1、第 1 页 共 15 页2019 届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考数学（理） 试题一、单选题1设集合 ， ，若 ，则 的取值范围43AxBxaABa是（ ）A B C D a1aa3【答案】A【解析】因为 ， 43101,xx，且Bxa，即 ，所以 .故选 A.ABa2复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】C【解析】复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第三象限故选 C.3下列说法正确的是（ ）A 若向量 ，则存在唯一的实数 ，使得 .B 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.C 命题“ ，使得 ”
2、的否定是“ ，均有 ”.D 且 是 的充要条件.【答案】C【解析】对于 ，当 ， 时，不存在实数 ，使 ，故错误；对于 ，命题的否命题是将命题中的条件与结论同否定，故错误；对于 ，命题“ ，使得第 2 页 共 15 页”的否定是“ ，均有 ”，故正确；对于 ，当 时，故充分性成立；当 时，可以 等等，故必要性不成立，故错误.故选 C.4已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是A B C D 【答案】B【解析】分析：分别判断出 a，b，c 的大致范围，即可比较出它们的大小.详解： ， ， .故选：B.点睛：(1)比较幂、 对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要
3、根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数， 若引入中间量，一般选 0 或 1.5函数 的图像大致是（ ）cosxyeA B C D 【答案】D【解析】令 ，则 ，函数为偶函数，排除 AB 选项；cosxfefxf当 时， ，而 ，则 ，x10xcos1,cos0xfe排除选项 C.第 3 页 共 15 页本题选择 D 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称
4、性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项6 已知数列 ，则 （ ）11,(2)4nnnaa2014aA B C D4535【答案】C【解析】试题分析：由题意 ，则11,(2)4nnaa，故2 3 41 2 31, ,434a a 2046731a【考点】数列的通项公式，周期性7已知 f（x） = 则不等式 x+（x+2）f （x+2）5 的解集是（ ）A 2，1 B （，2 C D 【答案】D【解析】先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入不等式 x+（x+2）f（x+2）5 求解即可【详解】当 x+20，即 x-2 时则 x+（x+2）f（x+2）5 转化为：2x
5、+25解得：x-2x第 4 页 共 15 页当 x+20 即 x-2 时，x+（x+2）f（x+2）5 转化为：x+（x+2）（-1）5-25，x-2综上 x故选 D【点睛】本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高8已知函数 有极值，则实数 的取值范围为（ ）321fxxcdcA B C D4c41414c【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以其导函数321fxxcdfx，又因为 有极值，所以 有解，2xcfx20， ，故选 A.1401【考点】利用导数研究函数的极值
6、.9已知 ，点 为斜边 的中点， ，则RtABCDBC163,2ABCAED等于（ ）EA B C 9 D 1414【答案】D【解析】在 ，点 为斜边 的中点， ,RtAB63AC 0B , , ,2182236C12D12ED ， 3AEDABAC 566BB 1110836143C故选 D第 5 页 共 15 页点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.10为得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有的点（ ）A 横坐标缩短到原来
7、的 倍B 横坐标伸长到原来的 倍C 横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位D 横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位【答案】A【解析】分析：先将三角函数化为同名函数 然后根据三角函数伸缩规则即可.详解：由题可得： ，故只需横坐标缩短到原来的 倍即可得 ，故选 A.点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.11已知 ， ，且 ，则 的值是A B C D 【答案】C【解析】分析：首先根据两向量平行，求得 ，再根据诱导公式化简，最后分子和分母同时除以 ，表示为 ，最后代入即可求得结果.第 6 页 共 15 页详解：因为 ， ，解得 ，原式 ，然后分子和分
