1、 一组固定点和一个移动点组成的最小覆盖圆简介许多 2D 设施的位置问题中，一个设施被放置在一组用户中的平面上，使得该设施到用户的最大距离为最小。当一对点之间的距离（L2 度量即：欧几里德度量）被测量时，这里就引出了欧几里德 1-中心的概念和一组点的最小外接圆（MEC）的概念。一组固定点 S 的欧几里德 1-中心是最小的圆的中心所包围的 S 的所有点。更正式地是，如果在 R之间的任何两个点 A 和 B，表示为（A，B），其欧几里得距离为 d，那么对于一个在 R中的有限集 S，欧几里德 1-中心的 s 是 R中的功能点 （S），最小化功能为覆盖所有的点 q。 （ （ S）的值是 S 的 MEC 半
2、径，被表示为 R（S ）。这些定义也可以自然地扩展到更高的范畴。据言这是第一次使用阿基米德发现的最小圆圈包围三角形的问题。然而在 1857 年，一组在平面上的 n 个点的 MEC 问题首次被西尔维斯特提出。此后，已经提出了若干算法，用于计算一组在平面上 n 个点的 MEC。最后，米吉多给出了在 R上确定 O（n）时间的线性编程解决方案。这个结果被 Agarwal、Chazelle 和 Matousek 等人发展，并且当 D 固定时这个方案逐渐最优。一个由 Wekzl 提出的更简单的随机算法是对于任何固定点 D 都使用预计的时间 0（n）。在移动计算、通信、导航和地理信息系统的最新进展中，已经在
3、移动设置中使用，移动用户沿轨迹移动，相当于点在平面上运动。在连续运动的点中，贝拉等人发起了不断变化的欧氏 1 中值问题的研究。它们表明，对于任何 V 0 中，都有一组在 Rd（d 2）中的三个点 S1，S2 ，S3。例如：一个单位的运动速度（即两点间的瞬时速度）大于欧几里德 1 中心的速度（V），那么欧几里德 1 中心的移动速度在 Rd（d 2）中是无限的。这促使逼近欧几里德 1 中心的速度被其他中心定义为有界速度。另外还发现，平面围成的点构成了有界的连续运动范围内，欧几里德 1 中心在 Rd（d 1）中连续的移动。近日，比特纳等人研究了最小分离圆问题（MEC 的双色概括问题）。这个问题的动能
4、变化被后来的张等人所研究。在本文中，我们为 n 个固定点的集合 S 和一个沿着直线 L 移动的点，提供一个具有完整特征的欧几里德 1 中心的轨迹。选择一个坐标系，使得所述直线 L 与 X 轴一致，我们定义中心函数 :RR ,其中 (p)表示 MEC 的中心，属于在 R中的 S p 集合,应用于任何在直线 L 上的 p 点（p=(p,0)）。我们表明,该中心函数 是一个持续且分段可微的线性函数，Voronoi 图的边界上它的每一个微件位于任一 S 的最远点，或在直线 L 的平行线上。此外，我们证明了 的组合复杂，也就是说， 中的可微的碎片数目为 0（n）。基于这种结果，我们在 Voronoi 图
5、型上给出了一个 0（n）的时间的简单算法来计算 ，并给出S 的最远点。与中心函数相关联的是，在 p =（P，0）L 为前提的条件下，可以定义一个半径函数 ：RR，其中，（p）为 SP的 MEC 半径。我们表明，如果这条直线 L 不会与 S的 MEC 相交，然后计算出一个点 pL，那么当 p P 时， 是呈现严格递减的，并且当p P 时呈现严格递增。当 L 与 S 的 MEC 相交时，我们也证明出了一个类似的结果。预知我们首先介绍了本文的其余部分中使用的符号及定义。对于在平面上任何两个点 a，b，我们表示由A，B的线段连接点 a 和 b。对于在平面的一组点 Z，则表示为以 MEC 的中心点集合
6、Z（由 E（Z）和其半径 r（Z）表示）。很容易看出，Z 的 MEC 是独特，会被Cmin(Z)所标记。我们现在总结一些 MEC 的重要性质，这将在随后的章节中使用：事实上 1：一组三个点的 MEC 中心，其点位于直角三角形的各顶点的斜边的中点上。事实上 2：通过 S 的三个点的一组点集 S 所组成的一个封闭圈将是 S 的 MEC，当且仅当由三个点形成的三角形是锐角或直角。事实上 3：通过 S 的三个点的一组点集 S 所组成的一个封闭圈将是 S 的 MEC，当且仅当线段连接两个点是一个直径 S 的封闭圈。如果没有四个点的集合 S 是共圆的，那么在平面中，一组集合 S= P1，P2，.，PN构成
