1、第4章 连续系统的复频域分析,4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性,本章要求,1.理解拉氏变换的定义和性质，会利用性质计算简单信号的拉氏变换与反变换； 2.能利用部分分式展开法求解拉氏反变换； 3.能利用拉氏变换求解常系数微分方程，把微分方程变换为S域的代数方程，求解零输入响应和零状态响应； 4.能根据时域电路模型画出S域电路模型，并求解电路的零输入响应、零状态响应和全响应； 5.理解系统模拟框图和信
2、号流图的意义，会根据H(s)的极点判断系统稳定性。,频域分析法的优点：,(1) 将时域中的微分方程转换成频域中的代数方程，从而简化了系统响应的求解过程。 (2) 信号的频谱具有明确的物理意义，在许多只需定性分析的问题中用频谱的概念来说明是很方便的。,(1) 频域分析法虽然避免了微分方程的求解和卷积积分的计算，但是必须增加两次积分变换，即在输入端进行一次傅里叶正变换，在输出端进行一次傅里叶反变换，而这两次积分变换的求解往往不是很容易。 (2) 傅里叶变换的运用一般要受绝对可积条件的约束，而许多信号往往是不符合绝对可积条件的，这时，从极限的观点可以求解上述信号中的一些，如单位阶跃信号(t) ，所以
3、其傅里叶变换仍然存在。而另一些信号，如单边指数信号eat (t)(a0)则不存在傅里叶变换。 (3) 频域分析法只能求解系统的零状态响应。,频域分析法的缺点：,(1) 对系统的微分方程进行变换时，可以自动引入初始条件，求系统的全响应。 (2) 对信号的适应性比傅里叶变换强。,拉普拉斯变换法的优点：,拉普拉斯（Pierre Simon Laplace， 1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。 拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周 期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。 拉普拉斯的著名杰作天体力学，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典
4、天体力学的代表著作。 宇宙系统论是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。 拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。,4.1 拉普拉斯变换,4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换,一个信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。例如，e-t(t)(0)就是这种信号。若f(t)不满足绝对可积条件， 则其傅里叶变换不一
5、定存在。例如，信号(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在， 而信号et(t)(0)的傅里叶变换不存在。若给信号et(t)乘以信号e-t()，得到信号e-(-)t(t)。信号e-(-)t(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。,收敛因子,设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有,根据傅里叶逆变换的定义，则,上式两边乘以et，得,复频率,双边拉普拉斯变换，象函数 Double-sided Laplace Transform,拉普拉斯反变换，原函数,4.1.2 双边
6、拉普拉斯变换的收敛域 ROC the Region of Convergence,任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-t的傅里叶变换，因此，若f(t)e-t绝对可积，即,例 4.1 - 1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，0。,例 4.1 - 2 求因果信号f2(t)=e-t(t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。,解 设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s), 则,例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-t(-t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。,图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F
7、2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域,双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。 实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。,4.1.3 单边拉普拉斯变换 Single-sided Laplace Transform,信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为
8、,把t=0时刻出现的冲激包含进去,本章节只讨论单边拉普拉斯变换。,拉普拉斯变换的物理意义,从物理意义上来说，拉普拉斯变换是把函数分解成无穷多个形式为est的指数分量之和。 复频率s=+j可以方便地表示在一个复平面( s 平面)，如下图：,与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足,则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，可表示为,4
