1、1变化率与导数及其计算，导数的几何意义及其应用一、 变化率与导数及其计算问题 1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解：气球的体积 ，则 。34Vr34Vr当空气容量从增加时，半径增加了 ；10.62r气球平均膨胀率： (1)0.62r问题 2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: ，求s 到s 时的平均速度21Stgt解： ， ，平均速度2134.7Sg21(2)14.7Sv思考：求 s 到 s 时的平均速度t平均变化率如果上述的两个函数关系用 表示,那么当自变量 从 变化到 时，函数值fxx12x就从 变化到
2、 ,则函数 从 到 的平均变化率： 。1y2f12 21()ff思考：它的几何意义是什么呢？问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是: ，如何求 t=3 这时刻的瞬时速度呢？21Stgt能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？（我们可以取 t=3 临近时间间隔内的平均速度当作 t=3 时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小） 解：取一小段时间： ，则有3,t2，从而2193,62SgSgtgvtt当 时， =29.4（平均速度的极限为瞬时速度） 0t即： 03lim9.4ttS思考：在 时刻的瞬时速度呢？ 0t 00limtSt瞬时变化率思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数
3、 在fx点的瞬时变化率呢？0x可知:函数 在 处的瞬时变化率为： ，我fx0000limlimx xfxff们称它为函数 在 处的导数，记作 。f0 00lixfff小结 1：由定义知，求 在 处的导数的步骤为：fx000()()(;yfx值 )2f0(3)lim.xy值例 1. 求 在点 处的导数21解： ，22(1)()yxx2()yxx， 。00limli()xx1|x小结 2：平均速度 瞬时速度；平均变化率 瞬时变化率；3导数 000limxfxff二、导数的几何意义如图,曲线 C 是函数 的图yfx象, 是曲线 C 上的任意一点,0Pxy为 P 邻近一点, PQ 为,QC 的割线,P
4、M / x 轴,QM / y 轴, 为PQ 的倾斜角 .则,MPxQytan.x MQPO我们发现,当点 Q 沿着曲线无限接近点 P 即 时,割线 PQ 有一个极限位0x置 PT.则我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.设切线的倾斜角为 ,那么当 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处0x的切线的斜率. 即： 。0000()()()limlixxfxfykf切 线注：这个概念， 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在 处的导数.0x例 1: 求曲线 在点 P(1,2)处的切线方程.21yfx2 2000 0()()1()():limlimlim.x x x
5、f xk x值因此,切线方程为 , 即 .21yxy注：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切请 问 ： 是 割 线 P的 什 么 ?4线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.QPy =x2 +11xy-1 11OM yx练习: 如图已知曲线 上一点 ，求:31yx8(2,)3P(1) 点 P 处的切线的斜率; (2) 点 P 处的切线方程. 31(),yx值 300223011()limli13()lixxx x220li().xxx2|4.xy即点 P 处的切线的斜率等于 4. 5yx-2 -1 1 2-2-11234OP31x(2) 在点 P 处的切线方程是 ，即 .
6、8423yx1360xy三、导数1. 什么是导函数?由函数 在 处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数.那么,当fx0 0fx变化时,便是 的一个函数,我们叫它为 的导函数.即:x fx00()()()limlixxyfxffxy在不致发生混淆时，导函数也简称导数注： 00 0()()()()()yfxfxfxfx 函 数 在 点 处 的 导 数 等 于 函 数 的 导 函 数 在 点.处 的 函 数 值2. 如何求函数 y=f(x)的导数 ?(1) ()();yfxfx求 函 数 的 增 量 ()()2 : ;yfxfx求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值0
7、(3) ()lim.xyf求 极 限 ， 得 导 函 数6.yxy例 4.已 知 ， 求，,xA解 ： 1yxx0011limli .2xxyyxx知识小结:a. 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b. 要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。c. 弄清“函数 在点 处的导数”、 “导函数 ”、 “导数”之间的区别与联系。fx0（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是对某一区间内任意点 而言的,就是函数 的导函数 。xfx()fx（3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，即fx00()f ()f0。这也是求函数在点 处的导数的方法之一。 00()|fxf xd. 求切线方程的步骤：（1）求出函数在点 处的导数 ，得到曲线在点 的切线的斜率。0x0()fx 0,xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 0()().yx注：无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。
