1、 5.1 引言,以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，傅立叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。,引 言,为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。,引 言, 5.2 拉普拉斯变换,一拉普拉斯变换的定义,则,1. 从傅立叶变换到拉普拉斯变换,
2、信号 f (t) 乘以衰减因子 ( 为任意实数)后容易满足绝对可积条件，依傅氏变换定义：,令 ，具有频率的量纲，称为复频率,2拉氏逆变换,对于 是 的傅立叶逆变换,两边同乘以,其中 ；若 取常数，则,积分限：对 对,所以,一拉普拉斯变换的定义,3拉氏变换对,正变换,反变换,记作 ， 称为原函数， 称为象函数,采用 系统，相应的单边拉氏变换为,考虑到实际信号都是有起因信号,所以,一拉普拉斯变换的定义,二拉氏变换的收敛域,收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；,说明：,6. 一般求函数的单边拉氏变换
3、可以不加注其收敛范围。,1. 满足 的信号称为指数阶信号；,2. 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；,3.,4.,5. 等信号 比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号， 无法进行拉氏变换；,二拉氏变换的收敛域,三一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全 s 域平面收敛,3.单位冲激信号,4幂函数 t nu(t),三一些常用函数的拉氏变换,5正余弦信号,收敛域,收敛域,三一些常用函数的拉氏变换,6衰减的正余弦信号,收敛域,收敛域,三一些常用函数的拉氏变换, 5.3拉普拉斯变换的 性质,一线性性,解：,例：,说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。,二延时
4、（时域平移）,证明：,若 则,二延时（时域平移）,注意： (1)一定是 的形式的信号才能用时移性质 (2)信号一定是右移 (3)表达式 等所表示的信号不能用时移性质,因为,所以,解：,二延时（时域平移）,解：4种信号的波形如图,例：,二延时（时域平移）,只有信号 可以用延时性质,二延时（时域平移）,二延时（时域平移）,时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。,结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以,例：周期冲击序列 的拉氏变换为,例,解：,解：,例,二延时（时域平移）,三尺度变换,时移和尺度变换都有:,证明：,若则,四s 域平移,证明：,若 则,例：求
5、 的拉氏变换,解：,五时域微分定理,推广：,证明：,若 则,六时域积分定理,证明：,若 则,因为第一项与 t 无关，是一个常数,例：求图示信号的拉普拉斯变换,求导得,所以,解：,六时域积分定理,七s 域微分定理,若 则 取正整数,证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得,即得证。,七s 域微分定理,例,解：因为,所以,八s 域积分定理,两边对 s 积分：,交换积分次序:,证明：,若则,九初值定理和终值定理,终值存在的条件:,若 的拉氏变换存在，且 则,初值定理,的所有极点有负实部,终值定理,证明,证明,初值存在的条件: 当 t 0时，f (t)=0，且 f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项,由时
6、域微分定理可知,所以,返回,九初值定理和终值定理,初值定理证明：,所以,终值定理证明,根据初值定理证明时得到的公式,九初值定理和终值定理,返回,例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值,初值,终值,初值,终值,注意应用终值定理的条件是满足的。,解：,九初值定理和终值定理,初值,因为 有两重极点 ，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即 的终值不存在,九初值定理和终值定理,例：,解：,即单位阶跃信号的初始值为1。,十时域卷积,若 为有始信号 则,证明：,交换积分次序, 5.4 拉普拉斯反变换,一部分分式展开法,ai,bi为实数，m,n为正整数。,分解,零点,极点,通常F(s)
7、具有如下的有理分式形式：,当 是真分式,是 的根，称为 的零点,是 的根，称为 的极点,拉氏逆变换的过程,一部分分式展开法,找出F(s)的极点,将F(s)展开成部分分式,查拉氏变换表求f(t),一部分分式展开法(mn),1.单阶实数极点,为不同的实数根,求出 即可将 F(s)展开成部分分式,(1)找极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,求系数,例：求 的拉氏逆变换,一部分分式展开法(mn),2. 极点为共轭复数,其中 为单实根， 为共轭复根，各个系数 的求法和单实根一样， 是共轭复数。,例：求 的逆变换,解：,实单根的系数求法同前面一样，这样有,可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求
8、系数A和B，比如设 得到,一部分分式展开法(mn),用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即,所以有：,用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单,一部分分式展开法(mn),3. 有重根存在,一部分分式展开法(mn),对于非重根，系数的求法和前面一样，对于重根则需用求导的方法求系数,解：展成部分分式,例：求 拉氏反变换,一部分分式展开法(mn),所以有,所以,一部分分式展开法(mn),F(s)两种特殊情况,非真分式 化为真分式多项式,用时移性质,一部分分式展开法(mn),二留数定理法,拉普拉斯反变换式,一阶极点的留数,k阶极点的留数, 5.5连续时间系统 的复频域分析,用拉氏变换法分析电路的步