9、.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换,4.2 单边拉普拉斯变换的性质,1. 线性,若：,则：,2. 时移性,若：,则：,3. 复频移,例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。,例 4.2-4,4. 尺度变换,若,则,式中， 为常数，,证：,例 4.2-5 已知,求f1(t)的象函数。,解 因为,5. 时域卷积,证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则,例 4.2-6 已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号f(t)的关系为f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的单边拉氏变
10、换。,图 4.2-1 例 4.2-6 图 (a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形,6. 时域微分,式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。,证 先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义， 则有,反复应用式(4.2-9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2-11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Res0。若F(s)在s=0处有一阶极点，则sF(s)中的这种
11、极点被消去，f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此时，时域微分性质表示为,n=1, 2, ；Res0,例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。,解,(1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于,故根据线性得,若应用时域微分性质求解，则有,(2) 求f2(t)的单边拉氏变换。由于,因此得,7. 时域积分,若f(t) F(s)，Res0, 则有：,若f(-n)(t)表示从-到t对f(t)的n重积分，则有,(4.2-12),(4.2-13),证明式(4
12、.2-12)： 因为,根据时域卷积性质，则,因为,证明式(4.2-13): 因为,单边拉普拉斯变换为,根据线性得,若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为,若f(t)为非因果信号，则Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，若f(t)(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。,非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13
13、)求解。 若f(t)在t=-的值f(-)=0，f (1)(t)是f(t)的一阶导数，则,t-,若f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换为,若f(-)0，则,t-,对于t0-，有,则f(t)的单边拉普拉斯变换为,例 4.2-8 求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。,解 f(t)的二阶导数为,由于(t) 1, 由时移和线性性质得,由时域积分性质,图 4.2-2 例 4.2-8 图 (a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形,例 4.2-9 求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。,解方法
14、一 由于,根据单边拉氏变换的定义， 得,图 4.2-3 例 4.2-9 图,方法二 f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为,f(1)(t)的单边拉氏变换为,Res-,Res0,8. 复频域微分,若f(t) F(s), Res0， 则有,Res0,n=1, 2, ; Res0,证 根据单边拉普拉斯变换的定义,Res0,例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的单边拉氏变换。,解 由于,Res0，根据式(4.2 - 21)，得,Res0,于是得,Res0,由于t2(t)=(-t)(-t)(t)，,Res0,重复应用以上方法可以得到,Res0,9. 复频域积分,若f(t) F(s)，Res0，则有,
15、式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共部分。,证 根据单边拉普拉斯变换的定义,Res0,对上式两边从s到积分，并交换积分次序得,因为t0, 所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得,例 4.2-11,求f(t)的单边拉氏变换。,解 由于,根据复频域积分性质，得,10. 初值和终值定理,(1) 初值定理 若信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数， 并且,Res0,则信号f(t)的初值为,(2) 终值定理 若f(t)在t时极限f()存在，并且 f(t) F(s) Res0; -00 则f(t)的终值为,例 4.2-12,解 由于cos t(t) ，根据复
16、频移性质， 则有,由初值定理得,由终值定理得,说明： (1)利用初值定理时，需要判断象函数F(s)是否为真分式。为真分式时，可直接利用初值定理求初值f(0+)；若F(s)为假分式，则首先将F(s)化为得到真分式F1(s)，然后对该真分式利用初值定理求出的初值即为f(0+)。 (2)利用终值定理前，首先应根据F(s)判断终值是否存在，只有当F(s)的所有终点均在左半平面或在原点只有一阶极点时，其终值才存在。这时才可利用终值定理求终值f() ，否则将会导致错误的结论。,表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质,表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换,4.3 单边拉普拉斯逆变换,4.3.1 查表法,例4.