8、母同时除以 化简为 ，故选 C.点睛：本题考查向量平行的坐标表示，以及同角三角函数的关系等知识，意在考查学生分析问题的能力，属于基础题型.12已知函数 ，若方程 恰有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为 ，作图，由 与 相切 得，由 与 相切得设切点 ， 如图可得实数 的取值范围是 ，选 B.第 7 页 共 15 页点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合
9、的思想找到解题的思路.二、填空题13已知函数 ，则 _【答案】【解析】，而 ， 表示半圆 的面积，即，则 .点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法：(1)利用微积分基本定理求解，即找出函数 的原函数 进行求解，即；(2)利用函数的几何意义进行求解，主要涉及 的定积分，如表示 ，即半圆 的面积.14等比数列an的各项均为正数，且 a4a7=3，则 log3a1+log3a2+log3a10=_【答案】5【解析】log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a10）=log3(a4a7)5，由此能求出结果【详解】等比数列a n的各项均为正数，且
10、a4a7=3，log3a1+log3a2+log3a10第 8 页 共 15 页=log3（a1a2a10）=log3(a4a7)5=log335=5故答案为 5【点睛】本题考查对数式求值，考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15已知 ，则 的值是_.4cos3513sin6【答案】 【解析】根据两角和的余弦公式可得 ，所以由134coscos325in诱导公式可得 13sin6 1cos62isi，故答案为 .14co25i 4516已知数列an是等差数列，若 a8+3a100，a9a100，且数列an的前 n 项和 Sn有最大值，那么
11、Sn0 时 n 的最大值为_ 【答案】18【解析】由等差数列的性质和求和公式可得 a90，a 100，又可得 S18=18a90，而S19=10（a1+a19）=10（a9+a10）0，进而可得 Sn 取得最小正值时 n 等于 18【详解】a8+3a100，由等差数列的性质可得a8+3a10=a8+a10+2a10=2a9+2a10=2（a9+a10）0，又 a9a100， a9 和 a10 异号，又数列a n的前 n 项和 Sn 有最大值，数列a n是递减的等差数列，a90，a 100，S18=18a90S19=10（a1+a19）=10（a9+a10）0第 9 页 共 15 页Sn 取得最
12、小正值时 n 等于 18【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质等差数列的前 n 项和公式的应用，属于中档题三、解答题17已知正项数列满足 4Sn=an2+2an+1（1 ）求数列an的通项公式；（2 ）设 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Tn【答案】 （1） ； （2） .【解析】（1）由 4Sna n2+2an+1，可知当 n2 时，4S n1a n12+2an1+1，两式作差可得 an-an-1=2（n2） ，再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列a n的通项公式；（2）把数列a n的通项公式代入 bn= ，再由裂项相消法求数列b n的前 n 项和Tn【详解】（1）由 4Sna
13、 n2+2an+1，可知当 n2 时，4S n1a n12+2an1+1，两式作差得 an-an-1=2（n2），又 4S14a 1a 12+2a1+1，得 a1=1，an=2n-1；（2）由（1）知，b n= Tn=b1+b2+bn=【点睛】本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题18已知函数 f（x ）=Asin（ x+） ，xR （其中 A0，0，0 ）的周期为第 10 页 共 15 页，且图象上的一个最低点为 M（ ） （1 ）求 f（x）的解析式及单调递增区间；（2 ）当 x0， 时，求 f（x）的值域【答案】 （1） ，kZ； （2）1，2.【
14、解析】（1）由 f（x）的图象与性质求出 T、 和 A、 的值，写出 f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；（2）求出 0x 时 f（x）的最大、最小值，即可得出函数的值域【详解】（1）由 f（x）=Asin（x+） ，且 T= =，可得 =2；又 f（x）的最低点为 M（ ）A=2，且 sin（ +）=-1；0 ，f（x）=2sin（2x+ ）；令 2k- 2x+ 2k+ ，kZ，解得 k- xk+ ，kZ，f（x）的单调增区间为k- ,k+ ，kZ；第 11 页 共 15 页（2）0x ，2x+ 当 2x+ = 或 ，即 x=0 或 时，f min（x）=2 =1，当 2x+ = ，