7、 n 个不同的点会被分配到一般的位置。Voronoi 图中的 S 最远点由 FV(S)来表示的，是平面细分成 n 个不相交的部分FV（Pi，S）| PiS，除外界限 qR所在的所有点集合的界限处（FV(pi,S)），例如 d(q,pi) d(q,pj)，条件是所有的 i 不等于 j。该 FV（Pi，S）区域被称为点 PiS 所在 Voronoi 图中的最远点单元区域。在 R中，一组 n 个点构成的最远点 Voronoi 图可以在 O(n log n)时间段内被统计出来。关于移动版本中的欧几里得 1 中心问题，本文讨论由某平面和直线 L 组成的固定点集 S= P1， P2，.，PN ，在没有经过
8、任何 S 集合中的点，其沿另外的点移动的问题。请注意，对于不分布在 S 的 MEC 内部且在 L 上的所有点 P，由 SP集合组成的 MEC 总是通过该点。此外，对于在直线 L 上的点 P，该点位于 S 的 MEC 内部，S P组成的集合的 MEC是其本身。一般来讲，选择一个坐标系统，其中的直线 L 与水平轴重合。与实数 p 相关联,其中点 P（p = ( p , 0 )）在直线 L 上。然后我们定义中心函数 : RR，就像 (p) = E( S p)并且半径函数 : RR ,就像 (p) = r ( S p)。因此，该中心功能曲线图是输出 S p集合的 MEC 轨迹，其中点 p 在直线 L
9、上移动。对于 R 的任何子集 Q，让 (Q ) =(p) | p Q 并且 (Q ) =(p) | p Q 。正如前面提到的，MEC 中心的连续运动问题被研究到移动设备的位置上。另外，事实证明，根据点在平面内的连续和在有限速度运动下的 MEC 中心是连续移动的，这个结果的一个直接理论是以下内容：事实上 4.该中心函数 是连续的。使用这些函数的事实是，在下面的章节中，我们证明了函数 是一个连续的，分段的且可微的线性函数。还讨论了该中心函数 和半径函数 的其它性质。中心函数的表征本节中，对中心函数 进行了研究，其特征是点 P=（P，0）沿着线在运动，这条线与 X 轴平行。当给定包含单点的集合 S
10、时，我们开始以下观察。观测 1 若 S 包含单个点 q=（A，B），则函数 映射到直线 Y=b/2 in R上。现在，我们进行了表征 MEC 中心的轨迹为在平面内 n 个点组成的一个集合 S= P1，P2 ，.，PN。表示与该线段的圆圈 pi , pj ，如直径为 C( pi , pj )的圆通过 pi 和pj。 下面介绍，当集合 S 只连接两个固定点时，刻画出来的中心函数的特征为：引理 3.1 对于 S =P1，P2，中心函数 是一个分段的可微分的线性函数，并且它的每一个细微部分都位于P1，P2的垂直平分线或平行于线 L 的直线上。证明。开始时，通过假定圆 C（P1，P2 ）不相交于直线 L
11、。让 1（P1 ，P2）和2（ P1，P2）的垂线到线段P1，P2 之间的连线穿过点 p1 和 p2。注意，对于任何点p1（ P1，P2 ），2 （P1，P2），三角形 PP1 p2 为锐角或直角。事实 2，这意味着SP集合中的 MEC 是三角形 PQR 的外接圆。因此， E（S P）必须位于线段P1，P2的垂直平分线上。假设垂直平分线的线段P1，P2相交于线段 2（P1，P2），P1 和P2，1（P1 ，P2 ）且焦点为 A（P1 ，P2）和 B（P1 ，P2 ）。需要注意的是，当 p 在 L（P1，P2）中，E（S P）是在 b（P1 ，P2）中的，并且当 p 是在 （ P1，P2）中，那
12、么 E（Sp）= a （ P1，P2）。当 P 点从 L（P1，P2 ）移动到 （ P1，P2 ）中时，P1 PP2 上升和三角 P1 PP2 外接圆的半径减小。其结果是，E（P，P1， P2）移向点 c（P1，P2 ）处。因此，任何点 p1（P1，P2 ），（P1， P2） 的函数 都映射到线段b（P1，P2 ），C（P1，P2 ）上。同样地，当p（ P1，P2），2 （P1，P2 ）的函数 映射到线段 c（P1 ，P2），a（P1，P2） 上。因此，该线可以分为三个区间，其他两个函数映射到平行于线 和第三函数上，且它映射到垂直平分线 pi , p j 上。整个函数被称为是连续的并且每个时间