17、3-1 已知 ，求F(s)的原函数f(t)。 解 F(s)可以表示为,由附录F查得编号为15的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号15的变换对为,与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1, b0=1，=2，代入变换对得,4.3.2 部分分式展开法,若F(s)为s的有理分式，则可表示为,式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均为实数。若mn, 则 为假分式。若mn，则 为真分式。,式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。,若
18、F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即,则,例如，, 若 为有理真分式， 可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, , n)。 si可能为单根，也可能为重根； 可能为实根，也可能为复根。 si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。,1. F(s)仅有单极点若A(s)=0仅有n个单根si (i=1, 2, , n)，则根据附录A中式(A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为,式中，各
19、部分分式项的系数Ki为,故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为,由于,例 4.3-2 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。,解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2, s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开式为,所以,于是得,2. F(s)有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，则由附录A中式(A-8)和(A-11)可得,式中：,先求F1(s)的逆变换，因为,由复频移性质，可得,F(s)的单边拉普拉斯逆变换为,例 4.3-3 已知求 F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(s)有二
20、重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为,于是得,3. F(s)有复极点,如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，则F(s)可展开为,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 则有,由复频移和线性性质得F(s)的原函数为,对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。,如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其F(s)可展开为,式中：,根据复频移
21、和线性性质，求得F(s)的原函数为,例 4.3-4,已知,求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。,解 F(s)可以表示为,F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2j2, 可展开为,于是得,于是得,例 4.3-5 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为,式中，F1（s）,由线性和常用变换对得到,由时移性质得,例 4.3-6,已知单边拉氏变换,求F(s)的原函数f(t)。,解 F(s)为有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(s)又可表示为,因为,， 根据复频域微分性质，,则F(s)的原函数为,例 4.3-7 已知,求F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(
22、s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可以表示为,对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为,由于,因此，根据时域卷积性质得,于是得,例4.3-7 中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设f(t)为从t=0-起始的周期信号，周期为T，f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。 f(t)和f1(t)如图4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示为,令f1(t) F1(s), f(t) F(s), 则有,Res0,图 4.3-1 因果周期信号,例：求下列各象函数F(s)的拉氏逆变换f(t),* 4.3.3 反演积分法,单边拉普拉斯逆变换也可
23、以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求逆变换，这种方法称反演积分法。 单边拉普拉斯逆变换的定义为,留数定理的内容为：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲线L的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即,图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径,若给积分路径AB补充一半圆C，如图 4.3 - 2 所示，则构成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部是极点，根据留数定理， 则有,根据留数定理和约当引理，则F(s)的单边拉普拉斯逆变换为,t0,t0,根据复变函数理论，若F(s)为有理真分式，并且F(
