1、教案课型：讲授章节 第二章 导数与微分 第一节 导数及其运算 1导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区
2、间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业1 导数及其运算一、导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 00)(tfts这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令 t t00 取比值 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即0)(tf
3、 lim0tfvt这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 0)(lim0xfx令xxx 0 则 yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0 相当于 x 0 于是 0)(lim0xfx成为或 x0li xff)(li00导数的定义 设函数 yf(x)在点 x0 及其近旁有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x 时 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0)，如果当x0 时， 的极限存在 则称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记作 即,0()f xffxy
4、f )(limli( 000也可记作 或 0|xy0xd0 )(xf函数 f(x)在点 x0 处有导数（即极限 存在） ，有时也说成 f(x)在点 x0 可导如果极yxli限 不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导如果不可导的原因是由于x 0 时yx0lim 也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大xy导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hffxfh)(lim)(000 0)0xx在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果函数 yf(x)在开区间 （ a， b） 内的每一
5、点都可导 就称函数 y=f(x)在开区间（ a， b） 内可导 这时 对于开区间 （ a， b） 内的任一点 x 都对应着一个确定的导数 这样就构成了一个以 （ a， b）为定义域的 新函数 这个新函数叫做原来函数 f(x)的,()fx导函数 简称导数，记作 或 即)(xfydxf)(= 或fx0limxf)(li00f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即00f导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义
6、f(x)在 的左导数 = 00,()flim00)fff(x)在 的右导数 = .00,()fxli00()(fxfx左导数和右导数统称为单侧导数. 导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b) 内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有闭区间a, b上可导 3、求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 hffh)(lim)(00lih即(C ) 0 例 2 求 的导数 xf1)(解 hxhfffh1lim)(li)(
7、00 200 1)(lim)(li xhxh例 3 求 的导数xf解 hxhfffh 00li)(li)( xxh 21mli0例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数) 在 xa 处的导数 解 f ( a) (x n1ax n2 a n1)na n1 ali naxlilim把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21x(1更一般地 有(x )x 1 其中 为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hfh)(lim0hxhsin)si(l0 2incos21lix hhcs2i)s(li0即 (sin x)cos
8、 x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hfh)lim0hax0li1t令 )1(logmtax aeaxxlnlog特别地有(e x )e x 例 5求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhff ahh log)(lim)li)( 00 hxahaax)1(lim)1(li(log1i 0 axeln1log解 hxfah)(lim)(0)1(logim0xhah xa)1(logielnl即 xaln)(l特殊地 1 axaln)(logx)(例 6求函数 f(x)x|在 x0
9、 处的导数 解 1|lim)(li)0( hhffh |li(lim00 fff因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 二、导数的几何意义设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线C 趋于点 M 时 如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 00)(tanxfx其中
10、 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k 即0)(lim0xfx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中 是切线 MT的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率 即f (x 0)tan 其中 是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线xx
11、0 为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f (x0)0 法线的斜率为 从而法线方程为)(10f 0xfy例 8 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法y1)2,(线方程 解 所求切线及法线的斜率分别为21xy 4)(211xk412k所求切线方程为 即 4xy40 )(y所求法线方程为 即 2x8y150 14x例 9
12、求曲线 的通过点(0 4)的切线方程 y解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为 021303)(0xfx于是所求切线的方程可设为 )(2300xxy根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 )(400解之得 x04 于是所求切线的方程为 即 3xy40 )4(23y三、函数的可导性与连续性的关系定理 1 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即 存在 则)(lim00xfy lilililim0 fxxx这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数 在区间(, ) 内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在3)f点 x0 处导数为无穷大x hffh)0(lim0h0li3
