第04章概率随机变量.doc

1、1第 4 章 概率随机试验：对随机现象的客观观测。随机试验具有（1）可重复性；（2）可观测性；（3）随机性。样本空间：随机试验的所有结果的集合称作样本空间。概率的统计定义：在不变的一组条件下，重复进行 n 次试验。当 n 充分大时，若事件A 发生的频率稳定地在某个常数 p 附近摆动，且一般来说， n 越大，摆动幅度越小，则称常数 p 为事件 A 的概率，记为 P(A) = p。 （如，投硬币，求正面朝上的概率。 ）0 200 400 600 800 100000.20.40.60.81模拟投硬币 1000 次，正面朝上次数占总次数比率随时间变化的序列图概率的古典定义：若 A1, A2, , A

2、n 构成一个等可能完备事件组，而事件 B 是由其中 m个基本事件构成，则事件 B 的概率用下式表示。P(B) = m / n（投色子中求某个点的概率。 ）客观概率：由可重复试验定义的概率为客观概率。 （如投硬币时，正面朝上的概率，某次火车晚点的概率，某校学生每年通过英语 4 级的概率，某段公路上车辆发生交通事故的概率等。 ）概率的统计定义和古典定义都指的是客观概率。主观概率：是对概率的主观解释。常用于不可重复试验的事件。 （某学生来年能考上大学的概率，某市某天下雨的概率。 ）相互独立：若两个事件积的概率等于这两个事件概率的积，即P(A B) = P(A) P(B)则称事件 A，B 相互独立。

3、（例 A、B 表示两粒麦种各自发芽的概率。显然 A、B 相互独立，且相容。 ）互不相容：若事件 A，B 不能同时发生则称事件 A，B 为互不相容事件。 （投色子中“1 点”和“2 点”是互不相容事件。但“1 点” 和“奇数点”是相容事件。 ）注意：“相互独立” 和“互不相容”是两个不同的概念，不要混淆。互不相容事件一般不是相互独立事件。因为对于两个相互独立事件 A，B，有 P(A) 0，P(B) 0。则 P(A B) = P(A) P(B) 0。当 A，B 为互不相容事件时，必有 P(A B) = 0，不能满足相互独立的条件。见 61 页例 1。条件概率：在事件 A 已经发生的条件下，事件 B

4、 发生的概率称作事件 B 在给定事件 A下的条件概率。表示为 P(B|A)。2利用概率的古典定义求概率时，完备事件组内的基本事件必须是等概的。下面介绍一种基本事件不一定是等概的求概率问题。贝努里试验过程若一个随机试验只含有两种相互对立的可能结果，则称作贝努里（Bernoulli）试验。如一个篮球运动员投篮命中率为 0.7，非命中率为 0.3，投篮一次，结果可能是“投中”也可能是“未投中” 。这就是一次贝努里试验。观察一个灯泡使用寿命低于还是高于 100 小时也是一次贝努里试验。实际中，常常不是只考察一次贝努里试验，而是连续考察多次。把这样的序列称作贝努里试验序列。贝努里试验过程：在 n 次贝努

5、里试验中，假设每次试验结果与其他各次试验结果无关，且每次试验中该试验结果出现的概率都是 p,（0 0.5 时，为左偏分布；p 0，则称 x 服从正态分布。记作 x N(, 2 )。 , 分别是 x 的数学期望和标准差。可以证明E(x) = x f (x) dx = x exp(- ) dx = 212(Var (x) = (x - )2 f (x) dx = (x - )2 exp(- ) dx = 212(x= )(Var三种不同参数的正态分布曲线见图 1。概率密度函数 f (x)呈钟形。最大值点在 x = 处。曲线以 x = 对称。在 x = 处密度函数曲线有拐点。当 x 时，f (x)

6、以 x 轴为渐近线。当 较大时，f (x) 曲线较平缓；当 较小时， f (x) 曲线较陡峭。已知 和 的值，就可以完全确定正态分布密度函数。对某产品的物理量测量常服从于正态分布。标准正态分布定义：对于正态分布密度函数 f (x)，当 = 0， = 1 时，即f0 (x) = exp(- )212x称连续型随机变量 x 服从标准正态分布。记作 x N(0, 1 )。对于标准正态分布 E(x) = 0，Var(x ) = =1。(Var标准正态分布曲线见图 2。标准正态分布密度函数 f0(x)有如下性质：（1） f0(x) 以纵轴对称；（2）x = 0 时，f 0(x) 的极大值是 1/ = 0

7、.3989；（3）f 0(x) 在 x = 1 处有两个27拐点；（4） f0 (x) = 0。Tplim1 2 3 4 5 60.20.40.60.8-4 -2 2 40.10.20.30.4图 1 正态分布曲线 图 2 标准正态分布曲线正态分布随机变量的标准化。若 x N(, 2 )，a, b 为任意实数，且 a 30，t 分布就很近似于标准正态分布。t 分布的均值和方差分别为E(t(n) ) = 0Var(t(n) ) = n / (n -2), n 2-4 -2 2 40.10.20.30.42 4 6 8 100.10.20.30.4图 4 t 分布密度曲线 图 5 2 分布密度曲线