24、s)est的极点s=si为一阶极点，则该极点的留数为,若F(s)est的极点s=si为r重极点，则该极点的留数为,(4.3 - 15),求F(s)的单边拉氏逆变换。,解 选a-2，则F(s)est在a左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。,于是，根据式(4.3 - 15)，得,t0,t0,4.4 连续系统的复频域分析,4.4.1 连续信号的复频域分解,根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)， 则信号f(t)可以表示为,4.4.2 基本信号est激励下的零状态响应若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为yf(t)，冲激响应
25、为h(t)，由连续系统的时域分析可知:,若系统的输入为基本信号，即f(t)=est,则,若h(t)为因果函数，则有,式中：,即，H(s)是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性边续系统的系统函数，est称为系统的特征函数,4.4.3 一般信号f(t)激励下的零状态响应,对于-j到+j区间上的任一s，信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为,根据线性系统的齐次性，对于-j到+j区间上的任一s， 为一复数，因此，信号 产生的零状态响应可以表示为,根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f(t)可以分解为-j到+j区间上不同s的指数信号 的和(积分)，因此，系
26、统对f(t)的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为,即f(t)产生的零状态响应Yf(t),因为f(t)、h(t)是因果信号，所以yf(t)也是因果信号。另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，则yf(t)的单边拉普拉斯变换为,式(4.4-6)和式(4.4-7)表明， 系统的零状态响应可按以下步骤求解： (1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s); (2) 求系统函数H(s); (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s);(4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；,例 4.4-1 已知线性连续
27、系统的输入为f1(t)=e-t(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。若输入为f2(t)=t(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。,f2(t)的单边拉氏变换为,yf2(t)的单边拉氏变换为,于是得,系统函数H(s)的求取,系统函数是零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，为,法1：已知微分方程可以直接写出系统函数；反之，已知系统函数同样能写出微分方程。,已知微分方程,则有,法2：已知h(t)求H(s)可见，冲激响应和系统函数是一对拉氏变换对。 即,法3：已知电路求 H(s) 可直接画出零状态下的复频域电路模型。,法4：系统函数与零状态响应的关系 当激
28、励为表明，激励为 时，响应(零状态响应或强制响应)为 。仅被加了权。 或者说，只要将指数激励乘以系统函数即可。,无时限复指数函数,条件：s1 位于 H(s) 的收敛域内，即位于 H(s)的最右极点的右面。,求零状态响应。,没有位于H(s)的收敛域内，响应不存在，或响应发散。,实质上，在时域中，把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；而在复频域中，把信号分解为无穷多个复指信号分量的和。如果把积分号看成求和号，则 的每一个 指数分量为则响应的分量为,把无穷多个响应分量叠加起来，得即：所以系统函数也可作如下定义：,法5：系统框图化简 已知子系统函数，求整个系统的系统函数。,线性系统的拉普拉斯变换分析法
29、1.从数学角度看线性系统的LT分析： (1)对微积分方程进行LT处理； (2)对电路进行LT处理。2.从信号分解的角度看线性系统的LT分析： 将系统的响应分为零状态响应yf(t) 和零输入响应yx(t),(1) yf(t)的求解：课本4.4.3 (2) yx(t)的求解： 只要知道了求解yf(t)时的系统函数H(s) ，就可以得到A(s) ，A(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为特征根，或自然频率，从而可以确定yx(t)中各个信号分量的形式。,4.5 系统微分方程的复频域解,设二阶连续系统的微分方程为,式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0
30、-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对式(4.5-1)两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微分性质，得,分别令,对式(4.5-4)取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即,系统的特征多项式,由于Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为,设n阶边续系统的微分方程为,n阶系统的微分方程为,关于响应的初始值需注意以下问题：,于是得,（1）对于n阶线性连续系统，由于yx(t)+yf(t), 因此有,（2）对于n阶线性连续因果系统，若在t0时yx(t)满足的微分方程相同，则,对于因果系统，若输入f(
31、t)为因果信号，则 一般不等于零，因此得,例 4.5-1 已知线性系统的微分方程为,求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。,f(t)的单边拉氏变换为,解 方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得,求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得,方法 2 分别根据yx(t)和yf(t)满足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)满足的微分方程为,由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。,yf(t)满足的微分方程为,yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-
