上述，原不等式的解集情况为：当 时，解为 ；4m31x当 时，无解；当 时，解为 ；31m当 m= 时，解为 ；1x当 时，解为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jm3设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。7. (人教 A 版 115 复习参考题 B 组第
11、1 题)求证： cabcba22变式 1：己知 都是正数，且 成等比数列，,求证： .)(222cbacba证明： )(acb成等比数列， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jc,都是正数， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaab0,c头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0)()(2)(22bc.bacba设计意图：基本不等式的灵活应用。变式 2：若 ，求证 ab 与 不能都大于 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j01ab,()1ab4证明：假设 ab, (1a) (1 b) 都大于 4(0(),0()16ba则 又 2 1, 16()1
12、6,(4yxbabb通 过 的 值 域 有这 与 矛 盾因 此 ， 不 可 能 都 大 于设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。8. (人教 A 版 116 复习参考题 B 组第 7 题)要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为 2m。现有制盒材料 60m2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？变式 1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解:不对 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为 真实重量为为 G，则由杠杆12l ,ab平衡原理有：， 12lGa1lb得 G2= , G=b由于 ，故 ,由平均值不等式 知说法不对 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1l2ab设计意图：基本不等式的应用。