8、注意：（1）当 n 2 时，方差无定义。 （2）当 n 时，Var( t(n) ) = 1，与标准正态分布的方差相同。t 分布的百分位数可以通过 t 分布表（附录 2）查到。2(2)2(3)2(5)t(5)N(0,1)9练习查 t 分布表 (p.427)。t0.95(30) = 1.706.2.3 2 分布如果随机变量 x 有如下密度函数，f (x) = n , x 02/)(/e0, x 0其中常量 n 只与 n 有关（而与 x 关）n = 1, 2, , 则称连续型随机变量 x 服从自由度为 n 的2 分布。2（读作“开方” ， 是希腊字母）分布是连续型的概率分布，并具有一个参数 n。n是

9、 2 分布的自由度。n 可以取所有正整数，从而构成一个 2 分布族。n 的不同值对应着 2分布族中不同的具体的 2 分布曲线。服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量用 2 (n) 表示。 2 (n) 的取值范围是（0, ） 。2 (2) , 2 (3) , 2 (5) 的分布密度曲线见图 5。 2 分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度 n 的加大，偏倚程度变小。当 n 增大时， 2 分布的形状趋近于正态分布。可以证明（略） ， 2 分布的均值和方差分别为E(2 (n) ) = nVar(2 (n) ) = 2 n, n 2由上两式知，当 n 增大时， 2 分布的均值和方差也分别增大。注

10、意： 2 分布的百分位数可以在 2 分布表（附表 3）中查到。练习查 2 分布表 (p.426)。例：已知 P2 2（10） = 0.05，求 2。20.95（10） = 18.31例：P 2 2（18） = 0.01，求 2。20.99（18） = 34.81例：P 2 2（18） = 0.95，求 2。20.05（18） = 9.396.2.4 F 分布如果随机变量 x 有如下密度函数，f (x) = (n1, n2) , x 02/)(11nx0, x 0其中常量 (n1, n2) 只与 n1 和 n2 有关（而与 x 无关）n = 1, 2, , 则称连续型随机变量 x 服从第 1 自

11、由度为 n1，第 2 自由度为 n2 的 F 分布。100.5 1 1.5 2 2.5 30.511.52图 6 F 分布密度曲线F 分布是连续型的概率分布，并具有两个参数 n1 和 n2 。n 1 和 n2 是 F 分布的两个自由度。n 1 称作第 1 自由度（或分子自由度） ，n 2 称作第 2 自由度（或分母自由度） 。n 1 和 n2 可以取所有正整数，从而构成一个 F 分布族。每个（n 1, n2）对应着 F 分布族中一个不同的具体的分布曲线。服从自由度为 n1 和 n2 的 F 分布的随机变量用 F(n1, n2) 表示。F (n1, n2) 的取值范围是（0, ） 。服从 F 分

12、布的密度曲线见图 6。F 分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度 n1和 n2 的加大，F 分布的众数趋近于 1。F 分布的分布密度曲线随二个自由度的不同而不同。F 分布表给出了左侧概率 = 0.9， = 0.95 时，对应 F（临界值）的值，即 P（F 2注意：（1）当 n2 2 时，均值无定义。 （2）当 n2 增大时，E(F (n1, n2) 趋近于 1。F 分布的方差为Var(F(n1, n2) = , n2 4)()2(1注意：（1）当 n2 4 时，方差无定义。 （2）当 n1, n2 增大时，Var(F (n1, n2) 趋近于零。因为 F 分布有两个自由度，所以 F 分布是

13、以不同的百分位数分别编表的。附表 c-4 给出 F 分布第 95，99 百分位数表（相对于 = 0.95 和 = 0.99） 。已知 F 分布第 95，99 百分位数，可利用下式求其第 5，1 百分位数。F1- (n1, n2) = 1 / (F (n2, n1)注意：在上式的分母中 n1, n2 对调了位置。练习查 F 分布表 (p.428)。例：已知 P（F F 0.95（4，6） ）= 0.95，求 F0.95（4，6） = ?。查 F 分布表，F 0.95（4，6） = 4.5例：P ( F F0.05（6.4） ) = 0.05 时，求 F 0.05（6.4） ) = ?。F0.05

14、 (6，4) = = = 0.22)6,4(95.013.例：已知 P（F F 0.99（8，25） ）= 0.99，求 F0.99（8，25） = ?。F(2,8)F(10,10)F(100,100)11查 F 分布表 (p.430)，F 0.99（8，25） = 3.32注意：t 分布、 2 分布、F 分布是统计推断中常用到的三个统计量。6.3 随机变量 Z、t 、 2 与 F 的关系1Z 2 = F(1, )2t ( n) 2 = F(1, n)3. 2( n) / n = F(n, )第 7 章 中心极限定理第 4 章介绍过随机事件发生的频率具有稳定性，例如投硬币。在实践中人们还认识到