32、)。,例：解：,因为t0时yx(t)不一定为零,例：解：,拉氏变换分析的优点： 1.把微分方程转化成代数方程; 2. 0-到作单边拉氏变换，0-状态自动包含其中，无需计算0+状态； 3.不仅可以求稳定系统，而且可求不稳定系统； 4.已知电路也可以直接求解。,时域激励 ui(t),时间响应 u0(t),拉氏变换激励 Ui(s),拉氏变换响应 U0(s),拉氏变换,拉氏反变换,拉氏变换求微分方程/电路的基本思想,存在的问题 高阶电路的微分方程不易列出； 电路中不可能只有一个电源，电路中存在多个电源怎么办？ 与以前所学知识无法联系，不能统一起来。,4.6 RLC系统的复频域分析,4.6.1 KCL、
33、KVL的复频域形式,KCL和KVL的时域形式分别为,设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对式(4.6 - 1)取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到,基尔霍夫定律,4.6.2 系统元件的复频域模型,1. 电阻元件(R)设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为,电阻R的时域模型如图 4.6-1(a)所示。设u(t)和i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对式(4.6-3)取单边拉普拉斯变换， 得,图 4.6-1 R的时域和S域模型 (a) 时域模型； (b) S
34、域模型,2. 电感元件(L)设线性时不变电感L上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电感元件VAR的时域形式为,(4.6-5),图 4.6-2 电感L的时域和零状态S域模型 (a) 时域模型； (b) 零状态S域模型,电感L的时域模型如图4.6-2(a)所示。设i(t)的初始值i(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质， 得,若电感L的电流i(t)的初始值i(0-)不等于零，对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，可得,S域的已知电压源,S域的已知电流源,图 4.6-3 电感元件
35、的非零状态S域模型 (a) 串联模型； (b) 并联模型,电感L上电压的象函数U(s)等于S域阻抗sL上的电压和S域电压源的代数和,电感L上电流的象函数I(s)等于S域阻抗sL上的电流和S域电流源的代数和,3. 电容元件(C)设线性时不变电容元件C上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电容元件VAR的时域形式为,电容元件的时域模型如图 4.6-4(a)所示。若u(t)的初始值u(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-9)取单边拉普拉斯变换，得,若电容元件C上电压u(t)的初始值u(0-)不等于零，对式(4.6-9)取单边拉
36、普拉斯变换， 得,S域的已知电压源,S域的已知电流源,图 4.6-4 电容元件的时域和零状态S域模型 (a) 时域模型； (b) 零状态S域模型,图 4.6-5 电容元件的非零状态S域模型 (a) 串联模型； (b) 并联模型,电容C上电压的象函数U(s)等于S域阻抗1/sL上的电压和S域电压源的代数和,电容C上电流的象函数U(s)等于S域阻抗1/sL上的电流和S域电流源的代数和,分析思路： 在分析电路的各种问题时，将原电路中已知电压源和电流源都变换为相应的拉氏变换； 未知电压、电流也用其拉氏变换表示； 各电路元件都用其复频域模型代替（初始状态变换为相应的电源），则可画出原电路的复频域电路模型
37、。 对该电路模型而言，用以分析计算正弦稳态电路的各种方法（如无源支路的串、并联、电压源与电流源的等效变换等等）都适用。 无需列写电路的微分方程。,注意： 1. 内电压源极性只与电容两端电压有关； 2. 内电流源方向只与电感电流有关； 3. 4. 初始状态是电感电流或电容电压时，才用运算等效电路。,RLC串联电路的S域模型,设：初始值为,零状态响应,零输入响应,结论： 由于引入拉氏变换，KCL、KVL的复频域形式，以及复频域阻抗 Z(s)或导纳 Y(s)。正弦稳态分析中的所用的分析方法和定理，完全适用于复频域分析。 由于初始条件化为信号源，由初始值引起的响应即零输入响应，实际上变为由等效信号源引
38、起的零状态响应。 S 域网络的电源分为激励源和初始电源。 初始电源单独作用产生零输入响应； 激励源单独作用产生零状态响应。,用拉氏变换分析动态电路的步骤： 1.将网络中电源的时间函数进行拉氏变换； 常用的拉氏变换有：常数AA/s, e-at(t)1/(s+a) 2.画出域电路图（特别注意初值电源）； 电感、电容和互感分别用其S域模型代替； 检查初值电源的方向和数值； 电源用其象函数(拉氏变换)代替； 电路变量用其象函数代替：i(t)I(s), u(t)U(s) 3.运用直流电路的方法求解象函数； 用网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等分析方法求象函数。 4.反变换求原函数。,4.6.3 RL
39、C系统的复频域模型及分析方法,零状态响应,零输入响应,零状态响应：,零输入响应:,全响应:,课堂练习题,电路如图所示，已知 i(0-)=1A，uS=e-t(t)V，求电感电压uL 。,例2：如图所示电路中，开关K闭合已久，在 t=0时K断开，试求输出电压u(t)。,解：电路初始值为 iL(0-)=4A, uC(0-)=8V,复频域模型如图所示。用节点法：,例4.6-1 图 4.6-6(a)所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态
40、响应iLf(t)。,解 (1) 求完全响应iL(t)：,图 4.6-6 例 4.6-1 图,则S域的网孔方程为,式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得,求IL(s)的单边拉氏逆变换，得,(2) 求零输入响应iLx(t)：设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s)，如图 4.6 - 6(c)所示。列网孔方程，得,把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程，,(3) 求零状态响应iLf(t)：,对图 4.6 - 1(b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态