15、即 x= 时，f max（x）=21=2；函数 f（x）在 x0， 上的值域是1，2【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题19已知等比数列an的各项均为正数，2a2 5a1=3，a3a7=9a42；（1 ）求数列an的通项公式；（2 ）设 bn=anlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn【答案】 （1） ； （2） 【解析】（1）设数列a n的公比 q，由题意可得 ，求出首项和公比，即可求出通项公式， （2）根据对数的运算性质可得 bn=anlog3an=n3n，再利用错位相减法求和【详解】（1）设数列a n的公比 q（q0） ，由 2a2-5a1=3，a3a7=9
16、a42，得a1=q=3，an=3n，nN，（2）bn=anlog3an=n3n，Sn=13+232+333+n3n，3Sn=132+233+334+n3n+1，相减得-2S n=3+32+33+34+3n-n3n+1=Sn =【点睛】第 12 页 共 15 页本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在 中，角 所对的边为 ，已知 ， ABC,cba, Abasin2bc3（1 ）求 的值；（2 ）若 的面积为 ，求 的值32,【答案】 （ 1） ;（ 2） 或 0B4ba2【解析】试题分析：（ 1） 利 用 正 弦 定 理 对 已 知 条 件
17、 化 简 可 求 sinB， 利 用 三 角形 的 大 边 对 大 角 可 求 B；（ 2） 利 用 余 弦 定 理 可 求 a， b 之 间 的 关 系 ， 进 而 结 合 三 角 形 的 面 积 可 ac，再 把 a， b 的 关 系 代 入 可 求 a， b 的 值 试题解析：（1） ， ，Asin2ABsin2i 21i或 ， ，所以 4 分30B5c30（2）由 os22ab解得 或 0b2又 3sin21cSABC 38cbc3由 或 9 分24a2b【考点】1. 正 弦 定 理 ;2. 余 弦 定 理 .21设函数(1)研究函数 的极值点;(2)当 p0 时,若对任意的 x0,恒
18、有 ,求 p 的取值范围;【答案】 （1）当 p0 时, 有唯一的极大值点 ； （2）1,+ .【解析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，分别解 f（x）0，f（x）0，求出函数的极值点即可；（2）结合（I）p0 时函数 f（x）的单调性，求函数 f（x）的最大值，对任意的第 13 页 共 15 页x0，恒有 f（x）0f （x）max0，代入求解 p 的取值范围.【详解】(I) ,当 上无极值点当 p0 时,令 的变化情况如下表:+ 0 -极大值从上表可以看出:当 p0 时, 有唯一的极大值点()当 p0 时在 处取得极大值 ,此极大值也是最大值,要使 f(x) 0 恒成立,只需 , ,即
19、 p 的取值范围为1,+【点睛】本题考查了导数的应用：求函数的单调区间，求函数的极值，在求解中不能忽略了对函数定义域的判定，当函数中含有参数时，要注意对参数的分类讨论，本题又考查了函数的恒成立问题，这也是高考在导数部分的重点考查的知识点22已知直线 l 的参数方程为 为参数 ，在直角坐标系中，以原点 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的方程为 (1)求曲线 的直角坐标方程；第 14 页 共 15 页(2)点 分别为直线 与曲线 上的动点，求 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】（1）化简曲线方程 C，可得 =4cos，即 2=4cos，结合sin=y，cos=x，即可得曲
20、线 C 的直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围【详解】(1) ， ；又 ， ， 的直角坐标方程为 (2) 的普通方程为 ，圆 的圆心到 的距离为 ， 的最小值为 ， 的取值范围为【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题23设函数 (1)当 时，解不等式 ；(2)若 的解集为 ， ，求证: 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：(1)分 三种情况讨论求解 ;(2)去绝对值可得 a2xa+2,根据不等式的解集求出 a 的值,则
21、,化简再利用基本不等式求解即可.试题解析：(1)当 a=2 时,不等式 f(x)7| x1|,即| x2|+| x1|7,第 15 页 共 15 页 ,或 ,或 .解得 x2,解得 x,解得 x5,不等式的解集为(25,+).(2)f(x)2,即| x a|2,解得 a2 x a+2,而 f(x)2 解集是1,3, ,解得 a=1, (m0, n0) = ,当且仅当 ,即 时,取等号.点晴：含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。