9、骤,列 s 域方程（可以从两方面入手）,列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的 s 域模型建立代数方程。,求解 s 域方程,得到时域解答,一常系数线性微分方程的复频域求解法,我们采用 0- 系统求解系统微分方程，只要知道起始状态， 不需要求0-到0的跳变问题。,用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质 即,一常系数线性微分方程的复频域求解法,一般情况下微分方程为,如果x(t)是因果信号，对应的拉普拉斯变换为,即,是仅由系统的起始条件产生的零输入响应 是仅由激励产生的零状态响应,一常系数线性微分方程的复频域求解法,（1）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得,例
10、:求系统的零状态响应和零输入响应,解：,代入起始条件,得完全响应为,一常系数线性微分方程的复频域求解法,（2）求零输入响应，,代入起始条件,得零输入响应为,一常系数线性微分方程的复频域求解法,（3）求零状态响应，,得,得零状态响应为,可以验证,4.4 连续时间系统的复频域分析,时域关系,复频域关系,元件的S域模型,1.电阻元件,二电路的复频域模型,2.电容元件,电容的初始储能为零时,二电路的复频域模型,复频域阻抗,3.电感元件,电感初始储能为零时,二电路的复频域模型,复频域阻抗,线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：,KCL,KVL,二电路的复频域模型,例:已知如图所示各电路原已达稳态，t=
11、0时开关 K 换接，试画出电路的 s域模型。,二电路的复频域模型,解：(a) 开关 K 换接前电路已在直流稳态，所以容易求得,画出电路 S 域模型为,二电路的复频域模型,( b )直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有,画出电路 S 域模型为,二电路的复频域模型,(c) 直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有,画出电路 s 域模型为,二电路的复频域模型,(d) 在t 0 时电路没有电源作用，所以电路处于零起始状态，故 s 域模型为,二电路的复频域模型,例:已知各电路原已达稳态，t = 0时开关 K 打开，求 t 0时的,解：因为,所以可得到 s 域电路模型,二电路的复频域模型,由节点法得,所以
12、有,二电路的复频域模型,例:求图示电路的完全响应 ，已知,解：根据电路的起始状态得到S域电路模型,二电路的复频域模型,列写网孔方程,所以有,即得,二电路的复频域模型,5.6 系统函数,1.定义,一系统函数的定义,所以,其中,当 时，系统的零状态响应,则,响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,策动点函数：激励与响应在同一端口时,策动点导纳,策动点阻抗,转移导纳,转移阻抗,电压比,电流比,转移函数：激励和响应不在同一端口,2.分类,一系统函数的定义,一. 系统函数,利用网络的 s 域元件模型图，列 s 域方程,微分方程两端取拉氏变换,系统函数的求解方法:,例：已知描述系统的微分方程如下，求系统函数和
13、系统的冲激响应。,解：直接写出系统函数为,二系统函数与微分方程,进行拉普拉斯反变换，得到系统的冲激响应为,解：直接由分压、分流公式可以得到,例：电路如图，响应分别为 ，求对应的系统函数,三系统函数与电路,解：列写电路的网孔方程,例：给定电路如图所示，求对应的系统函数,解得,三系统函数与电路,解：根据系统函数的定义容易求得系统函数为,例: 设信号加到如图所示电路中，设电容上的起始电压为零，求电容电压,激励信号的拉普拉斯变换为,所以有,三系统函数与电路,即,四系统函数与信号流图,系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路
14、径和方向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。,信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，而且可以有不同方向输出。,四系统函数与信号流图,节点: 表示系统中的变量或信号的点称为节点。支路: 连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出混合节点: 既有输入支路又有输出支路的节点,通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点不多于一次。开通路:
15、 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。闭通路: 如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不多 于一次，则称为闭通 路、回路、环路 或简称为环。不接触环路: 环路之间没有公共节点。,四系统函数与信号流图,四系统函数与信号流图-Mason公式,Mason公式为,其中,从输入节点到输出节点之间的系统函数,特征式,从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益,在 中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后余下的部分,所有不同回路增益之和,所有两两互不接触回路增益乘积之和,所有三个互不接触回路增益乘积之和,四系统函数与信号流图-Mason公式,例：用Mason公式求图所示系统的系统
16、函数,解：先求环路，一共有4个环路，即,其中L1、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。,四系统函数与信号流图-Mason公式,所以流图的特征式为,前向通路只有一条，即 所有回路都和这条前向通路接触，所以,四系统函数与信号流图-Mason公式,系统函数为,四系统函数与信号流图-Mason公式,例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数,解：先求环路，一共有4个环路，即,其中L1、L4是两两不接触的回路,四系统函数与信号流图-Mason公式,可以求得流图的特征式,三条前向通路之(1),三条前向通路之(2),四系统函数与信号流图-Mason公式,三条前向通路之(3),所以系统
