1、第4（5、6）章 随机变量与概率分布,4.1、概率基本概念及知识,1、随机试验、样本空间、样本点随机试验是一个可观察结果的人工或自然的过程，且其结果不能事先确定。样本空间是一个随机试验的全部可能的结果的集合。随机试验中任何一个特定的试验结果称为一个样本点。它是样本空间的一个元素。 下表列举了几个例子。,2、概率设为一个随机试验的样本空间。对上的任一事件A，规定一个实数与之对应，记为P（A）。当满足下面的性质时，称 P（A）为事件A的概率：（1）、 ；（2）、 。,要理解概率的含义，着重把握以下几点：不确定性事件：未来的，未知的。概率的概念：对不确定性事件发生可能性大小的度量。概率的取值范围 0
2、，1。只对事件一次发生的可能性做度量。概率的频率解释：以实验或历史数据中事件发生的频率来估计概率。,3、排列、组合公式,组合公式：从指定的N个不同的符号物体中任意选取n个，不可重复，且只看内容而不管顺序，则取法总数（组合数）为排列公式：从指定的N个不同的符号物体中任意选取n个（不可重复），加以排列（考虑顺序），则排列数为,4、随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量随机变量是一次试验的结果的数值性表述.离散型随机变量指的是有有限个的取值或可数无限多个取值的随机变量.连续型随机变量是指在某一区间或多个区间内任意取值的随机变量.,离散型随机变量的例子（教材P131表5-1）,连续型随机变量的例子,
3、4.2 离散型概率分布,1、随机变量的概率分布描述随机变量取不同值的概率。概率分布通过概率函数来定义，记作f(x), 概率函数给出了随机变量每一取值的概率。2、离散型概率的性质:,3、均匀离散型概率分布（随机变量取每个值的可能性相等） f(x) = 1/n4、离散型随机变量的数学期望（均值）5、离散型随机变量的方差,4.3 几种常见的离散型概率分布,一、二项分布1、二项试验（ n重贝努里试验）的特点：（1）它是一种复合试验，由n 次完全相同的试验组成；（2）每次简单试验有两种可能结果：一个称为“成功”,另一个称为“失败”； （3）各次试验“成功”的概率相同（都为p ）；从而， “失败”的概率也
4、都相同（都为1-p ）。 （4）各次试验相互独立。,2、二项分布的概率函数以随机变量X表示n重贝努里试验中“成功”的次数。二项分布的概率函数为 （k=0，1，n） 其中，k是n重贝努里试验中“成功”的次数。3、二项分布的数学期望和方差 数学期望：E(X)= =n p ； 方差： Var（X）= =n p ( 1p ),例题： 某公司注意到其临时工的高流动率。以过去的经验, 管理层得知每月临时工的离职率为10%。这样, 随机抽查一名临时工, 管理层预计他一个月内离开本公司的概率是0.1。 随机抽查三名临时工, 他们中正好有一人离开本公司的概率是多少? 设: p = 0.10, n = 3, k
5、= 1 有三种方法求出该概率：,（1）、利用二项概率函数计算 = (3)(0.1)(0.81) =0.243,（2）、使用二项概率表,（3）、调用EXCEL中的函数binomdist调用形式为： binomdist(x, n, p, 0),二、泊松（Poisson）分布泊松概率函数 f(x) 事件在一个区间发生x次的概率。 在一个区间发生次数的均值 e = 2.71828 随机变量x的可能取值是一个无穷序列（0，1，2，）泊松分布具有如下两个特性： 任意两个给定相等长度的区间发生相同次数的概率相等. 任意区间事件发生与否与其他区间发生与否无关。,例子： 校医院急诊室晚上接收病人的情况是每小时平
6、均3个人. 那么，在今晚7点至8点接受4个病人的概率是多少? （1）、利用泊松概率函数计算 = 3, x = 4,（2）、使用泊松概率表,（3）、调用EXCEL中的函数poisson调用形式为： poisson(x, , 0),三、超几何分布 1、超几何概率函数 设N个球中有r个是白球，现从中任取n个，则这n个球中的白球数X是一个离散型随机变量，X的概率分布为：,2、超几何试验的特点：、复合试验由 n 次简单试验组成。、每次简单试验有两种可能结果.一个称为“成功”,另一个称为“失败” 。、各次简单试验不是独立的。、各次简单试验成功的概率不相等。、复合试验的结果是指： n 次简单试验中,有x次“
7、成功”。 超几何概率分布与二项概率分布很相似。这两种概率分布的主要区别在于上面的性质和 。,3、超几何分布的数学期望和方差 数学期望： E(X)= n p（这里， p =r/N） 方差： Var（X）= =n p ( 1p ),例题： 某批产品已知的50件中有15件一等品。现在随机调查5件产品, 那么这5件产品中有2件一等品的概率是多少?令 N = 50，r = 15, n = 5, x = 2,也可调用EXCEL中的hypgeomdist函数来计算，调用形式为： hypgeomdist( x, n, r, N),4.3 连续型概率分布,概率密度函数（f（x），通过给定区间上曲线f（x）下图形
8、的面积给出连续型随机变量在该区间取值的概率。以密度曲线为上底的曲边梯形的面积。写作,一、均匀概率分布（概率与区间长度成比例）1、均匀概率分布：随机变量x在相同长度的区间的可能性相等。2、均匀分布概率密度函数 f (x) = 1/(b a) ， a x 20).,化为标准正态分布z = (x - )/ (1)= (20 - 15)/6= 0.83 标准正态分布表显示了在Z= 0.83 左边区域的面积 0.7967 . 阴影部分的面积是 1 - 0.7967 = 0.2033. 所以缺货的概率是0 .2033.,0,0.83,面积 = 0.7967,面积 = 0.2033,z,运用标准正态概率表