13、间隔是可微的。当不相交于 C ( p1, p2 )时，这套完整的理论就被引证了。使用上述引理时，在一般位置平面上，中心函数 为由 n 个点组成的集合 S= P1，P2 ，.，PN。我们表示从标点 PI，PJ 和 PK 看，最远点的 Voronoi 顶点是等距的，并且从标点 PI，PJ 看最远点的 Voronoi 边界是相等的。重点是，点 a ( pi , p j )和 b ( pi , pj )位于 eij 的边界上。定理 3.1 该中心的功能 是连续的且分段可微的线性函数。此外，每个微件的功能 在远点 Voronoi 图的边界是平行的。证明。从事实 4，我们知道， 是连续的。假定 S 点在一
14、般位置上，那么对于所有PL， SP集合的 MEC 可以通过集合 S 中至多三个点来表示。在每个时间间隔 Li 上可能会出现下列三种情况：情况 1：对于所有的 p Li ， S p集合中的 MEC 经过三个点 pi , p j , pk S。因此对于所有的 p Li ，E(S p)集合上的点将固定在最远点（Voronoi 顶点）Vijk 上。情况 2：对于所有 PIi，SP集合的 MEC 穿过两个点 PI，PJ S。在这种情况下，问题简化为引理 3.1 中的问题。因此，对 PLi，（P ）将映射到边缘 Eij 的子集上。情况 3：对于所有点 PLi，SP 集合的 MEC 中通过一个点 PiS。因
15、此，对于pi，则函数 （p）位于线段 pi , p的中点上。因此，从一个顶点或 FV（S ）边缘所产生的 将映射到平行线 L 上。由这三种情况的分析 的连续性，定理如下：一组固定的点和一个移动的点所连接的 MEC 的中心轨迹用下图表示，应用了天然里亚尔问题来确定不同的线性微件的中心函数 的数目。我们开始解决这个问题，提出以下意见：观察 2 设 P 和 Q 为在线上的两点且 P Q。假设，S P集合的 MEC 和 SQ的MEC 由圆的直径PI，P和PI，Q组成，那么对于一些固定的点 pi S，所有点 P，Q ，SR的集合 MEC 是由直径 pi , r组成的圆。证明。表示由 C（PI ，p）和
16、C（PI ，q）分别得到的直径为 pi , p和 pi ,q的圆圈。设 f（PI）是垂直于线上的点 pi。观察到 S 中所有点必须位于该区域，其中两个圆 C（PI，p）和 C（PI ，q）是重叠的。对于任何点 rP，Q，圆 C（PI，r）的直径pi , r穿过了 pi 和 R，因为射频（PI ）PI=/ 2，并且也是 S r组成的封闭圆。事实 3，现在对于集合 S r，圆 C（PI，r）是 MEC 。观察 3 设 P 和 Q 是直线 L 上的两个点，且 PQ。假设，对于一些固定点PI，PJS，S P集合的 MEC 和 SQ集合的 MEC 是三角形 Pi PjP 和 Pi P jQ 的外接圆。那
17、么对于所有点 P，Q ，S R集合的 MEC 是三角形 Pi Pj R 上的外接圆。使用这两种看法，我们现在证明了有关微件数量 的以下结果：定理 3.2 该函数 最多只能有 O（n）个微件。证明。定理 3.1 表示线可以分解成间隔 L1，L2，.，Lm 并且对于所有点PLi,E（SP ）既可能是在平行于 L 的线上，也可能是在 FV（S）的一些边界上。观察2，表示在 （ 平行于直线 L）中线段的数量为 O（| S |）= O（N ）。观察 3 表示对于FV（S）中的任何固定边缘 eij，有最多一个时间间隔 ij，无论何时，PLij ，且函数（ p）位于 eij。在每一个这样的区间中，函数 最多只能有 2 个可微。因此，该数字微件 位于 FV（S ）上的数目至多为在 FV（S）边上的数目的两倍。因为 FV（S ）的边缘数目为 O（n）。