17、函数为, 5.7 系统函数的零极点分析,系统零极点的概念,一系统函数零极点定义,对系统函数分子分母多项式进行因式分解得,是系统零点,是系统极点,在复平面上，零点用“o”表示， 极点用“”表示，标出系统的 零极点的位置，称为系统的 零极点图,当 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 ，极点在右半平面，增幅振荡,在原点,在左实轴上， ，指数衰减 在右实轴上， 指数增长,在虚轴上,等幅振荡,共轭根,单极点,二零极点与冲激响应模式的关系,极点的影响,极点在原点,极点在实轴上,在虚轴上,增幅振荡,重极点,二零极点与冲激响应模式的关系,几种典型情况,二零极点与冲激响应模式的关系,系统零点分布只影响系统时域响应的
18、幅度和相位，对时域响应模式没有影响。比如已知系统函数及相应响应,两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式,零点的影响,二零极点与冲激响应模式的关系,二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系,频率特性,频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。,主要是指幅频特性和相频特性。,在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为,用零极点形式表示为,三零极点与频率响应的关系,令,有,三零极点与频率响应的关系,所以幅频特性为,相频特性为,将 都看作是两矢量之差， 将矢量图画在复平面内,三零极点与频率响应的关系,零点：,极点
19、:,三零极点与频率响应的关系,定性地画系统的幅频特性时 的规律：,（1）在原点 是否有零点，若有，则 否则从某一数值开始。,（2）当点 沿正虚轴向上移动时，如果点 离零点越来越近时，则 越来越小，反之， 越来越大。,（3）当点 沿正虚轴向上移动时，如果点 离极点越来越近时，则 越来越大，反之， 越来越小。,三零极点与频率响应的关系,(4) 虚轴若有零点 ，则当 靠近零点 时，,(5) 虚轴若有极点 ，则当 靠近极点 时，,(6) 在 处主要看零点极点的个数，若零点比极点多，则若极点比零点多，则若零点和极点一样多，则 为某一有限值。,三零极点与频率响应的关系,例：已知系统的零极点图如图所示，定性
20、画出各系统对应的幅频特性,三零极点与频率响应的关系,解：对应系统的幅频特性为,三零极点与频率响应的关系,三零极点与频率响应的关系,三零极点与频率响应的关系,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的定义,系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定（Bounded Input Bounded Output）,连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为,连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的定义,必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件不满足，则响应无界。,充分性：设激励 x(t) 有界，即 ，容易验证响应也
21、有界，即,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的定义,（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，则系统是稳定的。,（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于平面的左半平面，则系统是临界稳定的。,（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳定的。,由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,（3）三阶系统 必须满足条件 且 系统才是稳定的,（1）一阶系统 ，显然只要参数满足即为稳定。 为临界稳定。,（2）二阶系统 只要参数满足即为稳定。 或 属于为临界稳定。,假
22、设系统函数分母多项式的最高项系数为1,三阶以下系统稳定的判定,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,例：设系统方框图如图所示，求 （1）系统函数H(s) （2）系统稳定，参数K满足的条件,解： 由Mason公式可以很容易求得系统函数为,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为,并且,即,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,例： 求电路系统的： （1）系统函数（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围 （3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t ),四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,解：（1）对节
23、点U3列写节点方程,同时有,由上述两方程容易求得,四零极点与系统的稳定性-系统稳定性的判断,（2）显然，系统稳定条件为,（3）,临界稳定时， ，这时 所以系统的冲激响应为, 5.8 系统模拟,系统模拟,系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现同样的系统函数。 对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘法器和积分器三种部件构成。 系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了同样的系统函数。,系统模拟,例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描述的系统,解：首先考虑下面的系统,由线性时不变系统的性质知道存在下面关系,系统模拟,方程两边积分三次得到,说明 是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。,系统模拟,第一个积分器的输入信号实际是,可以画出部分系统框图,系统模拟,可以画出完整的系统框图,系统模拟,对应的信号流图为,其中 表示积分器（拉普拉斯变换的性质）,
