1、第一节 离散型随机变量及其概率分布,第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,一、随机变量,在第一章中，我们曾提及随机变量，我们把“用来表示随机试验结果的变量”称为随机变量。,例2-1 观察些列随机试验的结果与数值之间的关系。 （1）掷一颗骰子出现的点数。（2）一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则女儿中为该疾病携带者的人数。（3）采用某种新药对10名患者进行治疗，治愈的患者人数。,（4）一个肝硬化病人的Hp感染情况，可能出现阳性Hp（+），也可能出现阴性Hp（-）。（5）对于某种新药疗效的试验结果，可能为“无效”、“好转”、“显效”、“治愈”。,定义2-1 定义在样本空间上的实值函数X=X（）
2、称为随机变量，常用字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值用小写字母x,y,z等表示。,假如一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间 ，则称其为连续随机变量。（其中a可以是 ，b可以是 ）,例2-2 某药检所对某种送检的药品进行检查，按合格与不合格进行分类，使用随机变量表示检验结果。,解：该试验的样本空间为=合格，不合格，若用随机变量X表示“随机取出某药品的检验结果”，用数值1，表示合格；用数值0，表示不合格，则X作为样本空间的实值函数定义为：,随机变量,离散型随机变量,非离散型 随机变量,其中最重要的一种,连续型随机变量,二、离散型随
3、机变量,（一）离散型随机变量的定义,定义2-2 如果一个随机变量只能取有限个或可列无限个值，那么称这个随机变量为离散型随机变量。,例2-3 观察下列试验的结果，判断是否为离散型随机变量。（1）50件产品中有8件次品，其余为正品，从中取出4件进行检验，则取到的次品数。（2）某实验一次观测数据为5个，其中异常值的个数。（3）某交通道口中午1小时内汽车流量。,（二）离散随机变量的概率分布,对于一个随机变量进行研究，首先要判断它的取值范围及可能取哪些值，其次还要知道它取这些值的概率，也就是要知道它取值的规律。随机变量X的取值规律称为X的概率分布，简称分布。,定义2-3 设离散随机变量X的所有可能取值为
4、 ，X取各个值 相应概率为 ，则称,式（2-1）,为离散随机变量X的概率分布或分布律，也称概率函数。,X的概率分布也常用表2-1的方式来表达。,表2-1 X的概率分布,X P,概率分布的两个性质,1、非负性：,2、正则性：,例2-2 一位隐性遗传疾病的携带者有两个女儿，则每个女儿都有1/2的可能性从母亲那里得到一个致病的X染色体而成为携带者（假设父亲正常），用A、B分别表示大女儿和小女儿是携带者，试求： （1）女儿中携带者人数X的概率分布； （2）至少有一个为携带者的概率。,第二节 连续型随机变量及其概率分布,第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,一、连续型随机变量的定义,定义2-4 如果一
5、个随机变量可以取得某一区间内的任何数值或在整个数轴上的取值，那么称这个随机变量为连续型随机变量。,例如： （1）某小学四年级某班50名女生的身高。 （2）100名健康成年男子血清总胆固醇的测定结果。 （3）一批灯泡的使用寿命。 这些都可以用连续型随机变量来表示。,由于随机变量能够取某些区间中的所有值，不能像离散型随机变量那样将其所有可能取值与对应概率一一列出，因而不能用离散型随机变量的概率函数来描述，于是我们引入概率密度函数来描述连续随机变量的概率分布。,二、连续型随机变量的概率分布,新生婴儿的体重X是一个随机变量，假如记录很多个新生婴儿的体重，我们用频率直方图表示出来。x轴表示体重（单位：5
6、00g），y轴表示（频率/组距）。,频率/组距,X,f(x),定义2-5 对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数 ，使对任意 ，都有,式（2-2）,则称 为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。,概率密度函数的性质,1、非负性：,2、归一性：,这两个性质刻画了密度函数的特征，也就是说，如果某个实值函数具有这两条性质，那么它必定是某个连续随机变量的密度函数。,3、设X为连续随机变量，则对任意指定实数 ，有,即连续随机变量在 处概率为零；,4、设连续随机变量X，对任意 ，则,5、几何意义：随机变量X落在区间 内的概率等于由密度函数 所围成的曲边梯形的面积。,例2-5 已知随机变
7、量X的概率密度为,例2-6 设随机变量X的概率密度为,试求：,第二节 随机变量的分布函数,第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,定义2-6 设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数,为随机变量X的分布函数。,式（2-3）,说明：,对任意实数 ，有,特别的：,（一）离散随机变量的分布函数,对于离散随机变量，由于分布函数的定义域为R，所以任意的 ，只要将小于等于x的一切取值 的相应概率值 累加起来，就能够求得分布函数，即,例2-7 已知到某药检所送检的10件药品中有2件失效，若从送检的药品中先后抽检3件，试列出抽检出次品数的分布函数。,（二）连续随机变量的分布函数,由分布函数的定义及连续随机变量
