1、 实验二、连续时间系统的频域分析、复频域分析一、实验目的1、学会用 MATLAB 实现连续时间信号傅里叶变换2、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的频域特性3、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应4.学会用 MATLAB 进行 Laplace 正、反变换。5.学会用 MATLAB 画连续时间系统零极点图，系统的稳定性判断6.学会用 MATLAB 分析连续系统的频率特性；二、实验原理及程序示例频域部分：1傅里叶变换的 MATLAB 求解MATLAB 的 symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数 fourier()及ifourier()
2、两者的调用格式如下。Fourier 变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数 f 的 fourier 变换默认返回是关于 w 的函数。F=fourier(f，v):它返回函数 F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 w，即()()jvxFfedFourier 逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数 F 的 fourier 逆变换，默认的独立变量为 w，默认返回是关于 x 的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数 f 是 u 的函数，而不是默认的 x.注意：在调用函数 fourier()及 ifourier()之前，要用syms 命令对所用到的变量
3、（如 t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例 3-1 求 的傅立叶变换2()tfe解: 可用 MATLAB 解决上述问题：syms tFw=fourier(exp(-2*abs(t)例 3-2 求 的逆变换 f(t)21()Fjw解： 可用 MATLAB 解决上述问题syms t wft=ifourier(1/(1+w2),t)2连续时间信号的频谱图例 3-3 求调制信号 的频谱，式ttAGtf0cos)()(中 )2()(),21,40 tutA解：MATLAB 程序如下所示ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside
4、(t-1/4);Fw=simplify(fourier(ft)subplot(121)ezplot(ft,-0.5 0.5),grid onsubplot(122)ezplot(abs(Fw),-24*pi 24*pi),grid 3. 用 MATLAB 分析 LTI 系统的频率特性当系统的频率响应 H（jw）是 jw 的有理多项式时，有10()()()(MNNbjwjbjwBjAaaLMATLAB 信号处理工具箱提供的 freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a 和 b 分别是 H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w 为形如 w1
5、:p:w2 的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值,p 为频率取样间隔。H 返回 w 所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算 02pi 频率范围内以间隔 0.5取样的系统频率响应的样值a=1 2 1;b=0 1;h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例 3-4 三阶归一化的 butterworth 低通滤波器的频率响应为 321()()()Hjwjjw试画出该系统的幅度响应 和相位响应Hj。()解 其 MATLAB 程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=1;a=1,2,2,1;H=freqs(b,a,w);subpl
6、ot(2,1,1);plot(w,abs(H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(H(jw)的幅频特性);subplot(2,1,2);plot(w,angle (H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(phi(omega);title(H(jw)的相频特性);4用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应例 3-5 已知一 RC 电路如图所示 系统的输入电压为 f(t)，输出信号为电阻两端的电压 y(t).当 RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, 试求该系统的响应 y(t)t
7、解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为()1RjwHjwjC由此可求出余弦信号 通过 LTI 系统的响应为0cost000()()ytjt计算该系统响应的 MATLAB 程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1)+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2);subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel(f(t);xl
8、abel(Time(s);subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel(y(t);xlabel(Time(s);复频域部分1、用 MATLAB 进行复频域分析用 MATLAB 分析 LTI 系统的特性系统函数 H（s）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算 H（s）的零极点可以应用MATLAB 中的 roots 函数，求出分子和分母多项式的根，然后用 plot 命令画图。在 MATLAB 中还有一种更简便的方法画系统函数H（s）的零极点分布图，即用 pzmap 函数画图。其调用格式为 pzmap(sys)sys 表示 LTI 系统的模型，要借助 tf 函数获得，其调
9、用格式为sys=tf(b,a)式中，b 和 a 分别为系统函数 H（s）的分子和分母多项式的系数向量。如果已知系统函数 H（s） ，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应 可以用以前介绍过的 impulse（ j）和 freqs 函数。例 3-6 已知系统函数为 321ssH()=试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应 h(t)和频率响应 ，并判断系统是否稳定。（ j）解：其 MATLAB 程序如下：num=1;den=1,2,2,1;sys=tf(num,den);subplot(3 1 1); pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);su
10、bplot(3 1 2); plot(t,h)title(Impulse Response)H,w=freqs(num,den);subplot(3 1 3); plot(w,abs(H)xlabel(omega)title(Magnitude Response) 2、用 MATLAB 进行 Laplace 正、反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算 Laplace 正、反变换的函数 Laplace 和 ilaplace,其调用格式为()Flapceffi上述两式右端的 f 和 F 分别为时域表示式和 s 域表示式的符号表示，可以应用函数 sym 实现，其调用格式为 S=sym(A)式
11、中，A 为待分析表示式的字符串，S 为符号数字或变量。例 3-7 试分别用 Laplace 和 ilaplace 函数求（1） 的 Laplace 变换；()sin()tfeaut（2） 的 Laplace 反变换。2()1Fs解：（1）其程序为f=sym(exp(-t)*sin(a*t);F=laplace(f)或syms a tF=laplace(exp(-t)*sin(a*t)（2）其程序为F=sym(s2/(s2+1);ft=ilaplace(F)或syms sft= ilaplace(s2/(s2+1)3、系统函数的零极点分布、稳定性分析、幅频响应曲线、相频特征曲线例 3-7：已知系
12、统函数如下：，用 matlab 绘61774)(232sssH制零极点分布图，并判断系统的稳定性。程序：A=1 7 17 17 6;B=1 0 4;p=roots(A);q=roots(B);p=p;q=q;x=max(abs(p,q);x=x+0.1;y=x;clfhold onaxis(-x,x,-y,y)axis(square)plot(-x x,0 0)plot(0 0,-y y)plot(real(p),imag(p),x)plot(real(q),imag(q),o)title(连续时间系统的零极点图)text(0.2,x-0.2,虚轴);text(y-0.2,0.2,实轴);例
13、3-8 系统函数 zH5.0)(运行如下语句，可得 10 个频率点的计算结果A=1 0;B=1 -0.5;H,W=freqz(B,A,10)继续运行如下语句，可将 400 个频率点的计算结果用plot 语句画幅频和相频曲线B=1 -0.5;A =1 0;H,w=freqz(B,A,400,whole);Hf=abs(H);Hx=angle(H);clffigure(1)plot(w,Hf)title(离散系统幅频特性曲线)figure(2)plot(w,Hx)title(离散系统相频特性曲线)还可用 freqz 语句直接画图，注意区别A=1 0;B=1 -0.5;freqz(B,A,400)四
14、、实验内容与步骤（1）仔细阅读并验证执行以上 LTI 系统时域分析 程序实例（2）试用 MATLAB 求单边指数数信号的傅立叶变换，并画出时域波形与频2()()tfe谱图；（3）设 ，试用21()0.8().4HjwjjwMATLAB 画出该系统的幅频特性 和相频特性 ，()并分析系统具有什么滤波特性。（4）求信号 的拉普拉斯变换)()(3tetf（5）求函数 的反变换23795)(2ssF（6）已知连续系统的系统函数如下，试用 MATLAB 绘制系统的零极点图，并根据零极点图判断系统的稳定性 23546sH()=五、实验报告要求（1）整理并给出“实验内容与步骤” （2）-（6）中的程序代码与产生的图形；并回答下面的问题。（2）在“实验内容与步骤”6 中，连续时间系统稳定性的判断依据是什么？