9、注意该表与商务与经济统计P676表1的差别。,从标准正态分布表可以得出： P(Z1.645)=0.05 称1.645为概率0.05对应的临界值。 临界值的含义是：超过这个数值的概率是给定的概率。临界值脚码的概率值是临界值右侧的概率。 如果商店经理希望缺货的概率不高于 0.05，那么订货点应该在哪？ P(X x0.05)= 0.05，先求P(Z z0.05)= 0.05。,令 z0.05 为对应于右侧尾部概率等于0.05的Z值。,面积 =0 .05,面积 =0 .95,0,z0.05,在标准正态概率表中查找 0.9500 面积，以得到相应的z0.05 值。得到 z0.05 = 1.645 。,也
10、可利用EXCEL的normsinv函数来求临界值，该函数为标准正态分布累积函数的逆函数。其使用方式为： normsinv（p） 例如， normsinv（0.95）=1.645,代回(1)式求出相应的x0.05 值x0.05 = + z0.05 = 15 + 1.645(6) = 24.87 24.87加仑的订货点会在0.05的缺货概率下保证从订货至交货的时间内的库存。,注意以下几点：标准正态临界值 z*有如下表示方法：P(Z z*) = ，则 z* = z (右截尾规则)。对于标准正态累积分布函数 显然有： P(x1 Z Z)= ，例如：,P(Z 1.96)= 0.025， P(Z 1. 6
11、45)=0.05 。 根据正态分布的对称性，还有 Z= - Z1- 例如： Z0.025 = 1.96 Z0.975 = -1.96 Z0.025 = - Z0.975,3、在Excel中，可用函数 normsdist 求标准正态分布的累积概率。其使用方式为： normsdist（x） 例如： normsdist（1.645）=0.95004、若用常数 X表示一般正态分布的临界值，它和概率 的关系是 P(X X)= 。 由于一般正态分布不是关于直线x=0对称，所以 满足 X= - X1- 。,在Excel中，可用函数 normdist 计算一般正态的累积分布函数或概率密度函数。 其使用方式为：
12、 (1)、计算累积分布函数值： normdist （x, ,1） (2)、计算概率密度函数值： normdist （x, ,0） 在Excel中，可用函数 norminv 计算一般正态分布函数的逆函数。使用方式为： norminv（p, , ）,二项概率的正态近似,当 n 20, np 5, n(1 - p) 5时，可以用正态分布来近似二项概率。令 = np 则近似地有： X N np ,np(1-p)因为采用连续分布来近似离散分布，需要加减连续性修正因子。 例如：以P(9.5 X 10.5)来近似P(X= 10) 。,三、指数概率分布 1、指数概率密度函数2、指数分布概率,Exponenti
13、al Probability Distribution,Example: Als Full-Service Pump,The time between arrivals of carsat Als full-service gas pump followsan exponential probability distributionwith a mean time between arrivals of 3 minutes. Al would like to know theprobability that the time between two successive arrivals wi
14、ll be 2 minutes or less.,x,f(x),1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,Time Between Successive Arrivals (mins.),Exponential Probability Distribution,P(x 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866,Exponential Probability Distribution,A property of the exponential distribution is that the mean, m, and standard deviation,
15、 s, are equal.,Thus, the standard deviation, s, and variance, s 2, forthe time between arrivals at Als full-service pump are:,s = m = 3 minutes,s 2 = (3)2 = 9,Exponential Probability Distribution,The exponential distribution is skewed to the right.,The skewness measure for the exponential distribution is 2.,泊松分布与指数分布的关系,泊松分布给出了每一间隔中发生次数的适当描述；指数分布给出两次发生之间间隔长度的描述。,总 结,课后作业,P154-155： 第11、15、22、23题,