8、的特点，连续随机变量X的分布函数为,式（2-5）,其中 为X的密度函数。,从几何上看， 表示密度函数 与 轴在 和点之间的图像面积。,图2-4 连续变量分布函数 几何意义,例2-8 设随机变量X的概率密度函数为,，试求X的分布函数,例2-9 设随机变量X的分布函数,，试求：,（1） （2）X的密度函数。,第三节 常用连续随机变量分布 正态分布,第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,一、正态分布的定义,定义2-8 若随机变量X的概率密度函数为,（公式2-6）,其中 ，均为常数，则称X服从参数为 的正态分布，记作,（公式2-7）,正态分布的分布函数为,二、正态分布的图形与性质,图2-7 正态分布
9、的概率密度函数f(x)的图像,图2-8 正态分布的分布函数的图像,正态分布曲线是一条关于 对称的钟形曲线。 特点是：两头低，中间高，左右对称。,沿X轴平行移动,图像越靠右,1,1、正态分布曲线是以 为对称轴，当 时，取得最大 值 ；,2、图像在处 有拐点，且以X轴为渐近线；,3、正态分布完全由两个参数 和 决定：,固定 ，改变 ，,描述：正态分布的平均水平决定：正态曲线在X轴上的位置,位置参数,曲线沿X轴水平移动，形状不变，只改变位置,描述：正态分布的变异程度决定：正态曲线的分布形状,固定 ，改变 ：,越大，曲线越矮胖，表示数据越分散，变异度越大,越小，曲线越高瘦，表示数据越集中，变异度越小,
10、形状参数,三、标准正态分布,对于正态分布 ，参数 时的正态分布称为标准正态分布，记作 。,其概率密度函数用 表示为,式（2-8）,其概率分布函数用 表示为,式（2-9）,常用公式：,案例2-11 设 ，查表求：,四、正态分布的标准化,步骤： 1、找出 2、利用公式：3、查表求值。,案例2-12 设 ，查表求,案例2-13 对使用过甘草的许多中药处方进行分析，若已知每次的甘草用量XN(8，4)，现任抽一张含甘草的处方，求甘草的用量在5-10g范围内的概率。,五、正态曲线下面积分布规律,曲线下的面积即为概率，可通过公式求得。,曲线下的总面积为1或100%，以 为中心左右两侧面积各占50%，越靠近
11、处曲线下面积越大，两边逐渐减少。,（公式2-7）,图2-11 正态分布的3 原则示意图,正态分布的3 原则,六、正态分布的应用举例,1、制定医学参考值的范围,2、质量控制（自学）,3、可疑值取舍（自学）,检验日期：20090809 报告日期：2009-08-09 09:46:48 检验者：XXX 审核者：XXX 注：此检验报告仅对本次标本负责.,1、意义：医学参考值是指绝大多数正常人群的解剖、生理、生化、免疫等各种指标数据的波动范围。由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而是在一定范围内波动，故采用医学参考值范围作为判定正常和异常的参考标准，但不是“金标准”。,（一）制定医学参考值的范围,2、
12、单、双侧问题，常依据医学专业知识而定。,双侧 : 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常 白细胞数无论过低或过高均属异常,单侧上限 : 如：血清转氨酶、 体内有毒物质过高异常（越低越好,P5）,3、医学参考值范围有90%、95%、99% 等，最常用的为95% 。 计算医学参考值范围的常用方法：,正态分布法百分位数法,3、正态分布法,第四节 随机变量的数字特征,第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,一、数学期望及其性质,问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：,试问：哪个射手技术较好？,（二）、连续型随机变量的数学期望,定义2-11 设连续型随机变量X的密度函数为 ， 称 的值为随机变量
13、的X的数学期望（简称期望或均值），记作,定义2-12 设X是一个随机变量，Y=g(X)也是随机变量，且E(Y)存在， （1）若X是离散随机变量，其概率分布为则随机变量函数g(X)的期望为,（三）、随机变量函数的数学期望,（2）设X是连续型随机变量，其密度函数为 ，则随机变量函数 的期望为,（四）、数学期望的性质,性质1 若C是常数，则,性质2 若C是常数，则,性质3,性质4 若X，Y相互独立，则,二、方差及其性质,问题：有丙、丁两个射手，他们的射击技术用下表表出：,试问：哪个射手技术较好？,（一）方差的定义,定义2-13 设X是一个随机变量，称 为X的方差，记作 ，即称 为X的标准差，记作,（二）方差的性质,性质3 若X、Y相互独立，则,性质1 若C是常数，则,性质2 若C是常数，则,