41、响应的S域电路模型，如图 4.6 -6(d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统函数H(s)，然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，则有,于是得,把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为,因此得,求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得,4.7 连续系统的表示和模拟,4.7.1 连续系统的方框图表示,一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示，如图 所示。 方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系
42、统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。,几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。 此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元(子系统)连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器(放大器)、 积分器等。,1. 连续系统的串联,图 4.7-2 连续系统的串联 (a) 时域形式； (b) 复频域形式,设复合系统的冲激响应为h(t)，根据线性连续系统时域分析的结论， h(t)与hi(t)的关系为,若h(t)和hi(t)为因果函数，h(t)的单边拉普拉斯变换即系
43、统函数为H(s)，根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质，H(s)与Hi(s)的关系为,2. 连续系统的并联,图 4.7-3 连续系统的并联 (a) 时域形式； (b) 复频域形式,复合系统的冲激响应h(t)与子系统冲激响应hi(t)之间的关系为,h(t)的单边拉普拉斯变换，即系统函数H(s)与hi(t)的单边拉普拉斯变换Hi(s)之间的关系为,例 4.7-1 某线性连续系统如图 4.7-4 所示。其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。(1) 试求系统的冲激响应h(t);(2) 若f(t)=(t)， 试求系统的零状态响应yf(t)。,图 4.7-4 例 4.
44、7-1 图,解 (1) 求系统冲激响应h(t): 图示复合系统是由子系统h1(t)与子系统h2(t)串联后再与子系统h3(t)并联组成的。设由子系统h1(t)和h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得,复合系统的冲激响应和系统函数分别为,(2) 求f(t)=(t)时系统的零状态响应yf(t): 设系统零状态响应yf(t)的单边拉氏变换为Yf(s)，则,求Yf(s)的单边拉氏逆变换得,3. 用基本运算器表示系统,图 4.7-5 基本运算器的时域和S域模型 (a) 数乘器； (b) 加法器；(c) 积分器,4.7-2 某线性连续系统如图 4.7-6
45、所示。求系统函数H(s), 写出描述系统输入输出关系的微分方程。,图 4.7-6 例 4.7-2 图,解,Y(s)为右边加法器的输出，该加法器有两个输入，如图所示。 因此有,于是得,(4.7 - 6),(4.7 - 5),把式(4.7 - 5)代入式(4.7 - 6)， 得,系统函数为,对上式应用时域微分性质， 得到系统微分方程为,例1：,例2：已知如图所示系统。,(1)求系统函数H(s)。,(2)冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。,解：系统函数为,解：,4.7.2 连续系统的信号流图表示,图 4.7-7 信号流图的规则,图 4.7-7 信号流图的规则,信号流图是由节点与支路构成的表征系统中
46、信号流动方向与系统功能的图。 其中节点代表信号（即系统变量），支路代表信号流动方向与支路的H(s)。 信号流图基本上包含了框图所包含的信息。它是系统的另一种描述方法。 用这种方法表示系统比用框图表示系统更加简明、清晰，而且可以直接应用梅森公式求得系统函数。,关于信号流图， 还有如下常用术语： (1)节点：信号流图中表示信号的点称节点。节点的变量值等于所有进入该节点的信号代数和，从节点流出的信号值都等于这个变量值； (2)支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。 (3)源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点；仅有输入支路的节点称为汇点。,(4)通路：从一
47、节点出发沿支路传输方向，连续经过支路和节点到达另一节点之间的路径称为通路。(5)开路：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次，该通路称开路。(6)环(回路)：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，则该通路称为环或回路。,信号流图的性质： 1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积；2.当节点有几个输入时，节点将所有支路的信号相加，并将其和传送给与该节点相连的输出节点；,3.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输增益的支路，可以把它变成输出节点；4.给定系统，信号流图并不唯一；,1. 连续系统的信号流图表示,图 4.7-8 信号
48、流图与方框图的对应关系,模拟图与信号流图的相互转换规则,(1)在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。 (2)模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点。,(3)模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路。,(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路。,