15、大量观测值的算术平均数也具有稳定性。无论个别随机现象的结果如何，大量随机现象的平均结果实际上与每一个个别随机现象的特征无关。这种平均结果几乎不再是随机的了。7.1 大数定律设随机变量 x1, x2, , xn 相互独立，服从同一分布，且分别具有相同的期望和方差（有限值） ，E( xi) = , Var(xi) = 2 (i = 1, 2, , n)，则对于任意正数 有 - = 1 (7.1)PLmn其中 = 。 - 是一个随机事件。定律表明当 n 时，这个事件的概率xi1x趋近于 1。随着 n 的增加， 依概率收敛于 。7.2 中心极限定理设随机变量 x1, x2, , xn 相互独立，服从同

16、一分布，且有相同的期望与方差（有限值） ，E(xi) = , Var (xi) = 2，( i = 1, 2, , n)，则对于一切实数 a b 有a b = (7.2)PLimn21niduea21因为 E( ) = n, Var ( ) = n 2，所以只要 n 充分大 ，无论 xi 服从何种分布，ix1ix1近似服从正态分布，即 N (n, n 2)。nix1 ni1p当 的分子和分母同除 n 时，(2) 式也可写成，21nni z = (7.3)PLimnnxdueZ2112即 服从正态分布， 服从标准正态分布。当 n 充分大时， 近似服从正态分布。xnx x7.3 李雅普诺夫（Lia

17、punov）定理设随机变量 x1, x2, , xn 相互独立，具有有限的数学期望与方差 E(xi) = i , Var (xi) = 2， (i = 1, 2, , n)，且每个 xi 对和式 影响都不大，则nix1 z = PLimnniii12duez2其中 z 为一切实数。这说明一个随机现象有众多随机因素引起，且每一因素都不在变化中起显著作用，那么，当 n 充分大时，描述这个随机现象的随机变量 近似服从正态分布。nix1例 1：一个螺丝重量是一个随机变量 xi ，E(x i) = 0.1 公斤，Var(x i) = 0.01 公斤 2，求一盒（100 个）螺丝重量超过 12 公斤的概率

18、。解：依据中心极限定理， 近似服从正态分布。E( ) = 1000.1=10，Var( ) ni1 10i 10ix= 1000.01 = 1P 12 = P = 1 - P(Z 2) = 1 - 0.9773 = 0.022701ix10ix2例 2 某一部件包括 10 部分，每部分的长度 X 是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布 E(X) = 2(cm), = 0.05, 若规定总长度为 200.1cm 时为合格品，求该部件)(XVar为合格品的概率。解：已知 Xi N(2, 0.052)。依据中心极限定理，P - 20 0.1 = P Z = P Z 0.63310i 205.1=

19、 P Z 0.633- (1- P Z 0.633) =2 P Z 0.633 -1 = 2 0.7357-1 = 0.4714例 3：计算机在进行加法时，对每个加数取整，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5, 0.5）上服从均匀分布。（1）若将 1500 个数相加，问误差总和绝对值超过 15 的概率是多少？（2）多少个数加在一起，使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90。解：（1）虽然随机变量取整误差 X 是均匀分布的， （E(X) = 0 , Var(X) = ）依据中12心极限定理可认为 1500 个取整误差的和是近似正态分布的。 （不13用）则 P 15 = 1

20、- P 15 = 1 - P Z 150iX150iX1250= 1 - P Z 1.34 = 1 - (2 P Z 1.34 1 ) = 2 (1- PZ 1.34 ) = 2 (1-0.9099) = 0.18(2) P Z = 0.90, 2(10 / -1 = 0.9020/(10/ ) = 0.95, = 1.65, , Z = ( 12 = 4411/1/0Z65.1022).7.4 拉普拉斯（Laplace）定理设 X B(u, p)，则对于任意区间 (a, b) 有Pa b = nLim)1(pnXduena21这是中心极限定理的一个特例，二次分布以正态分布为极限。例 4 将一

21、枚硬币连掷 100 次，计算出现正面的次数大于 60 的概率。解 每次试验出现正面的概率为 0.5，掷 100 次出现正面的次数 X 看作服从二项分布的随机变量。则X B(100,0.5)依据拉普拉斯定理PX 60 = PZ = 1- PZ 2 = 1-0.977 = 0.02325.016例 5 某单位设置一电话总机，共有 200 台电话，设每台电话有 5%的时间要使用外线，假定每个分机是否用外线通话是相互独立的，问总机要设置多少条外线才能以 90%的概率保证每台电话随时使用外线。解：设同时使用外线的电话台数为 X，据题意 X B(200, 0.05)。设需要设置 b 条外线。根据拉普拉斯定理PX b = 0.9 PZ 95.02PZ = 0.9.91= 1.29 b = 1.29 +10 = 145.0b5.答：需设置 14 条外线。